Brevet de maths 2024 en Amérique du Sud : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer le brevet 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2024
Amérique du Sud — 2 décembre 2024
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (20 points)

Cet exercice est un Q.C.M. (questionnaire à choix multiple).

Pour chacune des cinq questions, trois réponses sont proposées et une seule convient.

Pour chacune des cinq questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est attendue.

Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne retire pas de point.

		Réponse A	Réponse B	Réponse C
1	Une urne contient trois jetons verts et deux jetons blancs. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir un jeton blanc ?	\(\dfrac{2}{3}\)	\(\dfrac{3}{5}\)	\(\dfrac{2}{5}\)
2	Quelle est la vue de droite de ce solide ?
3	B, H et A sont alignés. B, D et C sont alignés. BD = 2 cm ; BC = 10 cm ; AC = 16 cm ; (DH) // (AC). Quelle est la longueur du segment [DH] ?	3,2 cm	4 cm	4,8 cm
4	Voici un engrenage : Si la petite roue effectue exactement 4 tours complets, combien de tours complets effectue la grande roue ?	3 tours complets	4 tours complets	6 tours complets
5	Le carré AGFE est l’image du carré ADCB par une homothétie de centre A. Le triangle EGF est l’image d’un triangle par cette même homothétie. Quel est ce triangle ?	GEA	ABD	BDC

Exercice 2 (24 points)

On considère deux fonctions \(f\) et \(g\) définies par :

\[f(x) = x^2 – x – 6 \qquad \qquad g(x) = -2x.\]

1. a. Montrer que l’image de 5 par la fonction \(f\) est 14.

b. Déterminer l’antécédent de 4 par la fonction \(g\).

Pour calculer des images de nombres par les fonctions \(f\) et \(g\), on utilise un tableur et on obtient la copie d’écran suivante :

c. À l’aide des informations précédentes, citer deux antécédents de 14 par la fonction \(f\).

d. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l’étirer vers la droite jusqu’à la cellule H2 ?

e. Existe-t-il un nombre qui a la même image par la fonction \(f\) et par la fonction \(g\) ?

2. a. Montrer que, pour tout nombre \(x\), \(f(x)\) est égal à \((x+2)(x-3)\).

b. Résoudre l’équation \(f(x) = 0\).

Exercice 3 (22 points)

1. Le tableau ci-dessous présente, pour quatre félins étudiés, les probabilités d’attraper leur proie quand ils la poursuivent.

Vérifier que, parmi les quatre félins étudiés, le chat à pieds noirs a la probabilité la plus élevée d’attraper sa proie quand il la poursuit.

2. Le plus souvent, le guépard est le félin le plus rapide avec une vitesse pouvant atteindre 115 km/h. À cette vitesse, en combien de secondes le guépard parcourt-il 100 mètres ? On donnera une valeur approchée au centième de seconde près.

Dans un pays d’Afrique, on estimait à :

• 1 200 guépards en 1999.
• 170 guépards en 2016.

Dans ce pays, est-il vrai que le nombre de guépards a baissé d’environ 86 % entre 1999 et 2016 ?

3. Dans le parc national d’Etosha en Namibie, on peut observer des lions et des guépards. À l’aide de la carte ci-dessous, donner approximativement la latitude et la longitude du parc national d’Etosha.

Exercice 4 (20 points)

On dispose d’un terrain en pente sur lequel on souhaite construire une maison. Il faut pour cela enlever de la terre afin d’obtenir un terrain horizontal. On dispose des informations suivantes :

La maison sera construite sur le terrain horizontal représenté par le segment [BC]. Le triangle ABC est rectangle en C et :

AC = 2,6 m
AB = 17 m

1. Justifier que la longueur CB est égale à 16,8 m.

2. Le coût des travaux pour enlever la terre dépend de la mesure de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\). Si la mesure de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) est supérieure à \(8{,}5^\circ\), cela entraînera un surcoût des travaux (c’est-à-dire que les travaux pour enlever la terre coûteront plus cher).

Est-ce le cas pour ce terrain ?

3. On admet que le volume de terre enlevée correspond au volume du prisme droit CBAFED de hauteur [CF] et de bases triangulaires ACB et DFE, comme représenté ci-dessous. On rappelle que les longueurs CF et AD sont égales.

Déterminer le volume de terre à enlever en m³.

On rappelle la formule :

Volume d’un prisme droit = aire d’une base du prisme × hauteur du prisme.

Exercice 5 (14 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue pour les réponses apportées aux questions 1. et 2.

À l’aide d’un logiciel de programmation, on définit un bloc « Losange » pour construire un losange.

1. Dans le bloc « Losange », par quelles valeurs faut-il remplacer \(a\) et \(b\) pour obtenir le losange ci-dessus ?

2. On définit ensuite un nouveau bloc nommé « Motif A » :

Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc « Motif A » ?

3. On a défini un nouveau bloc nommé « Motif B ». En l’exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous :

Écrire un script du bloc « Motif B ».

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse C. L’urne contient \(3+2=5\) jetons, tous ayant la même chance d’être tirés, dont 2 blancs. La probabilité de tirer un jeton blanc est donc \(\dfrac{2}{5}\) (soit 0,4).

2. Réponse B. On se place à droite du solide, dans le sens de la flèche. On voit alors, à gauche, la colonne de trois cubes (la tour et le cube qui la porte, les cubes de la rangée avant étant cachés derrière le dernier d’entre eux). À droite, on voit le cube situé derrière la rangée avant, au niveau du sol, et le cube placé en dessous de lui. Cela donne une colonne de trois carrés, un carré accolé à droite du carré du bas et un carré sous ce dernier : c’est la vue B.

3. Réponse A. Les points B, H, A d’une part et B, D, C d’autre part sont alignés, et les droites (DH) et (AC) sont parallèles : on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BDH et BCA.

\[\dfrac{\text{BD}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{BH}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{DH}}{\text{AC}} \quad\text{donc}\quad \dfrac{2}{10}=\dfrac{\text{DH}}{16}.\]

On en déduit \(\text{DH}=\dfrac{2\times 16}{10}=3{,}2\), soit DH = 3,2 cm.

4. Réponse A. Les dents s’engrènent une à une : quand la petite roue tourne d’une dent, la grande tourne aussi d’une dent. En 4 tours, la petite roue fait passer \(4\times 9=36\) dents. Pour la grande roue, 36 dents correspondent à \(36: 12=3\) tours complets.

5. Réponse C. L’homothétie de centre A qui transforme le carré ADCB en carré AGFE envoie chaque sommet sur le sommet correspondant, dans l’ordre : A sur A, D sur G, C sur F et B sur E. (Les points D et G sont de part et d’autre de A et AG = 2 AD : c’est l’homothétie de centre A et de rapport \(-2\).) Le triangle EGF est donc l’image du triangle formé par les antécédents de E, G et F, c’est-à-dire B, D et C : c’est le triangle BDC.

Exercice 2 :

1. a. On remplace \(x\) par 5 dans l’expression de \(f\) :

\[f(5)=5^2-5-6=25-5-6=14.\]

L’image de 5 par la fonction \(f\) est bien 14.

b. On cherche le nombre \(x\) tel que \(g(x)=4\), c’est-à-dire \(-2x=4\). En divisant par \(-2\) : \(x=\dfrac{4}{-2}=-2\).

L’antécédent de 4 par \(g\) est \(-2\) (le tableur le confirme : colonne D, \(g(-2)=4\)).

c. À la question 1. a., on a trouvé \(f(5)=14\). Dans le tableur, la cellule B2 montre aussi que \(f(-4)=14\). Deux antécédents de 14 par \(f\) sont donc \(-4\) et 5.

d. La cellule B2 doit calculer \(f\) en utilisant la valeur de \(x\) écrite en B1. On a pu saisir :

=B1^2-B1-6

(ou =B1*B1-B1-6). Comme la référence B1 est relative (elle n’est pas figée), elle devient C1, D1, … quand on étire la formule vers la droite.

e. Oui. On cherche dans le tableur une colonne où les lignes 2 et 3 donnent le même résultat. Dans la colonne C : \(f(-3)=6\) et \(g(-3)=6\). Dans la colonne H : \(f(2)=-4\) et \(g(2)=-4\). Les nombres \(-3\) et 2 ont la même image par \(f\) et par \(g\).

Remarque : ce sont les seuls. En effet, \(f(x)=g(x)\) revient à \(x^2-x-6=-2x\), soit \(x^2+x-6=0\). Or \((x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6\), donc l’équation s’écrit \((x+3)(x-2)=0\), dont les solutions sont \(-3\) et 2.

2. a. On développe le produit avec la double distributivité :

\[(x+2)(x-3)=x\times x-3x+2x-6=x^2-x-6.\]

On retrouve l’expression de \(f(x)\) : pour tout nombre \(x\), \(f(x)=(x+2)(x-3)\).

b. D’après la question précédente, l’équation \(f(x)=0\) s’écrit \((x+2)(x-3)=0\). C’est une équation produit : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

\(x+2=0\) donne \(x=-2\), et \(x-3=0\) donne \(x=3\).

L’équation \(f(x)=0\) a deux solutions : \(-2\) et 3. (Le tableur confirme \(f(-2)=0\).)

Exercice 3 :

1. Pour comparer, on écrit toutes les probabilités sous forme décimale :

• lion : 25 % \(=\dfrac{25}{100}=0{,}25\) ;
• guépard : \(\dfrac{1}{2}=0{,}5\) ;
• tigre : \(0{,}1\) ;
• chat à pieds noirs : \(\dfrac{6}{10}=0{,}6\).

Comme \(0{,}1 \lt 0{,}25 \lt 0{,}5 \lt 0{,}6\), c’est bien le chat à pieds noirs qui a la plus grande probabilité d’attraper sa proie.

2. Temps pour 100 m. On convertit la vitesse en mètres par seconde : 115 km = 115 000 m et 1 h = 3 600 s, donc

\[v=\dfrac{115\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}}\approx 31{,}94\ \text{m/s}.\]

Le temps se calcule par \(t=\dfrac{d}{v}\) :

\[t=\dfrac{100}{\dfrac{115\,000}{3\,600}}=\dfrac{100\times 3\,600}{115\,000}=\dfrac{360\,000}{115\,000}\approx 3{,}130\ \text{s}.\]

À 115 km/h, le guépard parcourt 100 m en 3,13 secondes environ (au centième près).

Baisse du nombre de guépards. La baisse est de \(1\,200-170=1\,030\) guépards. On la rapporte à la population de départ :

\[\dfrac{1\,030}{1\,200}\approx 0{,}858 \text{, soit environ } 85{,}8\ \%.\]

Arrondi à l’unité, cela fait 86 % : oui, il est vrai que le nombre de guépards a baissé d’environ 86 %.

3. Sur la carte, la croix du parc d’Etosha se trouve sous l’équateur, à peu près sur le parallèle marqué 20° : elle est donc dans l’hémisphère Sud. Elle se trouve aussi un peu à droite du méridien 0°, à environ la moitié de l’écart entre le méridien 0° et le méridien 30° Est.

Le parc national d’Etosha est situé à environ 20° Sud de latitude et 15° Est de longitude (une lecture proche, entre 15° et 20° Sud et entre 10° et 20° Est, est acceptable).

Exercice 4 :

1. Le triangle ABC est rectangle en C, son hypoténuse est [AB]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{CB}^2 \quad\text{donc}\quad \text{CB}^2=\text{AB}^2-\text{AC}^2=17^2-2{,}6^2=289-6{,}76=282{,}24.\]

Une longueur étant positive, \(\text{CB}=\sqrt{282{,}24}=16{,}8\). On a bien CB = 16,8 m.

2. Dans le triangle ABC rectangle en C, on connaît les trois côtés. Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\), [AC] est le côté opposé et [CB] le côté adjacent. On utilise la tangente :

\[\tan\widehat{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{CB}}=\dfrac{2{,}6}{16{,}8}\approx 0{,}155.\]

La calculatrice (touche arctan ou \(\tan^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{ABC}}\approx 8{,}8^\circ\). (On trouve la même valeur avec le sinus : \(\sin\widehat{\text{ABC}}=\dfrac{2{,}6}{17}\).)

Comme \(8{,}8^\circ \gt 8{,}5^\circ\), oui, il y aura un surcoût des travaux pour ce terrain.

3. La base du prisme est le triangle ACB, rectangle en C. Son aire vaut la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit :

\[\mathcal{A}_{\text{ACB}}=\dfrac{\text{AC}\times \text{CB}}{2}=\dfrac{2{,}6\times 16{,}8}{2}=21{,}84\ \text{m}^2.\]

La hauteur du prisme est CF, égale à AD = 30 m. D’où le volume :

\[V=21{,}84\times 30=655{,}2\ \text{m}^3.\]

Il faut enlever 655,2 m³ de terre.

Exercice 5 :

1. Un losange a ses quatre côtés de même longueur : le deuxième côté doit mesurer 20 comme le premier, donc \(a=20\).

Pour l’angle : quand le lutin tourne de \(t\) degrés, l’angle intérieur de la figure à ce sommet mesure \(180^\circ-t\). Tourner de 60° après le premier côté donne un angle intérieur de \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Dans un losange, deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc l’angle intérieur suivant doit mesurer \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\), ce qui demande de tourner de \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Donc \(b=120\).

Vérification : sur les deux passages de la boucle, le lutin tourne au total de \(2\times (60+120)=360\) degrés ; il revient à son point de départ avec son orientation de départ, ce qui est nécessaire pour fermer la figure.

2. Figure 3. D’après la question 1, après chaque « Losange », le lutin revient à son point de départ avec la même orientation. Le bloc « Motif A » trace donc trois losanges de même sommet de départ, en tournant à chaque fois de 60° dans le sens des aiguilles d’une montre. Chaque losange a un angle de 60° en ce sommet : les trois losanges se retrouvent accolés, sans se chevaucher, et couvrent \(3\times 60^\circ=180^\circ\) sous la ligne horizontale de départ. C’est la figure 3. (La figure 2 demanderait six losanges, et la figure 1 correspond à des rotations d’un autre angle, avec des losanges qui se chevauchent.)

3. Les trois losanges sont identiques, orientés de la même façon et décalés horizontalement : il n’y a pas de rotation entre eux, seulement un déplacement vers la droite. Sur la figure, l’écart entre deux losanges successifs (d’un point de départ au suivant) vaut deux fois la longueur d’un côté, soit \(2\times 20=40\) pas. Comme le bloc « Losange » relève le stylo à la fin, le déplacement ne laisse pas de trace. Un script possible :

définir Motif B
répéter 3 fois
    Losange
    avancer de 40
fin de la répétition

Le lutin, orienté vers la droite, trace un losange, revient à son point de départ, puis avance de 40 pas stylo relevé avant de tracer le losange suivant.

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