Cours maths 4ème

Théorème de Pythagore : cours de maths en 4ème

Le théorème de Pythagore avec un cours de maths en 4ème faisant intervenir la partie directe et réciproque du théorème ainsi que la racine carrée d’un nombre positif et l’interprétation géométrique du théorème de Pythagore dans cette leçon en quatrième.

0-Introduction : un peu d’histoire….

Point de vue historique :
Pythagore de Samos, né vers -580 et mort vers -490, était un mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique.

1. La racine carrée d’un nombre :

Définition :

Soit a un nombre positif.

On appelle racine carrée de a, notée \sqrt{a}, l’unique nombre positif dont le carré est égal à a.

C’est à dire : \,(\,\sqrt{a}\,\,)^2=a.

Exemple :

 (\sqrt{16})=(\sqrt{4})^2=4

\sqrt{-9} n’a pas de sens car – 9 est un nombre négatif .

Application :

A l’aide de la calculatrice calculer  \sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{25},\sqrt{81},\sqrt{-5},\sqrt{49},\sqrt{0,36},\sqrt{104},\sqrt{7} .

2- Le théorème de Pythagore:

2.1. Partie directe :

Théorème de la partie directe :

Si un triangle ABC est rectangle en A alors  BC²=AB²+AC².

(hypoténuse)²=(coté1)² + (coté2)²

Preuve avec un trapèze :

Une des démonstrations de la partie directe du théorème de Pythagore.

Soit un triangle ABC rectangle en A, montrons que BC^2\,=AB^2\,+\,AC^2.

Dans la figure ci-dessous, ABDC est rectangle de sens direct.

Théorème de Pythagore

On pose BC = a, AC = b et AB = c.

On considère le quart de tour de centre B (rotation de 90°)

qui transforme le triangle BCD en le triangle BC’D’.

Évidemment le triangle CBC’ est rectangle en B ‘car rotation de 90°).

Les points A, B et D’ sont alignés

et le quadrilatère AD’C’C est un trapèze.

En traduisant de deux manière l’aire de ce trapèze :

aire (AD’C’C) =aire (ABC) + aire (CBC’) + aire (BC’D’)

\frac{(b+c)^2}{2}=\frac{bc}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{bc}{2}

En multipliant par deux chaque membre de l’équation, nous obtenons :

(b+c)²=a²+2bc

(b+c)(b+c)=a²+2bc (voir chapitre calcul littéral…)

b²+bc+bc+c²=a²+2bc

b²+2bc+c²=a²+2bc

En simplifiant par 2bc dans les deux membres,

Nous obtenons au final :

a² = b² + c²

soit BC² = AC² + AB².

Remarque :

La partie directe du théorème de Pythagore, nous permet de déterminer une longueur du triangle connaissant les deux autres.

Signification géométrique :

BC^2=AB^2+AC^2

L’aire du carré de coté [BC] est égale à la somme des aires des carrés de coté [AB] et [AC]

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

2.2.- La réciproque du théorème de Pythagore.

Propriété de la partie réciproque :

Soit un triangle ABC tel que [BC] soit le côté le plus long.

Si BC²=AB²+AC² ALORS le triangle ABC est rectangle en A.

Propriété de la partie contraposée :

Soit un triangle ABC tel que BC est la plus grande longueur Si BC^2\neq\,AB^2+AC^2  ALORS le triangle ABC n’est rectangle.

Remarque :

La réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, nous permettent de déterminer si un triangle est rectangle connaissant les trois mesures de ses cotés.


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