Puissances de 10 : cours de maths en 4ème

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Les puissances de 10 dans un cours de maths en 4ème qui fait intervenir les définitions et les différentes propriétés. Utilisation des formules et de l’écriture scientifique d’un nombre relatif dans cette leçon en quatrième et utiliser les règles de calculs sur les puissances.

Introduction :

Point de vue scientifique :

Taille de l’univers (ordre de grandeur) :10 000 000 000 000 000 000 000 000 m.

Taille du noyau atomique (ordre de grandeur) : 0,000 000 000 000 001  m

Peu pratique non ?

1. Définition et vocabulaire :

Définition :

Soit n un entier positif10^n=10\times   10\times  ....\times  10\,(n\,\,fois)

et 10^0=1

Exemples :

10^3=10\times  10\times  10=1000\,(3\,\,fois)

10^4=10\times  10\times  10\times  10=10000

Ecrire la taille de l’univers sous la forme d’une puissance de 10 .

Cas particuliers :

  • Si n = 2, on dit que 10^2  est le  « carré » de 10, se lit « dix au carré » .
  • Si n = 3, on dit que 10^3 est le  « cube » de 10, se lit « dix au cube ».

Remarque  :

L’exposant est toujours prioritaire sur les autres opérations.
2+10^2=2+10\times   10=2+100=102.

Définition :

Soit n un entier positif.

On définit le nombre 10^{-n}  de la façon suivante :

10^{-n}=\frac{1}{10^n}

Exemple :

10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0,001.

2.  Règles de calcul sur les puissances de 10 :

a.     Propriété n° 1 : produit de puissances.

Propriété n° 1:

Soient m et n deux entiers relatifs .

10^m\times  10^n=10^{m+n}

Exemple :

10^5\times  10^3=10^{5+3}=10^8

10^{-7}\times  10^5=10^{-7+5}=10^{-2}

b. Propriété n° 2 : puissance de puissance.

Propriété n° 2 :

Soient m et n deux entiers relatifs .

(10^m)^n=10^{m\times   n}

Exemple :

(10^5)^3=10^{5\times   3}=10^{15}

(10^{-2})^3=10^{(-2)\times   3}=10^{-6}

c. Propriété n° 3 : quotient de puissances.

Propriété n° 3:

Soient m et n deux entiers relatifs .

\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}

Exemple :

\frac{10^8}{10^3}=10^{8-3}=10^5

\frac{10^5}{10^{-2}}=10^{5-(-2)}=10^{5+2}=10^7

3. Ecriture scientifique :

Propriété :

un nombre décimal admet plusieurs écritures sous la forme de produit d’un décimal par

une puissance de 10.

Exemples : 

36541,25 = 36,54125\times   10^3 = 0,003654125\times   10^7 = 3654125 \times   10^{-2}

Définition :

Ecrire un nombre sous forme scientifique,

c’est l’écrire sous la forme : a\times   10^navec1\leq\, a< 10

Exemples d’écritures scientifiques :  

36541,25 = 3,654125\times   10^4 avec   1≤ 3,654125 <10.

0,0058 = 5,8\times   10^{-3} avec 1\leq\, 5,8 < 10 .

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Les puissances

 

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