Brevet de maths 2021 en Polynésie : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer le brevet 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2021
Polynésie — 25 juin 2021
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (22 points)

Cet exercice est constitué de 5 questions indépendantes.

1. Sur la figure ci-dessous, chacun des quadrilatères quad1, quad2 et quad3 est l’image du quadrilatère TRAP par une transformation.

Recopier les trois phrases ci-dessous sur la copie et compléter, sans justifier, chacune d’elles par le numéro de l’une des transformations proposées dans le tableau qui suit :

a. Le quadrilatère quad1 est l’image du quadrilatère TRAP par la transformation numéro …

b. Le quadrilatère quad2 est l’image du quadrilatère TRAP par la transformation numéro …

c. Le quadrilatère quad3 est l’image du quadrilatère TRAP par la transformation numéro …

2. Développer et réduire l’expression suivante :

\[(2x – 3)(-5 + 2x) – 4 + 6x.\]

3. Résoudre l’équation suivante :

\[(x – 6)(5x – 2) = 0.\]

4. a. Décomposer, sans justifier, en produit de facteurs premiers les nombres 1 386 et 1 716.

b. En déduire la forme irréductible de la fraction : \(\dfrac{1\,386}{1\,716}\).

5. Les coordonnées géographiques de la ville appelée Jokkmokk sont environ : 67° Nord et 19° Est.
Placer approximativement la ville de Jokkmokk sur le planisphère en ANNEXE à rendre avec la copie.

Annexe – Exercice 1, question 5 (annexe à rendre avec la copie)

Exercice 2 (16 points)

Un professeur propose un jeu à ses élèves.

Ils doivent tirer un jeton dans une boîte de leur choix et gagnent lorsqu’ils tombent sur un jeton noir.

Le professeur leur précise que :

• La boîte A contient 10 jetons dont 1 jeton noir ;
• La boîte B contient 15 % de jetons noirs ;
• La boîte C contient exactement 350 jetons blancs et 50 jetons noirs.

Les jetons sont indiscernables au toucher. Une fois que l’élève a choisi sa boîte, le tirage se fait au hasard.

1. Montrer que, dans la boîte C, la probabilité de tirer un jeton noir est \(\dfrac{1}{8}\).

2. C’est le tour de Maxime. Dans quelle boîte a-t-il intérêt à tenter sa chance ? Justifier la réponse.

3. La boîte B contient 18 jetons noirs. Combien y a-t-il de jetons au total dans cette boîte ?

4. On ajoute 10 jetons noirs dans la boîte C. Déterminer le nombre de jetons blancs à ajouter dans la boîte C pour que la probabilité de tirer un jeton noir reste égale à \(\dfrac{1}{8}\).

Exercice 3 (21 points)

Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point C est le point d’intersection des droites (BE) et (AD).

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. Calculer l’aire du triangle ABC.

3. Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\).

4. Calculer le périmètre du triangle CDE.

5. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

Exercice 4 (19 points)

On donne le programme suivant :

On rappelle que « s’orienter à 90 » signifie que l’on est orienté vers la droite.

1. On prendra dans cette question 1 mm pour un pixel.
Représenter en vraie grandeur sur votre copie la figure que trace le bloc Motif lorsque Longueur vaut 30 pixels.

2. Ce programme utilise une variable, quel est son nom ? À quoi correspond-elle sur la figure réalisée par le bloc Motif ?

3. Laquelle de ces trois figures obtient-on lorsqu’on exécute ce programme ? Indiquer sur la copie le numéro de la bonne proposition parmi les trois suivantes. On expliquera son choix.

4. Modifier le programme précédent pour obtenir la figure ci-dessous. Pour cela, indiquer les numéros des instructions à supprimer ou à modifier, et préciser les modifications à apporter :

5. On souhaite modifier le bloc Motif afin qu’il permette de tracer un carré. Pour cela, indiquer les lettres des instructions à supprimer ou à modifier, et préciser les modifications à apporter.

Exercice 5 (22 points)

Nora veut ouvrir un magasin de souvenirs à Paris et proposer à la vente des tours Eiffel miniatures.

Elle contacte deux fournisseurs qui lui envoient chacun sous forme de graphiques le prix à leur payer en fonction du nombre de tours Eiffel achetées.

1. Par lecture graphique, avec la précision qu’elle permet, et sans justification,

a. Déterminer le prix à payer pour acheter 200 tours Eiffel chez le fournisseur A.

b. Nora a dépensé 1 300 euros chez le fournisseur B. Combien de tours Eiffel lui a-t-elle achetées ?

2. Ces fournisseurs proposent-ils des prix proportionnels au nombre de tours Eiffel achetées ?

3. a. Pour le fournisseur A, on admet que le prix des tours Eiffel est donné par la fonction linéaire \(f\) représentée ci-dessus. On a en particulier \(f(100) = 250\).
Déterminer l’expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\).

b. Calculer \(f(1\,000)\).

c. Nora veut acheter 1 000 tours Eiffel. Quel est le fournisseur le moins cher dans ce cas-là ?

4. Nora contacte un troisième fournisseur, le fournisseur C, qui lui demande un paiement initial de 150 euros pour avoir accès à ses articles, en plus d’un prix unitaire de 2 euros par tour Eiffel.

a. Remplir le tableau des tarifs sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.

Annexe – Exercice 5, question 4. a. (annexe à rendre avec la copie)

b. Avec 580 euros, combien de tours Eiffel peut acheter Nora chez le fournisseur C ?

c. Résoudre l’équation suivante : \(2{,}5x = 150 + 2x\).
Expliquer à quoi correspond la solution trouvée.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. On observe la position et l’orientation de chaque image.

a. quad1 se trouve de l’autre côté de la droite (DE) et il est « retourné » : l’ordre des sommets est inversé, comme dans un miroir. C’est la seule transformation du tableau qui retourne la figure : quad1 est l’image de TRAP par la transformation numéro 6 (symétrie axiale d’axe (DE)).

b. quad2 a exactement la même orientation que TRAP ; il a simplement glissé vers le haut et la droite, parallèlement à la droite (DE), dans le sens qui va de D vers E. quad2 est l’image de TRAP par la transformation numéro 1 (translation qui transforme D en E).

c. quad3 a gardé le point A et a tourné d’un quart de tour : le côté [PA], horizontal, devient vertical et descend sous A. Le point P passe de la gauche de A au-dessous de A, ce qui correspond au sens contraire des aiguilles d’une montre. quad3 est l’image de TRAP par la transformation numéro 2 (rotation de centre A et d’angle 90°).

2. On développe le produit par double distributivité, puis on regroupe les termes de même nature :

\[(2x – 3)(-5 + 2x) – 4 + 6x = -10x + 4x^2 + 15 – 6x – 4 + 6x\]

\[= 4x^2 + (-10x – 6x + 6x) + (15 – 4) = 4x^2 – 10x + 11\]

L’expression développée et réduite est \(4x^2 – 10x + 11\).

3. C’est une équation produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

Soit \(x – 6 = 0\), c’est-à-dire \(x = 6\) ; soit \(5x – 2 = 0\), c’est-à-dire \(5x = 2\) donc \(x = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).

L’équation a deux solutions : \(0{,}4\) et \(6\).

4. a. \(1\,386 = 2 \times 693 = 2 \times 3 \times 231 = 2 \times 3 \times 3 \times 77\), donc \(1\,386 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 11\).

\(1\,716 = 2 \times 858 = 2 \times 2 \times 429 = 2 \times 2 \times 3 \times 143\), donc \(1\,716 = 2^2 \times 3 \times 11 \times 13\).

b. On écrit les deux décompositions et on simplifie par les facteurs communs \(2\), \(3\) et \(11\) (c’est-à-dire par leur PGCD, 66) :

\[\dfrac{1\,386}{1\,716} = \dfrac{2 \times 3 \times 11 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 11 \times 2 \times 13} = \dfrac{3 \times 7}{2 \times 13} = \dfrac{21}{26}\]

21 et 26 n’ont plus de facteur premier commun, donc la forme irréductible est \(\dfrac{21}{26}\).

5. Sur le planisphère, les parallèles (en rouge) sont tracés tous les 10° et les méridiens (en bleu) tous les 15°. La latitude 67° Nord se situe entre les parallèles 60° et 70° Nord, nettement plus près du 70°. La longitude 19° Est se situe un peu à droite du méridien 15° Est (le premier méridien à droite du méridien 0), entre celui-ci et le méridien 30° Est. On place la croix dans le nord de la Scandinavie, en Laponie suédoise, un peu au-dessus du cercle polaire.

Exercice 2 :

1. La boîte C contient \(350 + 50 = 400\) jetons, dont 50 noirs. Les tirages étant équiprobables :

\[p = \dfrac{50}{400} = \dfrac{50 \times 1}{50 \times 8} = \dfrac{1}{8}\]

La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte C est bien \(\dfrac{1}{8}\).

2. On compare les trois probabilités de gagner, écrites sous forme décimale :

• boîte A : \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\) ;
• boîte B : \(15\ \% = 0{,}15\) ;
• boîte C : \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\).

Comme \(0{,}1 \lt 0{,}125 \lt 0{,}15\), Maxime a intérêt à choisir la boîte B, celle où la probabilité de tirer un jeton noir est la plus grande.

3. Notons \(n\) le nombre total de jetons de la boîte B. Les 18 jetons noirs représentent 15 % du total, donc \(0{,}15 \times n = 18\), d’où \(n = \dfrac{18}{0{,}15} = 120\). La boîte B contient 120 jetons. (Vérification : 15 % de 120, c’est \(0{,}15 \times 120 = 18\).)

4. Après l’ajout, la boîte C contient \(50 + 10 = 60\) jetons noirs. Pour que la probabilité reste égale à \(\dfrac{1}{8}\), le nombre total de jetons doit être 8 fois le nombre de jetons noirs : \(8 \times 60 = 480\) jetons. Il doit donc y avoir \(480 – 60 = 420\) jetons blancs, alors qu’il y en a 350. Il faut ajouter \(420 – 350 = 70\) jetons blancs.

Exercice 3 :

1. Dans le triangle ABC, le plus long côté est [AB]. On calcule séparément :

\(\text{AB}^2 = 17^2 = 289\) et \(\text{AC}^2 + \text{BC}^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\).

On a donc \(\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

2. Le triangle étant rectangle en C, on peut prendre [AC] comme base et [BC] comme hauteur :

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2} = \dfrac{8 \times 15}{2} = 60\]

L’aire du triangle ABC est 60 cm².

3. Dans le triangle ABC rectangle en C, pour l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\), [BC] est le côté opposé et [AC] le côté adjacent :

\[\tan\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{15}{8} = 1{,}875\]

La calculatrice donne \(\arctan(1{,}875) \approx 61{,}9°\). \(\widehat{\text{BAC}} \approx 62°\) au degré près. (On obtient la même valeur avec \(\cos\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{8}{17}\) ou \(\sin\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{15}{17}\).)

4. Les droites (AD) et (BE) se coupent en C. Les angles \(\widehat{\text{ACB}}\) et \(\widehat{\text{DCE}}\) sont opposés par le sommet, donc de même mesure : \(\widehat{\text{DCE}} = 90°\). Le triangle CDE est rectangle en C, d’hypoténuse [DE]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{CD}^2 = \text{DE}^2 – \text{CE}^2 = 13^2 – 12^2 = 169 – 144 = 25\]

donc \(\text{CD} = \sqrt{25} = 5\) cm. Le périmètre vaut \(\text{CD} + \text{CE} + \text{DE} = 5 + 12 + 13 = 30\). Le périmètre du triangle CDE est 30 cm.

5. Les points A, C, D sont alignés, ainsi que B, C, E, dans le même ordre. Si les droites (AB) et (DE) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait \(\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{CE}}\). Or :

\(\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6\) et \(\dfrac{\text{CB}}{\text{CE}} = \dfrac{15}{12} = 1{,}25\).

Ces deux rapports sont différents. Les droites (AB) et (DE) ne sont donc pas parallèles (contraposée du théorème de Thalès).

Exercice 4 :

1. Le bloc Motif répète 6 fois « avancer de Longueur, tourner de 60° vers la droite ». Le lutin trace donc 6 côtés de 30 pixels, et tourne au total de \(6 \times 60° = 360°\) : il revient à son point de départ. La figure est un hexagone régulier de 30 mm (3 cm) de côté.

Construction sur la copie : on trace un segment horizontal de 3 cm (le lutin part vers la droite), puis, en tournant chaque fois de 60° dans le sens des aiguilles d’une montre, cinq autres segments de 3 cm ; les angles intérieurs mesurent \(180° – 60° = 120°\). Autre méthode : tracer un cercle de rayon 3 cm et reporter six fois cette longueur sur le cercle au compas. L’hexagone obtenu a son côté supérieur horizontal et se trouve sous le point de départ.

2. La variable s’appelle « Longueur ». Dans le bloc Motif, le lutin avance de Longueur à chaque répétition : c’est la longueur (en pixels) d’un côté de l’hexagone.

3. Déroulons le programme. Le lutin part du point \((-190\ ;\ 0)\), à gauche de la scène (le signe « moins » de l’abscisse n’apparaît pas sur l’image du script, mais c’est bien \(-190\) dans le sujet officiel), orienté vers la droite, avec Longueur = 30.

À chaque tour de la boucle, il trace un hexagone de côté Longueur (ligne 6), relève le stylo (ligne 7), se déplace vers la droite de \(2 \times \text{Longueur} + 10\) pixels sans tracer (ligne 8), puis augmente Longueur de 10 (ligne 9).

On obtient donc quatre hexagones de côtés 30, 40, 50 et 60 pixels : ils sont de plus en plus grands et se succèdent vers la droite. Un hexagone de côté \(L\) tracé ainsi a une largeur de \(2L\) ; comme le lutin avance de \(2L + 10\) avant de tracer le suivant, les hexagones ne se chevauchent pas. Cela élimine la figure 1 (hexagones emboîtés) et la figure 3 (hexagones de plus en plus petits). C’est la figure 2.

4. La figure demandée comporte 6 hexagones identiques, régulièrement espacés.

• Ligne 5 : remplacer « répéter 4 fois » par « répéter 6 fois », pour obtenir six hexagones ;
• Ligne 9 : la supprimer (« ajouter à Longueur 10 »), pour que Longueur reste égale à 30 et que tous les hexagones aient la même taille.

La ligne 8 peut rester telle quelle : Longueur ne changeant plus, le déplacement vaut toujours \(30 \times 2 + 10 = 70\) pixels, ce qui laisse un écart constant de 10 pixels entre deux hexagones. Le dernier hexagone commence à \(x = -190 + 5 \times 70 = 160\) et s’arrête à \(x = 205\) : il tient dans la scène.

5. Un carré a 4 côtés et 4 angles droits ; le lutin doit donc tourner de 90° après chaque côté.

• Instruction C : remplacer « répéter 6 fois » par « répéter 4 fois » ;
• Instruction E : remplacer « tourner de 60 degrés » par « tourner de 90 degrés ».

Les instructions A, B et D ne changent pas (le côté du carré vaut Longueur).

Exercice 5 :

1. a. Sur le graphique du fournisseur A, le point de la droite d’abscisse 200 a pour ordonnée 500. 200 tours Eiffel coûtent 500 € chez le fournisseur A.

b. Sur le graphique du fournisseur B, on part de 1 300 sur l’axe des prix, on rejoint la courbe puis on descend sur l’axe horizontal : on lit 600. Nora a acheté environ 600 tours Eiffel chez le fournisseur B.

2. Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l’origine.

• Fournisseur A : la représentation est une droite qui passe par l’origine, les prix sont proportionnels au nombre de tours achetées.
• Fournisseur B : la représentation passe par l’origine mais ce n’est pas une droite (la courbe s’infléchit), les prix ne sont pas proportionnels. Par exemple, 200 tours coûtent environ 500 € mais 600 tours coûtent 1 300 €, et non \(3 \times 500 = 1\,500\) €.

3. a. Une fonction linéaire s’écrit \(f(x) = ax\). Comme \(f(100) = 250\), on a \(a \times 100 = 250\), donc \(a = \dfrac{250}{100} = 2{,}5\). \(f(x) = 2{,}5x\) : chaque tour Eiffel coûte 2,50 € chez le fournisseur A.

b. \(f(1\,000) = 2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500\). \(f(1\,000) = 2\,500\).

c. Chez le fournisseur A, 1 000 tours coûtent 2 500 € d’après la question précédente. Chez le fournisseur B, on lit sur le graphique qu’elles coûtent environ 1 800 €. Comme \(1\,800 \lt 2\,500\), le fournisseur B est le moins cher pour 1 000 tours Eiffel.

4. a. Chez le fournisseur C, le prix à payer pour \(x\) tours est \(150 + 2x\) euros (150 € d’accès plus 2 € par tour). Pour 200 tours : \(150 + 2 \times 200 = 550\) ; pour 1 000 tours : \(150 + 2 \times 1\,000 = 2\,150\).

b. On cherche \(x\) tel que \(150 + 2x = 580\). On obtient \(2x = 580 – 150 = 430\), donc \(x = \dfrac{430}{2} = 215\). Avec 580 €, Nora peut acheter 215 tours Eiffel chez le fournisseur C.

c. On regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :

\[2{,}5x – 2x = 150 \quad \text{donc} \quad 0{,}5x = 150 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{150}{0{,}5} = 300\]

La solution de l’équation est 300. Le membre de gauche, \(2{,}5x\), est le prix de \(x\) tours chez le fournisseur A ; le membre de droite, \(150 + 2x\), est leur prix chez le fournisseur C. La solution signifie donc que pour 300 tours Eiffel, les fournisseurs A et C demandent le même prix : \(2{,}5 \times 300 = 750\) € et \(150 + 2 \times 300 = 750\) €.

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