Brevet maths 2026 sujet zéro A : sujet et corrigé

Voici le sujet zéro A du brevet 2026, publié pour présenter la nouvelle épreuve de mathématiques avec ses 20 minutes d’automatismes sans calculatrice puis 1 h 40 de problèmes. Les neuf automatismes balaient le tiers d’un nombre, la conversion de minutes en heures, la médiane, une abscisse sur une droite graduée, le cosinus, Thalès et un script Scratch qui trace un carré. La deuxième partie part d’un collège engagé dans le développement durable (gaspillage à la cantine, trajets à vélo), propose un programme de calcul qui mène à une identité remarquable, compare une fonction linéaire et une fonction affine sur un graphique, puis approche l’aire d’un disque par celle d’un octogone découpé dans un carré. Un corrigé détaillé de chaque question suit l’énoncé complet.

Tous les sujets pour préparer le brevet 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2026
Sujet zéro A — nouvelle épreuve 2026
Mathématiques — Durée : 2 heures

Partie 1 — automatismes 20 min (calculatrice interdite)	6 points
Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes 1 h 40 (calculatrice autorisée)	14 points

Partie 1 — Automatismes (6 points, 20 minutes)

Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante.

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée.

Pour les questions à choix multiple, une seule réponse est exacte.

Question 1

Quel est le tiers de 18 ?

Question 2

Un film dure 240 min. Quelle est sa durée en heures ?

Question 3

Les notes obtenues par un élève sont : 8 ; 12 ; 6 ; 19 ; 15

Que vaut la médiane de cette série de notes ?

Question 4

Sur cette droite graduée, l’abscisse du point E est

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dfrac{5}{4}\)	\(\dfrac{3}{2}\)	\(\dfrac{7}{4}\)	\(\dfrac{5}{2}\)

Question 5

Dans le triangle ABC, rectangle en B, on sait que \(\widehat{\text{A}} = 35^{\circ}\).

Calculer \(\widehat{\text{C}}\).

Question 6

Dans le triangle ABC, rectangle en A, quel calcul doit-on effectuer pour déterminer le cosinus de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) ?

Question 7

Sur la figure ci-contre, dans le triangle ADE les droites (DE) et (CB) sont parallèles.

Déterminer la longueur AD.

Question 8

Dans un collège, 25 % des 300 élèves participent à une olympiade de mathématiques.

Combien d’élèves ne participent pas à cette olympiade ?

Question 9

Une élève souhaite réaliser un programme avec un logiciel de programmation pour dessiner un carré.

Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 3 et 5 pour obtenir un carré ?

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, 1 h 40)

Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.

Exercice 1 (3 points)

Dans le cadre d’un projet de labellisation « Éducation au développement durable », un collège réalise deux enquêtes sur une période donnée.

1. La première enquête porte sur le gaspillage alimentaire à la cantine.

Pendant sept semaines, on relève la masse totale, en kilogramme, d’aliments jetés chaque semaine :

Semaine	1	2	3	4	5	6	7
Masse (kg)	62	59	74	68	55	61	71

Ce collège s’est donné comme objectif que la moyenne, par semaine, de déchets alimentaires sur les 7 semaines ne dépasse pas 65 kg.

Montrer que ce collège a atteint son objectif.

2. La seconde enquête porte sur les déplacements des élèves à vélo entre le domicile et le collège.

Le diagramme ci-dessous représente, pour chaque distance, l’effectif des élèves qui parcourent cette distance en vélo pour aller au collège. (Les élèves qui n’utilisent pas le vélo pour se rendre au collège parcourent 0 km à vélo.)

a. Déterminer l’effectif total d’élèves de ce collège.

b. Pour ce collège, l’affirmation « Plus de 30 % des élèves ont parcouru au moins 5 km à vélo pour se rendre au collège » est-elle vraie ?

Justifier la réponse en précisant la démarche.

Exercice 2 (3 points)

On donne un programme de calcul :

1. Lorsque le nombre choisi est 4, vérifier le programme affiche 55, en précisant chacune des étapes de calcul.

2. On appelle \(x\) le nombre choisi au départ.

a. Écrire, en fonction de \(x\), le résultat obtenu par le programme.

b. Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle correspond au résultat obtenu par le programme ?

\(A = 55\)

\(B = (2x + 3)^2\)

\(C = (2x – 3)(2x + 3)\)

\(D = (2x – 3)^2\)

Exercice 3 (3 points)

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) suivantes :

\[f : x \longmapsto 4x + 3 \qquad \qquad g : x \longmapsto 6x\]

Leurs représentations graphiques \((d_1)\) et \((d_2)\) sont tracées ci-dessous :

1. Parmi ces deux fonctions, laquelle représente une situation de proportionnalité ?

2. Calculer l’image de 0 par la fonction \(g\).

3. Déterminer l’antécédent de 0 par la fonction \(f\).

4. Associer à chaque droite la fonction qu’elle représente. Justifier la réponse.

5. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection des droites \((d_1)\) et \((d_2)\).

Exercice 4 (3 points)

Sur la figure ci-contre :

ABCD est un carré de côté 9 cm ;
les segments de même longueur sont codés.

1. a. Le polygone IJKLMNOP est-il régulier, c’est-à-dire a-t-il tous ses côtés de même longueur ?

Justifier la réponse.

b. Justifier que l’aire de la surface IJKLMNOP grisée sur la figure ci-contre est égale à 63 cm².

2. Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.

On a tracé le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.

a. Déterminer l’aire du disque de centre S et de diamètre 9 cm.

b. Montrer que la différence entre l’aire du polygone IJKLMNOP et l’aire du disque représente moins de 1 % de l’aire du disque.

Corrigé du sujet

Partie 1 — Automatismes :

Question 1. Prendre le tiers, c’est diviser par 3 : \(18 : 3 = 6\). Le tiers de 18 est 6.

Question 2. Une heure dure 60 minutes, donc on cherche combien de fois 60 min sont contenues dans 240 min : \(240 : 60 = 4\). Le film dure 4 heures.

Question 3. On range les 5 notes dans l’ordre croissant : 6 ; 8 ; 12 ; 15 ; 19. Comme il y a un nombre impair de notes, la médiane est celle du milieu, la 3^e : la médiane vaut 12.

Question 4. Entre 0 et 1, il y a 4 grands carreaux : un grand carreau représente donc \(\dfrac{1}{4}\). Le point E est situé 3 grands carreaux après le point d’abscisse 1, soit 7 grands carreaux après 0. Son abscisse vaut \(\dfrac{7}{4}\) : réponse C.

Question 5. La somme des angles d’un triangle vaut \(180^{\circ}\) et l’angle en B est droit. Donc \(\widehat{\text{C}} = 180 – 90 – 35 = 55\) : \(\widehat{\text{C}} = 55^{\circ}\). (Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.)

Question 6. Le triangle est rectangle en A, son hypoténuse est donc [BC]. Pour l’angle de sommet B, le côté adjacent est [BA]. On effectue le calcul \(\cos(\widehat{\text{ABC}}) = \dfrac{\text{BA}}{\text{BC}}\) (côté adjacent divisé par l’hypoténuse).

Question 7. Les points A, C, D sont alignés, les points A, B, E aussi, et les droites (CB) et (DE) sont parallèles : c’est une configuration de Thalès. Les longueurs du petit triangle ACB sont proportionnelles à celles du grand triangle ADE :

\[\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{DE}} \quad \text{donc} \quad \dfrac{4}{\text{AD}} = \dfrac{2}{7}\]

Le côté CB est multiplié par \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) pour donner DE, donc \(\text{AD} = 4 \times 3{,}5 = 14\). AD = 14 cm.

Question 8. 25 %, c’est le quart : \(300 : 4 = 75\) élèves participent. Ceux qui ne participent pas sont \(300 – 75 = 225\). On peut aussi dire directement que 75 % des élèves ne participent pas : \(0{,}75 \times 300 = 225\). 225 élèves ne participent pas à l’olympiade.

Question 9. Un carré a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits : le lutin doit avancer puis tourner d’un quart de tour, quatre fois de suite. Ligne 3 : répéter 4 fois ; ligne 5 : tourner de 90 degrés.

Exercice 1 :

1. On calcule la moyenne hebdomadaire : on additionne les sept masses puis on divise par 7.

\[\dfrac{62 + 59 + 74 + 68 + 55 + 61 + 71}{7} = \dfrac{450}{7} \approx 64{,}3\]

Les déchets représentent en moyenne environ 64,3 kg par semaine, ce qui ne dépasse pas 65 kg (on peut aussi remarquer que \(7 \times 65 = 455\) et que 450 est inférieur à 455). Le collège a donc atteint son objectif.

2. a. L’effectif total est la somme des hauteurs de tous les bâtons, sans oublier les élèves qui parcourent 0 km :

\[33 + 32 + 42 + 31 + 36 + 28 + 24 + 22 + 14 = 262\]

Le collège compte 262 élèves.

b. Les élèves qui parcourent au moins 5 km sont ceux des bâtons 5, 6, 7 et 8 km : \(28 + 24 + 22 + 14 = 88\) élèves. Leur proportion dans le collège vaut :

\[\dfrac{88}{262} \times 100 \approx 33{,}6\ \%\]

Autre manière de conclure : 30 % de 262 élèves font \(0{,}3 \times 262 = 78{,}6\) élèves, et 88 est plus grand que 78,6. Environ 33,6 % des élèves parcourent au moins 5 km, ce qui dépasse 30 % : l’affirmation est vraie.

Exercice 2 :

1. On applique le programme au nombre 4, étape par étape :

on choisit 4 ;
on le multiplie par 2 : \(4 \times 2 = 8\) ;
on élève au carré : \(8^2 = 64\) ;
on retranche 9 : \(64 – 9 = 55\).

Le programme affiche bien 55.

2. a. Avec \(x\) au départ : la multiplication par 2 donne \(2x\), le carré donne \((2x)^2 = 4x^2\), et en retranchant 9 on obtient \((2x)^2 – 9 = 4x^2 – 9\).

b. On reconnaît une différence de deux carrés : \(4x^2 – 9 = (2x)^2 – 3^2\). D’après l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), on obtient \(4x^2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)\). Vérification en développant : \((2x – 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x – 6x – 9 = 4x^2 – 9\). Les autres expressions ne conviennent pas : \(A\) est un nombre fixe, et les carrés \(B\) et \(D\) donnent \(4x^2 + 12x + 9\) et \(4x^2 – 12x + 9\). C’est l’expression \(C\).

Exercice 3 :

1. Une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire, de la forme \(x \longmapsto ax\). C’est le cas de \(g(x) = 6x\), mais pas de \(f(x) = 4x + 3\) à cause du terme constant 3. C’est la fonction \(g\) qui représente une situation de proportionnalité (coefficient 6).

2. \(g(0) = 6 \times 0 = 0\). L’image de 0 par \(g\) est 0.

3. On cherche le nombre \(x\) tel que \(f(x) = 0\) :

\[4x + 3 = 0 \iff 4x = -3 \iff x = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75\]

L’antécédent de 0 par \(f\) est \(-0{,}75\). On le retrouve sur le graphique : la droite rouge coupe l’axe des abscisses en \(-0{,}75\).

4. La droite \((d_1)\) passe par l’origine du repère, comme la représentation de toute fonction linéaire (on a vu que \(g(0) = 0\)). La droite \((d_2)\) coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 3, ce qui correspond à \(f(0) = 3\). On peut le confirmer avec un point : \((d_1)\) passe par \((3 ; 18)\) et \(g(3) = 18\). La droite \((d_1)\) représente la fonction \(g\) et la droite \((d_2)\) représente la fonction \(f\).

5. Les deux droites se croisent au point d’abscisse 1,5 et d’ordonnée 9. Contrôle par le calcul : \(f(1{,}5) = 4 \times 1{,}5 + 3 = 9\) et \(g(1{,}5) = 6 \times 1{,}5 = 9\) (c’est aussi la solution de l’équation \(4x + 3 = 6x\)). Le point d’intersection a pour coordonnées \((1{,}5 ; 9)\).

Exercice 4 :

1. a. D’après le codage, chaque côté du carré est partagé en trois segments de même longueur : \(9 : 3 = 3\) cm. Les côtés IJ, KL, MN et OP mesurent donc 3 cm. Le côté [IP], lui, est l’hypoténuse du triangle AIP, rectangle en A avec AI = AP = 3 cm. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{IP}^2 = \text{AI}^2 + \text{AP}^2 = 3^2 + 3^2 = 18 \quad \text{donc} \quad \text{IP} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\ \text{cm}\]

Les quatre côtés « en biais » (IP, JK, LM, NO) mesurent environ 4,24 cm, alors que les quatre autres mesurent 3 cm. Les côtés n’ont pas tous la même longueur : l’octogone IJKLMNOP n’est pas régulier.

b. La surface grisée s’obtient en retirant au carré ABCD les quatre triangles rectangles des coins. L’aire du carré vaut \(9^2 = 81\) cm². Chaque triangle a deux côtés de l’angle droit de 3 cm, donc une aire de \(\dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5\) cm² ; les quatre triangles font \(4 \times 4{,}5 = 18\) cm². L’aire grisée vaut \(81 – 18 = 63\) : l’octogone IJKLMNOP a bien une aire de 63 cm².

2. a. Le disque a pour diamètre 9 cm, donc pour rayon 4,5 cm. Son aire est :

\[\pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \approx 63{,}62\ \text{cm}^2\]

L’aire du disque est \(20{,}25\pi\) cm², soit environ 63,62 cm².

b. Le disque a une aire un peu plus grande que l’octogone. La différence vaut \(20{,}25\pi – 63 \approx 0{,}62\) cm². On la compare à l’aire du disque :

\[\dfrac{20{,}25\pi – 63}{20{,}25\pi} \times 100 \approx 0{,}97\]

La différence représente environ 0,97 % de l’aire du disque (on peut aussi comparer 0,62 cm² à 1 % de l’aire du disque, qui vaut environ 0,64 cm²). L’écart est donc bien inférieur à 1 % de l’aire du disque : l’octogone donne une très bonne approximation de l’aire du disque.

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