Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Déplace $B$ ou $C$ : le triangle reste rectangle en $A$ et l'aire du grand carré est la somme des deux autres.
Théorème de Pythagore
Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors $$BC^2 = AB^2 + AC^2.$$
Définition — racine carrée
Pour $a\ge 0$, $\sqrt a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt 2\approx 1{,}414$. Si $x^2 = a$ avec $x>0$, alors $x = \sqrt a$.
Exemple
$ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 6$ et $AC = 8$ : $BC^2 = 36 + 64 = 100$ donc $BC = 10$. Si $BC = 13$ et $AB = 5$ : $AC^2 = 169 - 25 = 144$, $AC = 12$.
Théorème — réciproque
Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ($BC$ étant le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en $A$.
Théorème — contraposée
Si $BC^2 \ne AB^2 + AC^2$, alors le triangle n'est pas rectangle.
Méthode — rédiger
Toujours : (1) nommer le plus grand côté, (2) calculer séparément $BC^2$ et $AB^2 + AC^2$, (3) comparer, (4) conclure en citant la réciproque ou la contraposée.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $BC^2 = AB^2+AC^2$ si l'angle droit est en $A$.
Comment calculer l'hypoténuse ?
On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit et on prend la racine carrée : avec $3$ et $4$, l'hypoténuse vaut $\sqrt{9+16} = 5$.
Comment prouver qu'un triangle est rectangle ?
Avec la réciproque : si $BC^2 = AB^2+AC^2$ avec $BC$ le plus grand côté, alors le triangle est rectangle en $A$. Si l'égalité est fausse, il n'est pas rectangle.
Comment calculer un côté de l'angle droit ?
On soustrait : $AB^2 = BC^2-AC^2$, puis on prend la racine carrée.