Contrôle de maths 3ème : sphère, boule et sections de solides

Exercice 1 : Automatismes : nature des sections (3 points)

Calculatrice autorisée pour tout le sujet.

Pour chaque solide coupé par un plan, donne sans justifier la nature de la section obtenue.

1. Un pavé droit coupé par un plan parallèle à l’une de ses faces. (0,5 point)
2. Un pavé droit coupé par un plan parallèle à l’une de ses arêtes. (0,5 point)
3. Un cylindre de révolution coupé par un plan parallèle à ses bases. (0,5 point)
4. Un cylindre de révolution coupé par un plan parallèle à son axe. (0,5 point)
5. Un cône de révolution coupé par un plan parallèle à sa base. (0,5 point)
6. Une sphère coupée par un plan qui passe à une distance de son centre inférieure à son rayon. (0,5 point)

Exercice 2 : Section d’un pavé droit (5 points)

\(ABCDEFGH\) est un pavé droit avec \(AB = 8\text{ cm}\), \(BC = 6\text{ cm}\) et \(AE = 5\text{ cm}\). On le coupe par un plan parallèle à l’arête \([BF]\) qui passe par le point \(I\) de \([AB]\) tel que \(BI = 3\text{ cm}\) et par le point \(J\) de \([BC]\) tel que \(BJ = 4\text{ cm}\). La section est le quadrilatère \(IJKL\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Quelle est la nature de la section \(IJKL\) ? Justifie. (1 point)
2. Calcule la longueur \(IJ\). (1,5 point)
3. Démontre que \(IJKL\) est un carré, puis calcule son aire. (1,5 point)
4. On se repère dans le pavé avec l’origine \(A\), l’axe des abscisses \((AB)\), l’axe des ordonnées \((AD)\) et l’axe des altitudes \((AE)\), l’unité étant le centimètre. Ainsi \(B(8\,;0\,;0)\), \(D(0\,;6\,;0)\) et \(E(0\,;0\,;5)\). Donne les coordonnées des points \(G\) et \(K\). (1 point)

Exercice 3 : Section d’une pyramide (4 points)

\(SABCD\) est une pyramide régulière à base carrée de côté \(AB = 9\text{ cm}\) et de hauteur \(SO = 12\text{ cm}\), où \(O\) est le centre du carré \(ABCD\). On la coupe par un plan parallèle à sa base qui passe par le point \(O^{\prime}\) de \([SO]\) tel que \(SO^{\prime} = 4\text{ cm}\). On obtient la section \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Quelle est la nature de la section \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) ? (1 point)
2. La pyramide \(SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) est une réduction de la pyramide \(SABCD\). Calcule le coefficient de cette réduction. (1 point)
3. Calcule la longueur \(A^{\prime}B^{\prime}\), puis l’aire de la section. (1 point)
4. Calcule le volume de la petite pyramide \(SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\). (1 point)

On rappelle : volume d’une pyramide \(= \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\).

Exercice 4 : Le globe lumineux (4 points)

Inès a une lampe formée d’un globe de verre sphérique de centre \(O\) et de rayon \(13\text{ cm}\). Le globe est posé sur un socle plat : le plan du socle coupe la sphère à \(5\text{ cm}\) du centre, c’est-à-dire que \(OH = 5\text{ cm}\), où \(H\) est le centre de la section. Le point \(M\) est un point du bord de la section.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Quelle est la nature de la section de la sphère par le plan du socle ? (0,5 point)
2. Le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\). Calcule le rayon \(HM\) de la section. (1,5 point)
3. Calcule l’aire de la sphère, en valeur exacte puis arrondie au \(\text{cm}^2\). (1 point)
4. Calcule le volume de la boule, arrondi au \(\text{cm}^3\), puis exprime-le en litres, arrondi au dixième. (1 point)

On rappelle : aire d’une sphère de rayon \(R\) : \(4\pi R^2\) ; volume d’une boule de rayon \(R\) : \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\).

Exercice 5 : Latitude et longitude (4 points)

On assimile la Terre à une sphère de rayon \(6\,370\text{ km}\). Sur le globe ci-dessous, les parallèles et les méridiens sont tracés de \(30^\circ\) en \(30^\circ\). Un point est repéré par sa latitude (Nord N ou Sud S) puis sa longitude (Est E ou Ouest O), par exemple \((30^\circ\text{ N}\,;\,0^\circ)\).

1. Donne les coordonnées géographiques des points \(A\), \(B\) et \(C\). (1,5 point)
2. Quel point du globe a pour coordonnées \((30^\circ\text{ N}\,;\,0^\circ)\) ? (0,5 point)
3. Un avion vole de \(A\) à \(B\) en suivant le méridien. Explique pourquoi il parcourt un arc de \(60^\circ\), puis calcule la longueur de ce trajet, arrondie au kilomètre. (2 points)

Réviser avant le contrôle : sphère, boule et sections de solides

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Sections planes de solides » en 3ème et « Sections de solides » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés volumes et sections.

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