Corrigé du contrôle de maths 3ème : sphère, boule et sections de solides

Exercice 1 : Automatismes : nature des sections (3 points)

1. La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
2. La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.
3. La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à ses bases est un disque de même rayon que les bases.
4. La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle.
5. La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque, réduction du disque de base.
6. La section d’une sphère par un plan situé à une distance du centre inférieure au rayon est un cercle (pour une boule, ce serait un disque).

Erreur fréquente : confondre sphère et boule. La sphère est la « surface », sa section est un cercle ; la boule est « pleine », sa section est un disque.

Barème : 0,5 point par réponse exacte, soit 6 × 0,5 = 3 points. Pour c) et e), la réponse « disque » suffit.

Exercice 2 : Section d’un pavé droit (5 points)

1. Le plan de coupe est parallèle à l’arête \([BF]\). Or la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle. La section \(IJKL\) est un rectangle.
2. La face \(ABCD\) est un rectangle, donc le triangle \(IBJ\) est rectangle en \(B\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(IJ^2 = BI^2 + BJ^2\)
   \(IJ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
   \(IJ = \sqrt{25} = 5\)
   \(IJ = 5\text{ cm}\).
3. Dans la face \(BCGF\), le segment \([JK]\) est parallèle à \([BF]\), donc \(BJKF\) est un rectangle et \(JK = BF = AE = 5\text{ cm}\).
   Le rectangle \(IJKL\) a deux côtés consécutifs de même longueur : \(IJ = JK = 5\text{ cm}\). Or un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un carré. \(IJKL\) est un carré de côté \(5\text{ cm}\).
   Aire : \(5 \times 5 = 25\). L’aire de la section est \(25\text{ cm}^2\).
4. Le point \(G\) est au-dessus de \(C\), avec \(C(8\,;6\,;0)\) : \(G(8\,;6\,;5)\).
   Le point \(J\) est sur \([BC]\) avec \(BJ = 4\text{ cm}\), donc \(J(8\,;4\,;0)\), et \(K\) est au-dessus de \(J\) à l’altitude \(5\) : \(K(8\,;4\,;5)\).

Erreur fréquente : prendre \(IJ = 8 – 3 + 4\) ou croire que la section a les dimensions d’une face du pavé : \(IJ\) est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, il faut Pythagore.

Barème : a) 1 point (0,5 pour la nature, 0,5 pour la propriété citée) ; b) 1,5 point : 0,5 pour le triangle rectangle identifié, 0,5 pour l’égalité de Pythagore, 0,5 pour le résultat ; c) 1,5 point : 0,5 pour \(JK = 5\text{ cm}\), 0,5 pour la justification du carré, 0,5 pour l’aire ; d) 0,5 point par point correctement repéré.

Exercice 3 : Section d’une pyramide (4 points)

1. La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base. La base \(ABCD\) est un carré, donc \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) est un carré.
2. Le coefficient de réduction est le quotient des hauteurs :
   \(k = \dfrac{SO^{\prime}}{SO} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
   Le coefficient de réduction est \(\dfrac{1}{3}\).
3. \(A^{\prime}B^{\prime} = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3\text{ cm}\).
   Aire de la section : \(3 \times 3 = 9\text{ cm}^2\) (on retrouve \(81 \times (\dfrac{1}{3})^2 = 9\)).
   \(A^{\prime}B^{\prime} = 3\text{ cm}\) et l’aire de la section est \(9\text{ cm}^2\).
4. \(V = \dfrac{9 \times 4}{3} = \dfrac{36}{3} = 12\).
   Vérification avec la réduction : volume de \(SABCD\) : \(\dfrac{81 \times 12}{3} = 324\text{ cm}^3\), et \(324 \times (\dfrac{1}{3})^3 = \dfrac{324}{27} = 12\).
   Le volume de la petite pyramide est \(12\text{ cm}^3\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour « carré », 0,5 pour la propriété de réduction) ; b) 1 point : 0,5 pour le quotient des hauteurs, 0,5 pour \(\frac{1}{3}\) ; c) 0,5 point pour \(A^{\prime}B^{\prime}\), 0,5 point pour l’aire ; d) 1 point : 0,5 pour la formule appliquée avec les bonnes dimensions, 0,5 pour le résultat avec l’unité.

Exercice 4 : Le globe lumineux (4 points)

1. Le plan coupe la sphère à \(5\text{ cm}\) du centre, et \(5 < 13\). La section est un cercle de centre \(H\).
2. Le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\) et \(OM = 13\text{ cm}\) est un rayon de la sphère. D’après le théorème de Pythagore :
   \(OM^2 = OH^2 + HM^2\)
   \(13^2 = 5^2 + HM^2\)
   \(HM^2 = 169 – 25 = 144\)
   \(HM = \sqrt{144} = 12\)
   Le rayon de la section est \(HM = 12\text{ cm}\).
3. \(\text{Aire} = 4\pi \times 13^2 = 4\pi \times 169 = 676\pi\).
   \(676\pi \approx 2\,123{,}7\).
   L’aire de la sphère est \(676\pi\text{ cm}^2\), soit environ \(2\,124\text{ cm}^2\).
4. \(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 13^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 2\,197 = \dfrac{8\,788\pi}{3} \approx 9\,202{,}8\).
   Donc \(V \approx 9\,203\text{ cm}^3\). Comme \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\), \(9\,203\text{ cm}^3 \approx 9{,}2\text{ L}\).
   Le volume de la boule est environ \(9\,203\text{ cm}^3\), soit environ \(9{,}2\text{ L}\).

Erreur fréquente : utiliser le rayon de la section (\(12\text{ cm}\)) au lieu du rayon de la sphère (\(13\text{ cm}\)) dans les formules d’aire et de volume.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1,5 point : 0,5 pour le triangle rectangle et l’hypoténuse \(OM\), 0,5 pour l’égalité de Pythagore, 0,5 pour \(12\text{ cm}\) ; c) 0,5 point pour \(676\pi\), 0,5 point pour l’arrondi ; d) 0,5 point pour le volume arrondi, 0,5 point pour la conversion en litres.

Exercice 5 : Latitude et longitude (4 points)

1. \(A\) est sur le parallèle \(60^\circ\) Nord et sur le méridien \(30^\circ\) Est : \(A(60^\circ\text{ N}\,;\,30^\circ\text{ E})\).
   \(B\) est sur l’équateur et sur le méridien \(30^\circ\) Est : \(B(0^\circ\,;\,30^\circ\text{ E})\).
   \(C\) est sur le parallèle \(30^\circ\) Sud et sur le méridien \(60^\circ\) Ouest : \(C(30^\circ\text{ S}\,;\,60^\circ\text{ O})\).
2. Le point situé sur le parallèle \(30^\circ\) Nord et sur le méridien de Greenwich est le point \(D\).
3. \(A\) et \(B\) ont la même longitude \(30^\circ\text{ E}\) : ils sont sur le même méridien. La latitude passe de \(60^\circ\) à \(0^\circ\), donc l’avion parcourt un arc de \(60 – 0 = 60^\circ\) d’un grand cercle de rayon \(6\,370\text{ km}\).
   Longueur d’un grand cercle : \(2\pi \times 6\,370 = 12\,740\pi\text{ km}\), qui correspond à \(360^\circ\).
   Par proportionnalité : \(\dfrac{60}{360} \times 12\,740\pi = \dfrac{12\,740\pi}{6} \approx 6\,670{,}6\).
   Le trajet de \(A\) à \(B\) mesure environ \(6\,671\text{ km}\).

Erreur fréquente : inverser latitude et longitude. On donne toujours d’abord la latitude (Nord ou Sud de l’équateur), puis la longitude (Est ou Ouest du méridien de Greenwich).

Barème : a) 0,5 point par point correctement repéré (latitude et longitude) ; b) 0,5 point ; c) 2 points : 0,5 pour le même méridien, 0,5 pour l’angle de \(60^\circ\), 0,5 pour la proportionnalité avec \(360^\circ\), 0,5 pour le résultat arrondi avec l’unité.

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Après le corrigé du contrôle : sphère, boule et sections de solides

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