Corrigé du contrôle de maths 1ère : probabilités et variables aléatoires

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}5\), donc \(P(A \cap B) = 0{,}2\).
2. Événements indépendants : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}5\), donc \(P(A \cap B) = 0{,}15\).
3. \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}12}{0{,}4}\), donc \(P_A(B) = 0{,}3\).
4. \(P(\overline{A}) = 1 – 0{,}35\), donc \(P(\overline{A}) = 0{,}65\).
5. La somme des branches issues d’un même nœud vaut 1 : \(P_A(\overline{B}) = 0{,}3\).
6. \(E(X) = 0 \times 0{,}5 + 10 \times 0{,}5\), donc \(E(X) = 5\).
7. \(V(2X) = 2^2 \times V(X) = 4 \times 3\), donc \(V(2X) = 12\).
8. Deux chemins (pile puis face, face puis pile), chacun de probabilité \(0{,}25\) : \(0{,}5\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte.

Exercice 2 : Un test de dépistage (5 points)

1. On a \(P(M) = 0{,}05\), \(P_M(T) = 0{,}98\) et \(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}04\) ; on complète chaque nœud pour que la somme des branches vaille 1.

   

2. \(P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}049\).
   La probabilité qu’une personne soit porteuse du virus et ait un test positif est \(0{,}049\), soit environ \(4{,}9\,\%\) de la population.
3. \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
   \(P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}05 \times 0{,}98 + 0{,}95 \times 0{,}04 = 0{,}049 + 0{,}038\).
   \(P(T) = 0{,}087\).
4. On cherche \(P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}049}{0{,}087} \approx 0{,}563\).
   Une personne testée positive n’est porteuse du virus qu’avec une probabilité d’environ \(0{,}563\) : un test positif sur deux environ est un « faux positif », car les personnes saines sont très nombreuses. Il faut confirmer par un second examen.
5. \(P(M) \times P(T) = 0{,}05 \times 0{,}087 = 0{,}00435\), alors que \(P(M \cap T) = 0{,}049\).
   \(P(M \cap T) \neq P(M) \times P(T)\), donc \(M\) et \(T\) ne sont pas indépendants (heureusement : le test dépend bien de la présence du virus).

Barème : a) 1 point (0,5 pour la structure, 0,5 pour les six probabilités) ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour la formule des probabilités totales, 0,5 point pour chaque terme calculé ; d) 0,5 point pour le quotient, 0,5 point pour la valeur et le commentaire ; e) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : confondre \(P_T(M)\) et \(P_M(T)\) et répondre \(0{,}98\).

Exercice 3 : Demi-pension et sport (3 points)

1. \(P(A) = \frac{240}{400} = 0{,}6\) ; \(P(B) = \frac{150}{400} = 0{,}375\) ; \(P(A \cap B) = \frac{90}{400} = 0{,}225\).
   \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}375\) et \(P(A \cap B) = 0{,}225\).
2. \(P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}375 = 0{,}225 = P(A \cap B)\).
   Les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.
3. \(P_B(A) = \frac{90}{150} = 0{,}6\), donc \(P_B(A) = P(A) = 0{,}6\).
   Parmi les sportifs, la proportion de demi-pensionnaires est la même que dans tout le lycée : savoir qu’un élève fait du sport en club ne change pas la probabilité qu’il soit demi-pensionnaire.

Barème : a) 1 point (dont 0,5 point pour \(P(A \cap B)\)) ; b) 0,5 point pour le produit, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour \(P_B(A)\), 0,5 point pour l’interprétation.

Exercice 4 : Le jeu de l’urne et de la roue (6 points)

1. \(P(R) = \frac{3}{5} = 0{,}6\), donc \(P(N) = 0{,}4\) ; \(P_R(\overline{G}) = 1 – 0{,}5 = 0{,}5\) et \(P_N(\overline{G}) = 1 – 0{,}25 = 0{,}75\).

   

2. D’après la formule des probabilités totales :
   \(P(G) = P(R) \times P_R(G) + P(N) \times P_N(G) = 0{,}6 \times 0{,}5 + 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}3 + 0{,}1\).
   \(P(G) = 0{,}4\).
3. \(P_G(N) = \frac{P(N \cap G)}{P(G)} = \frac{0{,}1}{0{,}4}\).
   \(P_G(N) = 0{,}25\) : un gagnant sur quatre a tiré une boule noire.
4. Issue \(R \cap G\) : gain \(5 – 4 = 1\), probabilité \(0{,}3\).
   Issue \(N \cap G\) : gain \(20 – 4 = 16\), probabilité \(0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1\).
   Issue \(\overline{G}\) : gain \(0 – 4 = -4\), probabilité \(1 – P(G) = 0{,}6\) (soit \(0{,}3 + 0{,}3\)).

   \(x_i\)	\(-4\)	\(1\)	\(16\)
   \(P(X=x_i)\)	\(0{,}6\)	\(0{,}3\)	\(0{,}1\)

5. \(E(X) = -4 \times 0{,}6 + 1 \times 0{,}3 + 16 \times 0{,}1 = -2{,}4 + 0{,}3 + 1{,}6 = -0{,}5\).
   \(E(X) = -0{,}5\) : en moyenne, le joueur perd 50 centimes par partie ; le jeu est favorable à Chloé.
6. \(E(X^2) = 16 \times 0{,}6 + 1 \times 0{,}3 + 256 \times 0{,}1 = 9{,}6 + 0{,}3 + 25{,}6 = 35{,}5\).
   \(V(X) = E(X^2) – E(X)^2 = 35{,}5 – 0{,}25 = 35{,}25\).
   \(V(X) = 35{,}25\) et \(\sigma(X) = \sqrt{35{,}25} \approx 5{,}94\) €.

Barème : a) 1 point (0,5 point pour \(P(N)\), 0,25 point pour chacune des deux branches \(\overline{G}\)) ; b) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour le quotient, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour les valeurs, 0,5 point pour les probabilités ; e) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion ; f) 0,5 point pour \(E(X^2)\), 0,5 point pour la variance et l’écart type.

Erreur fréquente : oublier de retirer la participation de 4 € et obtenir \(E = 3{,}5\), un jeu qui semble favorable au joueur.

Exercice 5 : Trois parties de suite (2 points)

1. On répète trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « gagner à la roue », de paramètre \(0{,}4\). La probabilité de ne jamais gagner est \(0{,}6^3 = 0{,}216\).
   \(P(\text{au moins un gain}) = 1 – 0{,}216 = 0{,}784\).
2. Trois chemins comportent exactement deux succès (le seul échec est à la 1re, à la 2e ou à la 3e partie), chacun de probabilité \(0{,}4^2 \times 0{,}6 = 0{,}096\).
   \(P(\text{exactement deux gains}) = 3 \times 0{,}096 = 0{,}288\).

Barème : a) 0,5 point pour l’événement contraire, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour les trois chemins, 0,5 point pour le résultat.

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Après le corrigé du contrôle : probabilités et variables aléatoires

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