Sommaire de cette fiche
0-Introduction : un peu d’histoire….
1. La racine carrée d’un nombre :
Soit a un nombre positif.
On appelle racine carrée de a, notée 
, l’unique nombre positif dont le carré est égal à a.
C’est à dire : .
Exemple :
n’a pas de sens car – 9 est un nombre négatif .
Application :
A l’aide de la calculatrice calculer .
2- Le théorème de Pythagore:
2.1. Partie directe :
Si un triangle ABC est rectangle en A alors BC²=AB²+AC².
(hypoténuse)²=(coté1)² + (coté2)²
Preuve avec un trapèze :
Une des démonstrations de la partie directe du théorème de Pythagore.
Soit un triangle ABC rectangle en A, montrons que .
Dans la figure ci-dessous, ABDC est rectangle de sens direct.
On pose BC = a, AC = b et AB = c.
On considère le quart de tour de centre B (rotation de 90°)
qui transforme le triangle BCD en le triangle BC’D’.
Évidemment le triangle CBC’ est rectangle en B ‘car rotation de 90°).
Les points A, B et D’ sont alignés
et le quadrilatère AD’C’C est un trapèze.
En traduisant de deux manière l’aire de ce trapèze :
aire (AD’C’C) =aire (ABC) + aire (CBC’) + aire (BC’D’)
En multipliant par deux chaque membre de l’équation, nous obtenons :
(voir chapitre calcul littéral…)
En simplifiant par 2bc dans les deux membres,
Nous obtenons au final :
soit BC² = AC² + AB².
Remarque :
La partie directe du théorème de Pythagore, nous permet de déterminer une longueur du triangle connaissant les deux autres.
L’aire du carré de coté [BC] est égale à la somme des aires des carrés de coté [AB] et [AC]
2.2.- La réciproque du théorème de Pythagore.
Soit un triangle ABC tel que [BC] soit le côté le plus long.
Si ALORS le triangle ABC est rectangle en A.
Soit un triangle ABC tel que BC est la plus grande longueur Si ALORS le triangle ABC n’est rectangle.
Remarque :
La réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, nous permettent de déterminer si un triangle est rectangle connaissant les trois mesures de ses cotés.
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QCM sur le théorème de Pythagore en quatrième.
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