Brevet de maths 2021 en Nouvelle-Calédonie : sujet et corrigé

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2021
Nouvelle-Calédonie — 7 décembre 2021
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (18 points)

Pour chaque affirmation répondre par vrai ou faux. Justifier chaque réponse.

Affirmation 1 : 50 % de 10 350 c’est 10 300.

Affirmation 2 : \(\dfrac{7}{3}\) est la forme irréductible de \(\dfrac{42}{18}\).

Affirmation 3 : L’équation \(2x – 4 = -x + 5\) a pour solution 3.

Affirmation 4 : L’arrondi à l’unité près du volume d’une boule de diamètre 21,6 cm est \(42\,213\ \text{cm}^3\).

On rappelle la formule du volume d’une boule \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).

Affirmation 5 : Dans la figure codée ci-contre, la mesure de l’angle \(\widehat{\text{DNB}}\), arrondie à l’unité près, est 18°.

Affirmation 6 : On peut composer 6 codes différents avec un cadenas à 3 chiffres qui respecte les conditions suivantes :

• les deux premiers chiffres sont choisis parmi 1 ; 2 et 3 ;
• un chiffre peut apparaître deux fois ;
• le dernier chiffre est 6.

Exercice 2 (10 points)

On étudie les précipitations (hauteurs de pluies) sur la ville de Nouméa entre avril et décembre 2020.

On obtient le tableau suivant :

Source : https://www.historigue-meteo.net/oceanie/nouvelle-caledonie/noumea/2020

1. Calculer la moyenne des précipitations. Arrondir le résultat au mm près.

2. Quelle est l’étendue des précipitations ?

3. Déterminer la médiane des précipitations.

4. Calculer le pourcentage de mois pour lesquels les précipitations sont supérieures à 100 mm. Arrondir le résultat à l’unité près.

Exercice 3 (10 points)

BAI est un triangle rectangle en A tel que BA = 210 cm et AI = 155 cm.

1. Déterminer la longueur BI au cm près.

Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

L’immeuble de Joanne possède 15 vitres rectangulaires.

Chaque vitre a pour longueur 210 cm et pour largeur 155 cm.

Lors d’une préalerte cyclonique Joanne pose de l’adhésif sur les deux diagonales de chaque vitre de l’immeuble.

2. Justifier que Joanne a besoin d’environ 5,22 m d’adhésif pour une vitre.

Joanne a 7 rouleaux d’adhésif de 10 m chacun.

3. A-t-elle assez d’adhésif pour toutes les vitres ? Justifier la réponse.

Exercice 4 (14 points)

1. a. Justifier que 330 n’est pas un nombre premier.

La décomposition en produit de facteurs premiers de 500 est : \(500 = 2^2 \times 5^3\).

b. Décomposer 330 en produit de facteurs premiers.

c. Justifier que 165 divise 330.

d. Justifier que 165 ne divise pas 500.

La pâtisserie Délices a préparé 330 biscuits aux noix et 500 biscuits au chocolat.

La pâtisserie souhaite répartir le plus de biscuits possible dans 165 boites.

La pâtisserie met le même nombre de biscuits aux noix dans chaque boîte.

2. Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque boîte ?

La pâtisserie met aussi le même nombre de biscuits au chocolat dans chaque boîte.

3. a. Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque boîte ?

b. Combien de biscuits au chocolat reste-t-il ?

Une boîte de biscuits coûte 3 650 francs.

À partir de 10 boîtes achetées, la pâtisserie Délices offre une réduction de 5 % sur le montant total.

4. Combien va-t-on payer pour l’achat de 12 boîtes ?

Faire apparaÎtre les calculs effectués.

Exercice 5 (18 points)

Un jeu est constitué de quatre familles de cartes : banane ; prune ; citron ; fraise.

Voici la répartition des cartes de la famille banane.

La répartition est la même pour les cartes avec les autres fruits.

1. Montrer que ce jeu a 56 cartes.

Joanne mélange toutes les cartes. Son frère Jack prend une carte au hasard. On admet que chaque carte a la même chance d’être choisie.

Soit \(P\) l’évènement : « Jack obtient une carte de la famille prune ».

2. Quelle est la probabilité de l’évènement \(P\) ?

3. a. Quel est l’évènement contraire de \(P\) ?

b. Quelle est la probabilité de l’évènement contraire de \(P\) ?

4. Quelle est la probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits ?

Exercice 6 (14 points)

Les parties 1 et 2 sont indépendantes

Partie 1 : Distance de réaction

La distance de réaction d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où il appuie sur la pédale de frein.

On considère un conducteur en bonne santé.

La distance de réaction, en mètre, en fonction de la vitesse du véhicule est représentée par le graphique de l’annexe.

1. Cette représentation graphique traduit-elle une situation de proportionnalité ?

Justifier la réponse.

2. Compléter, par lecture graphique, le tableau de l’annexe.

Graphique et tableau (annexe à rendre avec la copie) :

Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche

La distance de freinage d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur appuie sur la pédale de frein et l’instant où la voiture s’arrête complètement.

La distance de freinage en mètre, pour un véhicule en bon état, est déterminée en fonction de la vitesse du véhicule par la formule :

\[d = \dfrac{v^2}{203{,}2} \quad \text{où } v \text{ est la vitesse exprimée en km/h}\]

On utilise un tableur pour calculer les distances de freinage en fonction de la vitesse :

1. Recopier parmi les formules trois suivantes, celle qu’il faut saisir dans la cellule B2 puis étirer vers la droite :

= 2*B1/203.2 = B1*B1/203.2 = B1+B1/203.2

2. Un véhicule roule à 90 km/h.

Montrer que sa distance de freinage est environ 40 m.

Partie 3 : Distance d’arrêt sur route sèche

La distance d’arrêt d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où la voiture s’arrête complètement.

Distance d’arrêt = Distance de réaction + Distance de freinage

Calculer la distance d’arrêt d’un véhicule roulant à 90 km/h.

Exercice 7 (9 points)

On doit appliquer deux couches de peinture sur le sol et les parois intérieures d’une piscine rectangulaire dont les dimensions sont données dans le document 2.

À l’aide des documents ci-dessous, calculer le budget que l’on doit prévoir pour les travaux de peinture.

Document 1 : pot de peinture Surface pouvant être peinte : 35 m² Prix : 12 000 F

Document 2 : piscine de base rectangulaire Longueur : 8 m Largeur : 4 m Profondeur : 1,70 m

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.

Exercice 8 (13 points)

On dispose des informations suivantes sur le phare Amédée, une balise et une bouée :

• la hauteur du phare est de 56 m ;
• la balise est située à 260 m du phare ;
• la balise et la bouée sont distantes de 151 m ;
• la bouée O, le sommet B de la balise et le sommet P du phare sont considérés comme trois points alignés.

Schéma de la situation :

Les droites (PH) et (BA) sont parallèles.

1. Quelle est la distance OH en m ?

2. Déterminer la hauteur AB de la balise. Arrondir au dixième de m près.

Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Le haut du phare est protégé par une barrière composée de sculptures.

Contour de la sculpture

On souhaite réaliser un programme Scratch pour reproduire le contour de cette sculpture.

3. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{a}\) en degré dans la figure ci-dessous :

Le script 1 permet de tracer le motif en pointillé ci-dessous (on part du point A et on s’arrête au point B).

4. Compléter le script 1 de l’annexe.

Le script final permet de réaliser le contour de la sculpture.

5. Compléter le script final de l’annexe.

Scripts (annexe à rendre avec la copie) :

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Affirmation 1. Prendre 50 %, c’est prendre la moitié : \(10\,350 : 2 = 5\,175\). On est loin de 10 300. L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2. 42 et 18 sont tous deux divisibles par 6 : \[\dfrac{42}{18} = \dfrac{6 \times 7}{6 \times 3} = \dfrac{7}{3}.\] Comme 7 et 3 sont premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1), la fraction \(\dfrac{7}{3}\) ne peut plus être simplifiée. L’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. On remplace \(x\) par 3 dans chaque membre : à gauche \(2 \times 3 – 4 = 2\), à droite \(-3 + 5 = 2\). Les deux membres sont égaux, donc 3 est solution. (En résolvant : \(2x + x = 5 + 4\), soit \(3x = 9\) et \(x = 3\), c’est même la seule solution.) L’affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Attention, la formule utilise le rayon : \(R = 21{,}6 : 2 = 10{,}8\) cm. \[V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 10{,}8^3 \approx 5\,276{,}7\ \text{cm}^3.\] À l’unité près, le volume vaut \(5\,277\ \text{cm}^3\), et non 42 213 cm³ (ce nombre correspond à peu près à ce qu’on obtient en utilisant par erreur le diamètre à la place du rayon). L’affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5. Dans le triangle DBN rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{DNB}}\), le côté [DB] est le côté opposé et [BN] le côté adjacent. On utilise la tangente : \[\tan \widehat{\text{DNB}} = \dfrac{\text{DB}}{\text{BN}} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.\] La calculatrice donne \(\widehat{\text{DNB}} = \arctan(\dfrac{1}{3}) \approx 18{,}4^{\circ}\), soit 18° à l’unité près. L’affirmation 5 est vraie.

Affirmation 6. Le dernier chiffre est imposé (6). Pour le premier chiffre il y a 3 possibilités (1, 2 ou 3) et, comme un chiffre peut se répéter, 3 possibilités aussi pour le deuxième. Cela donne \(3 \times 3 = 9\) codes : 116, 126, 136, 216, 226, 236, 316, 326 et 336. L’affirmation 6 est fausse (il y a 9 codes et non 6).

Exercice 2 :

1. La moyenne est la somme des neuf relevés divisée par 9 : \[\dfrac{147 + 199 + 40 + 67 + 47 + 54 + 104 + 45 + 63}{9} = \dfrac{766}{9} \approx 85{,}1.\] La moyenne des précipitations est d’environ 85 mm.

2. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : \(199 – 40 = 159\). L’étendue est de 159 mm.

3. On range les 9 valeurs dans l’ordre croissant : 40 ; 45 ; 47 ; 54 ; 63 ; 67 ; 104 ; 147 ; 199. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5^e, qui laisse 4 valeurs avant elle et 4 après. La médiane est 63 mm.

4. Les mois dépassant 100 mm sont avril (147), mai (199) et octobre (104) : 3 mois sur 9. \[\dfrac{3}{9} \times 100 = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}3.\] Environ 33 % des mois ont eu plus de 100 mm de pluie.

Exercice 3 :

1. Le triangle BAI est rectangle en A, son hypoténuse est [BI]. D’après le théorème de Pythagore : \[\text{BI}^2 = \text{BA}^2 + \text{AI}^2 = 210^2 + 155^2 = 44\,100 + 24\,025 = 68\,125.\] Donc \(\text{BI} = \sqrt{68\,125} \approx 261{,}008\). BI mesure environ 261 cm.

2. Une vitre de 210 cm sur 155 cm se partage, par une diagonale, en deux triangles rectangles identiques au triangle BAI : chaque diagonale mesure donc environ 261 cm. Pour les deux diagonales, il faut \(2 \times 261 = 522\) cm, soit environ 5,22 m d’adhésif par vitre.

3. Pour les 15 vitres, il faut \(15 \times 5{,}22 = 78{,}3\) m d’adhésif. Or Joanne dispose de \(7 \times 10 = 70\) m. Comme \(78{,}3 \gt 70\), elle n’a pas assez d’adhésif : il lui manque environ 8,3 m, donc un rouleau supplémentaire.

Exercice 4 :

1. a. 330 se termine par 0, il est donc divisible par 2 (et par 10) : \(330 = 2 \times 165\). Il possède d’autres diviseurs que 1 et lui-même, 330 n’est donc pas premier.

b. On divise successivement par les nombres premiers : \(330 = 2 \times 165\), \(165 = 3 \times 55\), \(55 = 5 \times 11\), et 11 est premier. \(330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11\).

c. \(330 : 165 = 2\), résultat entier : \(330 = 2 \times 165\). 165 divise 330.

d. \(165 = 3 \times 5 \times 11\). Si 165 divisait 500, les nombres premiers 3 et 11 figureraient dans la décomposition de 500. Or \(500 = 2^2 \times 5^3\) ne contient que les facteurs 2 et 5. On peut aussi le voir directement : \(500 = 3 \times 165 + 5\), le reste n’est pas nul. 165 ne divise pas 500.

2. Les 330 biscuits aux noix se partagent exactement entre les 165 boîtes, puisque \(330 = 165 \times 2\). Chaque boîte contient 2 biscuits aux noix.

3. a. On effectue la division euclidienne de 500 par 165 : \(500 = 165 \times 3 + 5\), avec \(5 \lt 165\). Chaque boîte contient 3 biscuits au chocolat.

b. Le reste de cette division est 5. Il reste 5 biscuits au chocolat.

4. Sans réduction, 12 boîtes coûtent \(12 \times 3\,650 = 43\,800\) francs. Comme on achète au moins 10 boîtes, on a droit à 5 % de réduction : \(43\,800 \times \dfrac{5}{100} = 2\,190\) francs. Le montant à payer est donc \(43\,800 – 2\,190 = 41\,610\) francs (ce qui revient à calculer \(43\,800 \times 0{,}95\)). On paie 41 610 francs pour 12 boîtes.

Exercice 5 :

1. La famille banane compte \(5 + 3 + 3 + 2 + 1 = 14\) cartes. Les quatre familles ayant la même répartition, le jeu compte \(4 \times 14 = 56\) cartes. Le jeu a bien 56 cartes.

2. Les cartes sont tirées au hasard avec la même chance : la probabilité est le nombre de cartes prune divisé par le nombre total de cartes. \[p(P) = \dfrac{14}{56} = \dfrac{1}{4}.\] La probabilité de \(P\) est \(\dfrac{1}{4}\), soit 0,25.

3. a. L’évènement contraire de \(P\), noté \(\overline{P}\), est « Jack n’obtient pas une carte de la famille prune », c’est-à-dire « Jack obtient une carte banane, citron ou fraise ».

b. La somme des probabilités d’un évènement et de son contraire vaut 1 : \[p(\overline{P}) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.\] La probabilité de l’évènement contraire est \(\dfrac{3}{4}\), soit 0,75.

4. Dans chaque famille, 2 cartes portent quatre fruits : cela fait \(4 \times 2 = 8\) cartes sur 56. \[\dfrac{8}{56} = \dfrac{1}{7}.\] La probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits est \(\dfrac{1}{7}\).

Exercice 6 :

Partie 1

1. La courbe est une portion de droite qui passe par l’origine du repère : la distance de réaction est une fonction linéaire de la vitesse. Oui, il s’agit d’une situation de proportionnalité.

2. Par lecture graphique : pour une vitesse de 0 km/h, la distance de réaction est 0 m (la droite passe par l’origine) ; la distance de 15 m est atteinte pour 54 km/h ; pour 90 km/h, on lit 25 m. Le tableau complété est :

On peut vérifier la cohérence par proportionnalité : \(\dfrac{15}{54} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\).

Partie 2

1. La formule \(d = \dfrac{v^2}{203{,}2}\) demande de multiplier la vitesse par elle-même puis de diviser par 203,2 ; la vitesse se trouve dans la cellule B1. Il faut saisir = B1*B1/203.2 (la première formule calcule \(2v\) au lieu de \(v^2\), la troisième ajoute B1 au lieu de multiplier).

2. Avec \(v = 90\) : \[d = \dfrac{90^2}{203{,}2} = \dfrac{8\,100}{203{,}2} \approx 39{,}9.\] La distance de freinage à 90 km/h est bien d’environ 40 m.

Partie 3

À 90 km/h, la distance de réaction est de 25 m (partie 1) et la distance de freinage d’environ 39,9 m (partie 2). La distance d’arrêt vaut donc \(25 + 39{,}9 \approx 64{,}9\) m. Un véhicule roulant à 90 km/h s’arrête sur environ 65 m.

Exercice 7 :

On doit peindre l’intérieur de la piscine, soit cinq rectangles : le fond et les quatre parois.

• le fond : \(8 \times 4 = 32\ \text{m}^2\) ;
• les deux grandes parois : \(2 \times 8 \times 1{,}70 = 27{,}2\ \text{m}^2\) ;
• les deux petites parois : \(2 \times 4 \times 1{,}70 = 13{,}6\ \text{m}^2\).

La surface à peindre est donc \(32 + 27{,}2 + 13{,}6 = 72{,}8\ \text{m}^2\). Avec deux couches, cela revient à couvrir \(2 \times 72{,}8 = 145{,}6\ \text{m}^2\).

Un pot couvre 35 m² : \(\dfrac{145{,}6}{35} = 4{,}16\). Quatre pots ne couvrent que \(4 \times 35 = 140\ \text{m}^2\), ce qui est insuffisant ; il faut donc acheter 5 pots. Le budget est \(5 \times 12\,000 = 60\,000\) F. Il faut prévoir 60 000 F pour la peinture.

Exercice 8 :

1. Les points H, A et O sont alignés dans cet ordre, donc \(\text{OH} = \text{HA} + \text{AO} = 260 + 151 = 411\) m. OH = 411 m.

2. Les points O, A, H d’une part et O, B, P d’autre part sont alignés, et les droites (AB) et (HP) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OHP : \[\dfrac{\text{OA}}{\text{OH}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OP}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{HP}}.\] Avec les données : \(\dfrac{151}{411} = \dfrac{\text{AB}}{56}\), d’où \[\text{AB} = \dfrac{56 \times 151}{411} = \dfrac{8\,456}{411} \approx 20{,}57.\] La balise mesure environ 20,6 m.

3. L’angle plat mesure 180°, et il est partagé en l’angle \(\widehat{a}\) et l’angle de 72°. Donc \(\widehat{a} = 180^{\circ} – 72^{\circ} = 108^{\circ}\). L’angle \(\widehat{a}\) mesure 108°. C’est l’angle dont le lutin doit tourner pour former, entre deux segments, un angle de 72° : c’est pourquoi 108 apparaît dans le script 1.

4. On suit le motif de A vers B : 38 pas, puis un angle droit (on tourne de 90° vers la droite), 28 pas, l’angle de 72° (on tourne de 108° vers la gauche), à nouveau 28 pas, un angle droit (90° vers la droite) et enfin 38 pas jusqu’à B. Le script 1 complété est :

définir motif
avancer de 38 pas
tourner ↻ de 90 degrés
avancer de 28 pas
tourner ↺ de 108 degrés
avancer de 28 pas
tourner ↻ de 90 degrés
avancer de 38 pas

5. En B, le motif suivant commence en formant un angle de 36° avec le dernier segment : comme à la question 3, le lutin doit tourner de \(180^{\circ} – 36^{\circ} = 144^{\circ}\) vers la gauche.

Pour le nombre de répétitions, on fait le bilan des rotations d’un motif, en comptant positivement vers la gauche : \(-90 + 108 – 90 + 144 = 72\) degrés. Pour que le contour se referme, le lutin doit avoir fait un tour complet, soit 360°, et \(360 : 72 = 5\). Le motif doit donc être répété 5 fois. Le script final complété est :

Quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
stylo en position d'écriture
répéter 5 fois
    motif
    tourner ↺ de 144 degrés

Il faut répéter 5 fois et tourner de 144 degrés. On a vérifié en simulant le tracé que le lutin revient exactement à son point de départ, dans sa direction initiale, au bout de 5 motifs. Avec 6 répétitions, le sixième motif repasserait sur le premier : le dessin serait le même, mais une répétition serait inutile. Le contour dessiné dans l’énoncé n’est qu’une illustration et ne correspond pas exactement aux mesures du motif.

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