Théorème de Pythagore : cours de maths en 4ème en PDF.

Sommaire

Le théorème de Pythagore avec un cours de maths en 4ème faisant intervenir la partie directe et réciproque du théorème ainsi que la racine carrée d’un nombre positif et l’interprétation géométrique du théorème de Pythagore dans cette leçon en quatrième.

L’essentiel : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2=AB^2+AC^2$. Réciproquement, si cette égalité est vérifiée, le triangle est rectangle en $A$. Avec $AB=3$ et $AC=4$, on trouve $BC=5$.

0-Introduction : un peu d’histoire….

Point de vue historique :

Pythagore de Samos, né vers -580 et mort vers -490, était un mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique.

1. La racine carrée d’un nombre :

Définition :

Soit a un nombre positif.

On appelle racine carrée de a, notée $\sqrt{a}$ , l’unique nombre positif dont le carré est égal à a.

C’est à dire : $(\,\sqrt{a}\,)^2=a$ .

Exemple :

$(\sqrt{16})=(\sqrt{4})^2=4$

$\sqrt{-9}$ n’a pas de sens car – 9 est un nombre négatif .

Application :

A l’aide de la calculatrice calculer $\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{25},\sqrt{81},\sqrt{-5},\sqrt{49},\sqrt{0,36},\sqrt{104},\sqrt{7}$ .

2- Le théorème de Pythagore:

2.1. Partie directe :

Théorème de la partie directe :

Si un triangle ABC est rectangle en A alors BC²=AB²+AC².

(hypoténuse)²=(coté1)² + (coté2)²

Preuve avec un trapèze :

Une des démonstrations de la partie directe du théorème de Pythagore.

Soit un triangle ABC rectangle en A, montrons que $BC^2\,=AB^2\,+\,AC^2$ .

Dans la figure ci-dessous, ABDC est rectangle de sens direct.

On pose BC = a, AC = b et AB = c.

On considère le quart de tour de centre B (rotation de 90°)

qui transforme le triangle BCD en le triangle BC’D’.

Évidemment le triangle CBC’ est rectangle en B ‘car rotation de 90°).

Les points A, B et D’ sont alignés

et le quadrilatère AD’C’C est un trapèze.

En traduisant de deux manière l’aire de ce trapèze :

aire (AD’C’C) =aire (ABC) + aire (CBC’) + aire (BC’D’)

$\frac{(b+c)^2}{2}=\frac{bc}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{bc}{2}$

En multipliant par deux chaque membre de l’équation, nous obtenons :

(voir chapitre calcul littéral…)

En simplifiant par 2bc dans les deux membres,

Nous obtenons au final :

$a^2\,=\,b^2\,+\,c^2$

soit BC² = AC² + AB².

Remarque :

La partie directe du théorème de Pythagore, nous permet de déterminer une longueur du triangle connaissant les deux autres.

Signification géométrique :

L’aire du carré de coté [BC] est égale à la somme des aires des carrés de coté [AB] et [AC]

2.2.- La réciproque du théorème de Pythagore.

Propriété de la partie réciproque :

Soit un triangle ABC tel que [BC] soit le côté le plus long.

Si ALORS le triangle ABC est rectangle en A.

Propriété de la partie contraposée :

Soit un triangle ABC tel que BC est la plus grande longueur Si $BC^2\neq\,AB^2+AC^2$ ALORS le triangle ABC n’est rectangle.

Remarque :

La réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, nous permettent de déterminer si un triangle est rectangle connaissant les trois mesures de ses cotés.

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