Contrôle de maths 1ère : répétitions de Bernoulli et jeux de hasard

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice interdite pour cet exercice. Calculatrice autorisée pour les exercices 2 à 5.

Donne directement le résultat, sans justification.

1. Une épreuve de Bernoulli a pour paramètre \(0{,}3\). Quelle est la probabilité d’un échec ? (0,5 point)
2. On lance un dé équilibré à six faces et on appelle succès « obtenir 6 ». La variable \(X\) vaut 1 en cas de succès et 0 sinon. Donne \(E(X)\). (0,5 point)
3. Donne la variance d’une variable de Bernoulli de paramètre \(0{,}2\). (0,5 point)
4. On répète deux fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre \(0{,}4\). Probabilité d’obtenir deux succès ? (0,5 point)
5. On lance trois fois une pièce équilibrée. Probabilité de n’obtenir aucun « pile » ? (0,5 point)
6. Dans l’arbre de trois épreuves de Bernoulli, combien de chemins comportent exactement un succès ? (0,5 point)
7. Combien de chemins compte l’arbre complet de quatre épreuves de Bernoulli ? (0,5 point)
8. On répète deux fois, de façon indépendante, une épreuve de paramètre \(0{,}9\). Probabilité d’obtenir au moins un succès ? (0,5 point)

Exercice 2 : Trois tirs au but (5 points)

Nora, attaquante de son équipe de football, s’entraîne aux tirs au but. À chaque tir, la probabilité qu’elle marque est \(0{,}8\), et les tirs sont indépendants les uns des autres. Elle tire trois fois. On note \(S\) l’événement « le tir est réussi ». On appelle \(X\) le nombre de tirs réussis.

1. Justifie que l’expérience est la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et donne leur paramètre. (0,5 point)
2. Recopie l’arbre ci-dessus et pondère chacune de ses branches. (1 point)
3. Calcule la probabilité que Nora réussisse ses trois tirs. (0,5 point)
4. Combien de chemins de l’arbre correspondent à exactement deux tirs réussis ? Déduis-en \(P(X=2)\). (1,5 point)
5. Calcule \(P(X=1)\) et \(P(X=0)\), puis présente la loi de \(X\) dans un tableau. (0,5 point)
6. Calcule \(E(X)\) et compare le résultat au produit \(3 \times 0{,}8\). (1 point)

Exercice 3 : Un QCM rempli au hasard (4 points)

Un QCM comporte quatre questions. Pour chacune, trois réponses sont proposées dont une seule est juste. Timéo n’a pas révisé et répond au hasard, indépendamment d’une question à l’autre. On note \(N\) le nombre de bonnes réponses.

1. Quelle est la probabilité de répondre juste à une question ? Combien l’arbre de l’expérience compte-t-il de chemins ? Écris, avec les lettres \(J\) (juste) et \(F\) (faux), tous les chemins contenant exactement deux bonnes réponses. (1 point)
2. Calcule \(P(N=2)\) sous forme de fraction irréductible. (1 point)
3. Calcule \(P(N=0)\), puis la probabilité que Timéo ait au moins une bonne réponse. (1 point)
4. Il faut au moins trois bonnes réponses pour valider le QCM. Calcule la probabilité que Timéo le valide. (1 point)

Exercice 4 : Tirer un cœur (3 points)

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, qui contient 8 cœurs. On note \(Y\) la variable aléatoire qui vaut 1 si la carte est un cœur et 0 sinon.

1. Donne la loi de \(Y\). Quel est son nom ? (0,5 point)
2. Calcule \(E(Y)\), puis \(V(Y)\) à l’aide de la formule de König-Huygens. (1,5 point)
3. On tire deux cartes successivement avec remise. Calcule la probabilité d’obtenir au moins un cœur. (1 point)

Exercice 5 : Le jeu des trois dés (4 points)

À une fête de village, un stand propose le jeu suivant. Le joueur paie \(2\) € puis lance trois fois un dé équilibré à six faces. Il reçoit \(3\) € s’il obtient exactement un 6, \(10\) € s’il obtient exactement deux 6, \(50\) € s’il obtient trois 6, et rien sinon. On note \(G\) le gain algébrique du joueur (somme reçue moins la mise).

1. À l’aide d’un arbre (on peut se limiter aux branches utiles), montre que la probabilité d’obtenir exactement un 6 est \(\frac{75}{216}\). (1 point)
2. Détermine la loi de probabilité de \(G\). (1 point)
3. Calcule \(E(G)\) en valeur exacte puis arrondie au centime. Le jeu est-il favorable au joueur ? (1 point)
4. L’organisateur veut rendre le jeu équitable en modifiant seulement la somme versée pour trois 6. Quelle somme doit-il verser ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : répétitions de Bernoulli et jeux de hasard

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Probabilités » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.

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