Calcul littéral et double distributivité : cours de maths

Sommaire

Le calcul littéral et la double distributivité dans un cours de maths en 4ème faisant intervenir la définition d’une expression littérale ou algébrique, savoir développer ou factoriser une expressions. Puis nous terminerons cette leçon en quatrième avec les propriétés de la simple et double distributivité.

L’essentiel : La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second. On développe, puis on réduit en regroupant les termes semblables. Par exemple, $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Factoriser suit le chemin inverse, avec un facteur commun.

I. Développer et réduire une expression.

0. Préambule: règle des signes.

Afin de pouvoir être à l’aise avec le calcul littéral (ou algébrique), il faut impérativement maîtriser la règle des signes.

Multiplié par	+	–
+	+	–
–	–	+

Définition :

Développer une expression c’est l’écrire sous la forme d’une somme de termes la plus simple possible.

on développe les produits,
on supprime les parenthèses,
on regroupe les termes de même nature .

1. La simple distributivité

Propriété :

Soient a, b, k des nombres quelconques.
$k\times \,(a\,+\,b)\,=\,k\times \,a\,+\times \,b$ ( simple distributivité)
$k\,\times \,(a-b)\,=\,k\,\times \,a\,-\,k\,\times \,b$ (simple distributivité)

Exemples :

$12\,\times \,108\,\\=\,12\,\times \,(\,100\,+\,8\,)\,\\=\,12\,\times \,100\,+\,12\,\times \,8\,\\=\,1200\,+\,96\,\\=\,1296$

$14\,\times \,999\,\\=\,14\,\times \,(\,1000\,-\,1\,)\,\\=\,14\,\times \,1000\,-\,14\,\times \,1\,\\=\,14000\,-\,14\,\\=\,13\,986$

$A\,=\,5\,(x\,+\,3)\,\A\,=\,5\,\times \,x\,+\,5\,\times \,3\,\A\,=\,5x\,+\,15$

B = 7 (2X – 3Y)

B = 7x2X- 7x3Y

B = 14X – 21Y

2. Suppression des parenthèses :

a. Parenthèses précédées du signe « + » :

Règle n° 1 :

on supprime des parenthèses précédées du signe + , sans changer l’expression des termes inclus dans la parenthèse.

Exemples :

$A\,=\,3\,+\,(\,-4,1\,+\,3\,)\,=\,3\,-\,4,1\,+\,3\,=\,6-4,1\,=1,9$

$B\,=\,2\,+\,(\,2\,-\,10,7\,)\,=\,2\,+\,2\,-\,10,7\,=\,-\,6,7\,.$

$C\,=\,x\,+\,(\,-\,2,1\,-\,3,7\,)\,=\,x\,-\,2,1\,-\,3,7\,=\,x\,-\,5,8\,.$

b. Parenthèses précédées du signe « – » :

Règle n° 2 :

on supprime les parenthèses précédées du signe – ,

à condition de changer les signes des termes inclus dans la parenthèse.

Exemples :

$a\,-\,(b\,+\,c)\,=\,a\,-\,b\,-\,c$

$a\,-\,(-b\,+\,c)\,=\,a\,+\,b\,-\,c$

$a\,-\,(b\,-\,c)\,=\,a\,-\,b\,+\,c$

$3\,-\,(\,4,1\,+\,3\,)\,=\,3\,-\,4,1\,-\,3\,=\,-\,4,1$

$2\,(\,2\,+\,10,7\,)\,=\,2\,-\,2\,-\,10,7\,=\,-\,10,7$

$x\,-\,(\,-\,2,1\,+\,3,7\,)\,=\,x\,+\,2,1\,-\,3,7\,=\,x\,-1,6$

$A\,=\,4x\,+\,28\,-\,(6x^2\,-\,2x\,+\,12x\,-\,4)$

$A\,=\,4x\,+\,28\,-\,6x^2\,+\,2x\,-\,12x\,+\,4$

On regroupe les termes de même nature :

$A\,=\,-\,6x^2\,-\,6x\,+\,32$

$B\,=\,3x^2\,+\,x\,-\,(x^2\,+\,3x\,-\,1)$

$B\,=\,3x^2\,+\,x\,-\,x^2\,-\,3x\,+\,1$

$B\,=\,3x^2\,-\,x^2\,+\,x\,-\,3x\,+\,1$

$B\,=\,2x^2\,-\,2x\,+\,1$

II. Double distributivité et calcul littéral :

Propriété :

Soient a, b, c, d quatre nombres.

Nous avons $(a\,+\,b)\,(c\,+\,d)\,=\,a\,\times \,c\,+\,a\,\times \,d\,+\,b\,\times \,c\,+\,b\times \,d$ (double distributivité)

Exemples :

• Développer et réduire $A\,=\,(x\,+\,5)(x\,+\,1)$

$A\,=\,(x\,+\,5)(x+\,1)\,\A\,=\,x\times \,x\,+\,x\,\times \,1\,+\,5\,\times \,x\,+\,5\,\times \,1\,\A\,=\,x^2+\,x+\,5x\,+\,5\,\A\,=\,x^2+\,6x\,+\,5$

• Développer et réduire :

$B\,=\,(x\,+\,3)(x\,-\,2)$

On développe en appliquant la règle des signes .

$B\,=\,x\,\times \,x\,-\,x\,\times \,2\,+\,3\,\times \,x\,-\,3\,\times \,2\,\B\,=\,x^2\,-2x+\,3x-\,6\,\B\,=\,x^2\,+\,x\,-\,6$

• Développer et réduire :

$B\,=\,(2x\,-\,4)(5x\,+\,3)$

On développe en appliquant la règle des signes.

$B\,=\,2x\,\times \,5x\,+\,2x\,\times \,3\,-4\,\times \,5x-\,4\,\times \,3\,\B\,=\,10x^2\,+\,6x\,-\,20x\,-\,12\,\B\,=\,10x^2\,-14x\,-\,12$

III. Factoriser une somme de termes

Définition :

Factoriser une somme de termes, c’est la transformer en un produit de facteurs.

Méthode :

On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme.

$A\,=\,4x\,+\,12$ (4 est un facteur commun à et à 12)

On fait apparaître le facteur commun.

$A\,=\,4\,\times \,x+\,4\,\times \,3$

On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation)

$A\,=\,4\,\times \,(x\,+\,3)$

$B\,=\,5a^2\,-\,25a\,\B\,=\,5a\,\times \,a\,-\,5a\,\times \,5\,\B\,=\,5a\,(a\,-\,5)$

$C\,=\,(2x\,+\,1)(7x\,-3)\,+\,(2x\,+\,1)(\,x\,+\,2)\,\C\,=\,(2x\,+\,1)[(7x\,-\,3)\,+\,(\,x\,+\,2)]\,\C\,=\,(2x\,+\,1)(7x\,-\,3\,+\,x\,+\,2)\,\C\,=\,(2x\,+\,1)(8x\,-\,1)$

$D\,=\,(5x\,-\,1)(3x\,-\,7)\,-\,(5x-\,1)(5x\,-\,3)\,\D=\,(5x\,-\,1)\,[(3x\,-\,7)\,-\,(5x\,-\,3)]\,\D\,=\,(5x\,-\,1)\,(3x\,-\,7\,-\,5x\,+\,3)\,\D\,=\,(5x\,-\,1)\,(-2x\,-\,4)$

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