Corrigé du contrôle de maths Terminale : dérivée d’une composée et variations

Exercice 1 : Dérivées de fonctions composées (5 points)

1. \(f = u^4\) avec \(u(x) = 3x – 1\) et \(u^{\prime}(x) = 3\). Or \((u^n)^{\prime} = nu^{\prime}u^{n-1}\), donc \(f^{\prime}(x) = 4 \times 3 \times (3x – 1)^3\). \(f^{\prime}(x) = 12(3x – 1)^3\).
2. \(g = \sqrt{u}\) avec \(u(x) = x^2 + 5 > 0\) et \(u^{\prime}(x) = 2x\). Or \((\sqrt{u})^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}\), donc \(g^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 5}}\). \(g^{\prime}(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\).
3. \(h = e^{u}\) avec \(u(x) = x^2 – 3x\) et \(u^{\prime}(x) = 2x – 3\). Ainsi, comme \((e^{u})^{\prime} = u^{\prime}e^{u}\) : \(h^{\prime}(x) = (2x – 3)e^{x^2 – 3x}\).
4. \(k(x) = (2x + 1)^{-3}\), donc \(k = u^{-3}\) avec \(u(x) = 2x + 1\) et \(u^{\prime}(x) = 2\). La formule \((u^n)^{\prime} = nu^{\prime}u^{n-1}\) reste valable pour \(n = -3\) sur un intervalle où \(u\) ne s’annule pas. Alors \(k^{\prime}(x) = -3 \times 2 \times (2x + 1)^{-4}\). \(k^{\prime}(x) = \dfrac{-6}{(2x + 1)^4}\).
5. \(m = \sqrt{u}\) avec \(u(x) = 4 – 2x\), strictement positif sur \(]-\infty\,;2[\), et \(u^{\prime}(x) = -2\). Donc \(m^{\prime}(x) = \dfrac{-2}{2\sqrt{4 – 2x}}\). \(m^{\prime}(x) = \dfrac{-1}{\sqrt{4 – 2x}}\).

Erreur fréquente : oublier le facteur \(u^{\prime}\), par exemple écrire \(f^{\prime}(x) = 4(3x – 1)^3\) en a) ou \(m^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 – 2x}}\) en e), en perdant le signe moins.

Barème : pour chaque fonction, 0,5 point pour l’identification de \(u\) et \(u^{\prime}\) avec la bonne formule, 0,5 point pour le résultat simplifié.

Exercice 2 : Tangente à une courbe (4 points)

1. \(f = \sqrt{u}\) avec \(u(x) = 2x + 1\), strictement positif pour \(x > -\frac{1}{2}\), et \(u^{\prime}(x) = 2\). Donc \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x + 1}}\). \(f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}\).
2. D’abord, \(f(4) = \sqrt{9} = 3\) et \(f^{\prime}(4) = \dfrac{1}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}\). Ensuite, la tangente au point d’abscisse 4 a pour équation \(y = f^{\prime}(4)(x – 4) + f(4)\), soit \(y = \frac{1}{3}(x – 4) + 3 = \frac{1}{3}x – \frac{4}{3} + \frac{9}{3}\). \(T : y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\).
3. Pour \(x = -5\) : \(\frac{1}{3} \times (-5) + \frac{5}{3} = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3} = 0\). Oui, \(B(-5\,;0)\) appartient à \(T\), ce que confirme la figure. En effet, \(T\) coupe l’axe des abscisses en \(-5\).
4. La tangente au point d’abscisse \(a\) est parallèle à la droite \(y = x\) si et seulement si elle a le même coefficient directeur, c’est-à-dire \(f^{\prime}(a) = 1\).

   Ainsi, \(\dfrac{1}{\sqrt{2a + 1}} = 1\) équivaut à \(\sqrt{2a + 1} = 1\), soit \(2a + 1 = 1\), donc \(a = 0\). Enfin, \(f(0) = \sqrt{1} = 1\).

   C’est au point de coordonnées \((0\,;1)\) que la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = x\).

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour \(f(4)\) et \(f^{\prime}(4)\), 0,5 point pour la formule de la tangente, 0,5 point pour l’équation réduite ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour la condition \(f^{\prime}(a) = 1\), 0,5 point pour la résolution et le point.

Exercice 3 : Étude complète d’une fonction (7 points)

1. En \(-\infty\), on a la forme indéterminée « \(-\infty \times 0\) ». On développe donc : \(f(x) = xe^{2x} – 2e^{2x}\). Puis, avec \(X = 2x\) : \(xe^{2x} = \dfrac{1}{2}Xe^{X}\).

   Quand \(x \to -\infty\), \(X \to -\infty\) et, par croissances comparées, \(\lim_{X \to -\infty} Xe^X = 0\), donc \(\lim_{x \to -\infty} xe^{2x} = 0\). De plus \(\lim_{x \to -\infty} e^{2x} = 0\) par composition.

   Ainsi, par somme, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) : l’axe des abscisses (\(y = 0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(-\infty\).

2. \(\lim_{x \to +\infty} (x – 2) = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty\). Donc, par produit, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
3. \(f = uv\) avec \(u(x) = x – 2\), \(u^{\prime}(x) = 1\), \(v(x) = e^{2x}\), \(v^{\prime}(x) = 2e^{2x}\) (dérivée de \(e^{ax+b}\)). Donc :

   \(f^{\prime}(x) = 1 \times e^{2x} + (x – 2) \times 2e^{2x} = (1 + 2x – 4)e^{2x}\). \(f^{\prime}(x) = (2x – 3)e^{2x}\).

4. Question d : signe de la dérivée et tableau de variations

   Comme \(e^{2x} > 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(2x – 3\) : négatif si \(x < \frac{3}{2}\), nul en \(\frac{3}{2}\), positif si \(x > \frac{3}{2}\).

   Ensuite, \(f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} – 2)e^{3} = -\dfrac{1}{2}e^{3}\).

   \(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{3}{2}\)		\(+\infty\)
   signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	0	\(+\)
   variations de \(f\)	0	↘	\(-\frac{1}{2}e^{3}\)	↗	\(+\infty\)

   Le minimum de \(f\) vaut \(-\dfrac{1}{2}e^{3} \approx -10{,}04\), atteint en \(x = \frac{3}{2}\).

5. \(f(0) = (0 – 2)e^0 = -2\) et \(f^{\prime}(0) = (0 – 3)e^0 = -3\). Alors la tangente a pour équation \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\). \(y = -3x – 2\).
6. Puisque \(e^{2x} > 0\) pour tout réel \(x\), \(f(x) = 0\) équivaut à \(x – 2 = 0\). L’unique solution est \(x = 2\).

Erreur fréquente : dériver \(e^{2x}\) en \(e^{2x}\) au lieu de \(2e^{2x}\), ce qui donne une dérivée fausse \((x – 1)e^{2x}\) et un minimum en 1.

Barème : a) 0,5 point pour la transformation, 0,5 point pour la limite, 0,5 point pour l’asymptote ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour la formule du produit, 0,5 point pour la dérivée de \(e^{2x}\), 0,5 point pour la factorisation ; d) 0,5 point pour le signe, 1 point pour le tableau avec les limites, 0,5 point pour le minimum exact et approché ; e) 0,5 point pour \(f(0)\) et \(f^{\prime}(0)\), 0,5 point pour l’équation ; f) 0,5 point.

Exercice 4 : Le point le plus proche (4 points)

1. Le point \(M\) a pour coordonnées \((x\,;\sqrt{x})\). Le repère est orthonormé, donc :

   \(AM = \sqrt{(x – 2)^2 + (\sqrt{x} – 0)^2} = \sqrt{x^2 – 4x + 4 + x}\). \(d(x) = \sqrt{x^2 – 3x + 4}\).

2. Le trinôme \(x^2 – 3x + 4\) a pour discriminant \(\Delta = (-3)^2 – 4 \times 1 \times 4 = 9 – 16 = -7 < 0\). Il est donc du signe de son coefficient \(1 > 0\), c’est-à-dire strictement positif pour tout réel \(x\). Alors, avec \(u(x) = x^2 – 3x + 4\) et \(u^{\prime}(x) = 2x – 3\) :

   \(d^{\prime}(x) = \dfrac{2x – 3}{2\sqrt{x^2 – 3x + 4}}\).

3. Le dénominateur est strictement positif, donc \(d^{\prime}(x)\) a le signe de \(2x – 3\) : \(d\) est décroissante sur \([0\,;\frac{3}{2}]\) et croissante sur \([\frac{3}{2}\,;+\infty[\). Elle atteint donc son minimum en \(\frac{3}{2}\) :

   \(d(\frac{3}{2}) = \sqrt{\frac{9}{4} – \frac{9}{2} + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} – \frac{18}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\).

   La distance minimale est \(AM = \dfrac{\sqrt{7}}{2} \approx 1{,}32\) unité.

4. Enfin, \(M\) a pour abscisse \(\frac{3}{2}\) et pour ordonnée \(\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}22\). Le point cherché est \(M(\frac{3}{2}\,;\sqrt{\frac{3}{2}})\), soit environ \((1{,}5\,;1{,}22)\).

Barème : a) 0,5 point pour la formule de la distance, 0,5 point pour le développement ; b) 0,5 point pour le signe du trinôme, 0,5 point pour la dérivée ; c) 0,5 point pour les variations, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi ; d) 0,5 point.

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Après le corrigé du contrôle : dérivée d’une composée et variations

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