Corrigé du contrôle de maths 1ère : suites arithmétiques et géométriques

Exercice 1 : Calculer des termes (4 points)

1. • \(u_0 = 0^2 – 3 \times 0 + 1 = 1\). Puis \(u_1 = 1 – 3 + 1 = -1\). Enfin, \(u_5 = 25 – 15 + 1 = 11\). \(u_0 = 1\), \(u_1 = -1\) et \(u_5 = 11\).
   • On remplace \(n\) par \(n + 1\) :
     \(u_{n+1} = (n + 1)^2 – 3(n + 1) + 1 = n^2 + 2n + 1 – 3n – 3 + 1\). Donc \(u_{n+1} = n^2 – n – 1\).
     Vérification avec \(n = 0\) : \(u_1 = 0 – 0 – 1 = -1\).
2. \(v_1 = 3v_0 – 1 = 3 \times 2 – 1 = 5\). Ensuite, \(v_2 = 3v_1 – 1 = 15 – 1 = 14\). Enfin, \(v_3 = 3v_2 – 1 = 42 – 1 = 41\). \(v_1 = 5\), \(v_2 = 14\) et \(v_3 = 41\).

Barème : a) 0,5 point par terme ; 0,5 point pour la substitution de \(n + 1\), 0,5 point pour la forme réduite. Puis b) 0,5 point par terme. En effet, la méthode compte : chaque terme se calcule à partir du précédent.

Erreur fréquente : écrire \(u_{n+1} = u_n + 1 = n^2 – 3n + 2\). Or \(u_{n+1}\) est le terme suivant, pas le terme \(u_n\) augmenté de 1.

Exercice 2 : Arithmétique, géométrique ou ni l’un ni l’autre (4 points)

1. Pour tout entier \(n\) : \(w_{n+1} – w_n = 5 – 2(n + 1) – (5 – 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2\). La différence est donc constante. \((w_n)\) est arithmétique, de raison \(-2\) et de premier terme \(w_0 = 5\).
2. Pour tout entier \(n\), \(t_n \neq 0\) et \(\dfrac{t_{n+1}}{t_n} = \dfrac{3 \times 2^{n+2}}{3 \times 2^{n+1}} = 2^{n+2-(n+1)} = 2\). Le quotient est donc constant. Ainsi, \((t_n)\) est géométrique, de raison 2 et de premier terme \(t_0 = 3 \times 2^1 = 6\).
3. \(a_0 = 0\), \(a_1 = 1\), \(a_2 = 4\), \(a_3 = 9\).
   \(a_1 – a_0 = 1\) et \(a_2 – a_1 = 3\) : les différences ne sont pas égales, donc la suite n’est pas arithmétique.
   \(\frac{a_2}{a_1} = 4\) et \(\frac{a_3}{a_2} = \frac{9}{4}\) : les quotients ne sont pas égaux, donc la suite n’est pas géométrique. \((a_n)\) n’est ni arithmétique ni géométrique.
4. \(b_1 = b_0 + 0 = 1\), \(b_2 = b_1 + 1 = 2\), \(b_3 = b_2 + 2 = 4\).
   \(b_1 – b_0 = 0\) et \(b_2 – b_1 = 1\) : pas arithmétique.
   \(\frac{b_1}{b_0} = 1\) et \(\frac{b_2}{b_1} = 2\) : pas géométrique. \((b_n)\) n’est donc ni arithmétique ni géométrique.

Barème : a) et b) : 0,5 point pour le calcul valable pour tout \(n\), 0,5 point pour la conclusion avec raison et premier terme. Puis c) et d) : 0,5 point pour les termes calculés, 0,5 point pour les deux contre-exemples (différences et quotients).

Erreur fréquente : en b, donner \(t_0 = 3\). Or, pour \(n = 0\), \(t_0 = 3 \times 2^{0+1} = 6\).

Exercice 3 : Trouver le terme général (4 points)

1. Pour une suite arithmétique, \(u_8 = u_3 + (8 – 3)r\). Donc \(26 = 11 + 5r\), soit \(5r = 15\) et \(r = 3\).
   Puis \(u_3 = u_0 + 3r\), donc \(u_0 = 11 – 9 = 2\).
   \(u_n = 2 + 3n\) pour tout entier naturel \(n\), et \(u_{20} = 2 + 3 \times 20\). \(u_{20} = 62\).
2. \(v_n = v_0 \times q^n\), donc \(v_n = 64 \times (\frac{1}{2})^n\).
   Ainsi, \(v_6 = 64 \times \frac{1}{2^6} = \frac{64}{64}\). \(v_6 = 1\).
3. \(z_3 = z_1 \times q^2\), donc \(54 = 6q^2\), soit \(q^2 = 9\). Les termes étant strictement positifs, \(q > 0\), donc \(q = 3\).
   Puis \(z_1 = z_0 \times q\), donc \(z_0 = \frac{6}{3} = 2\). La raison est 3, \(z_0 = 2\) et \(z_n = 2 \times 3^n\).

Barème : a) 0,5 point pour \(r\), 0,5 point pour \(u_0\), 0,5 point pour \(u_n\), 0,5 point pour \(u_{20}\). Puis b) 0,5 point pour \(v_n\), 0,5 point pour \(v_6\). Enfin, c) 0,5 point pour \(q = 3\) justifié (rejet de \(-3\)), 0,5 point pour \(z_0\) et \(z_n\).

Erreur fréquente : en a, diviser \(26 – 11\) par 8 ou par 3. En effet, entre \(u_3\) et \(u_8\), il y a \(8 – 3 = 5\) pas de raison \(r\).

Exercice 4 : Deux nuages de points (4 points)

1. Par lecture graphique : \(a_0 = 1\), \(a_1 = 3\), \(a_2 = 5\), \(a_3 = 7\) et \(g_0 = 1\), \(g_1 = 2\), \(g_2 = 4\), \(g_3 = 8\).
2. Pour \((a_n)\) : \(3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2\) (on vérifie aussi \(9 – 7 = 11 – 9 = 2\)). On ajoute donc 2 à chaque étape. \((a_n)\) est arithmétique de raison 2.
   Pour \((g_n)\) : \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2\) (et \(\frac{16}{8} = \frac{32}{16} = 2\)). On multiplie donc par 2 à chaque étape. \((g_n)\) est géométrique de raison 2.
3. \(a_n = a_0 + nr\) et \(g_n = g_0 \times q^n\). Ainsi, \(a_n = 1 + 2n\) et \(g_n = 2^n\).
4. Les points bleus ont pour coordonnées \((n \,;\, 1 + 2n)\) : ils sont tous sur la droite d’équation \(y = 2x + 1\). En effet, une suite arithmétique est la restriction aux entiers d’une fonction affine. Ses points sont donc alignés.

Barème : a) 0,5 point par suite. Puis b) 0,75 point par suite (justification par les différences ou les quotients et raison). Ensuite, c) 0,5 point par expression. Enfin, d) 0,5 point.

Erreur fréquente : dire que les deux suites ont « la même raison 2 », donc qu’elles se comportent de la même façon. Or ajouter 2 et multiplier par 2 ne donnent pas du tout la même croissance.

Exercice 5 : La tirelire de Léna (4 points)

1. La boucle s’exécute 3 fois (pour i valant 0, 1 et 2). Au départ, u vaut 3, puis \(3 + 4 = 7\), puis \(7 + 4 = 11\), puis \(11 + 4 = 15\). tirelire(3) renvoie donc 15.
2. \(u_0 = 3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = u_n + 4\). On passe ainsi d’un terme au suivant en ajoutant toujours 4. \((u_n)\) est arithmétique de raison 4 et de premier terme 3, donc \(u_n = 3 + 4n\).
3. tirelire(10) renvoie \(u_{10} = 3 + 4 \times 10 = 43\). Après 10 semaines, Léna a donc 43 € dans sa tirelire.
4. Il faut partir de 5 et multiplier par 2 à chaque passage dans la boucle :

   def tirelire_hugo(n):
       u = 5
       for i in range(n):
           u = 2 * u
       return u

   La somme de Hugo est une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 2. Ainsi, après 4 semaines, \(5 \times 2^4 = 5 \times 16 = 80\). Hugo a 80 € après 4 semaines.

Barème : a) 0,5 point pour les valeurs successives, 0,5 point pour 15. Puis b) 0,5 point pour la relation de récurrence, 0,5 point pour la nature et \(u_n\). Ensuite, c) 0,5 point pour 43, 0,5 point pour l’interprétation. Enfin, d) 0,5 point pour le programme modifié (initialisation et ligne de la boucle), 0,5 point pour 80 €.

Erreur fréquente : penser que la boucle for i in range(3) tourne 4 fois (de 0 à 3). En réalité, elle tourne exactement 3 fois, pour i égal à 0, 1 et 2.

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Après le corrigé du contrôle : suites arithmétiques et géométriques

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