Probabilités : corrigés des exercices de maths en 3ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (probabilités 3e corrigé)

On lit l’arbre en suivant la branche qui part de A : une fois l’événement A réalisé à la première épreuve, les deux branches issues de A portent les probabilités \(\dfrac{7}{13}\) pour E et \(\dfrac{6}{13}\) pour D (leur somme vaut bien 1).

La probabilité que D soit réalisé à la deuxième épreuve sachant que A est réalisé à la première est donc \(p=\dfrac{6}{13}\).

Remarque : il ne faut pas confondre avec la probabilité du chemin « A puis D », qui vaut \(\dfrac{9}{17}\times \dfrac{6}{13}=\dfrac{54}{221}\).

Exercice 2 :

L’urne contient \(3+9+2+1=15\) boules indiscernables au toucher : les 15 issues sont équiprobables. De plus, une seule boule est verte.

La probabilité de tirer une boule verte est \(\dfrac{1}{15}\).

Exercice 3 (probabilités 3e corrigé)

L’urne contient \(2+5+3=10\) boules.

1. Ensuite, il y a 5 boules orange sur 10 : \(P(O)=\dfrac{5}{10}=\) \(\dfrac{1}{2}\).

2. Par ailleurs, le tirage est sans remise : au second tirage il ne reste que 9 boules, et la composition dépend de la première boule tirée. Par exemple, si la première boule est verte, il reste 1 boule verte, 5 orange et 3 bleues.

3. Puis on suit le chemin « B puis O » et on multiplie les probabilités des branches : \(P(B\,;O)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{5}{9}=\dfrac{15}{90}=\) \(\dfrac{1}{6}\).

4. Ensuite, la deuxième boule est verte pour trois chemins : (V ; V), (O ; V) et (B ; V). Puis on additionne leurs probabilités :

\[P=\dfrac{2}{10}\times \dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{10}\times \dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{2+10+6}{90}=\dfrac{18}{90}=\dfrac{1}{5}\]

La probabilité que la deuxième boule soit verte est \(\dfrac{1}{5}\).

Exercice 4 :

a. De plus, les deux couleurs sont contraires : \(P(R)=1-\dfrac{3}{4}=\) \(\dfrac{1}{4}\).

b. Ensuite, la deuxième roue a 6 secteurs de même probabilité : chaque chiffre a la probabilité \(\dfrac{1}{6}\).

c. Arbre : deux branches (B et R), puis six branches pour les chiffres ; la probabilité d’un résultat s’obtient en multipliant les probabilités le long du chemin.

d. \(P(R,1)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{6}=\) \(\dfrac{1}{24}\).

e. \(P(B,4)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{24}=\) \(\dfrac{1}{8}\).

f. Par ailleurs, les chiffres pairs sont 2, 4 et 6 : la probabilité d’obtenir un chiffre pair est \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).

• « Rouge » et un chiffre pair : \(\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{2}=\) \(\dfrac{1}{8}\) (trois résultats de probabilité \(\dfrac{1}{24}\)).
• « Bleu » et un chiffre pair : \(\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2}=\) \(\dfrac{3}{8}\).

g. Puis on passe par l’événement contraire.

• « Rouge ou chiffre pair » n’est pas réalisé seulement quand on obtient « Bleu » et un chiffre impair : \(1-\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2}=1-\dfrac{3}{8}=\) \(\dfrac{5}{8}\).
• « Bleu ou chiffre pair » n’est pas réalisé seulement avec « Rouge » et un chiffre impair : \(1-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{8}=\) \(\dfrac{7}{8}\).

Exercice 5 (probabilités 3e corrigé)

a) Tirage avec remise : l’urne contient 7 boules à chaque tirage.

• Bleue puis rouge : \(\dfrac{4}{7}\times \dfrac{3}{7}=\) \(\dfrac{12}{49}\).
• Même couleur : (B ; B) ou (R ; R), soit \(\dfrac{4}{7}\times \dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{7}\times \dfrac{3}{7}=\dfrac{16}{49}+\dfrac{9}{49}=\) \(\dfrac{25}{49}\).

b) Tirage sans remise : il ne reste que 6 boules au second tirage.

• Bleue puis rouge : \(\dfrac{4}{7}\times \dfrac{3}{6}=\dfrac{12}{42}=\) \(\dfrac{2}{7}\).
• Même couleur : \(\dfrac{4}{7}\times \dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{7}\times \dfrac{2}{6}=\dfrac{12}{42}+\dfrac{6}{42}=\dfrac{18}{42}=\) \(\dfrac{3}{7}\).

c) L’urne contient maintenant 9 boules : 4 bleues, 3 rouges et 2 noires.

• Avec remise, bleue puis rouge : \(\dfrac{4}{9}\times \dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{81}=\) \(\dfrac{4}{27}\).
• Avec remise, même couleur : \(\dfrac{16}{81}+\dfrac{9}{81}+\dfrac{4}{81}=\) \(\dfrac{29}{81}\).
• Sans remise, bleue puis rouge : \(\dfrac{4}{9}\times \dfrac{3}{8}=\dfrac{12}{72}=\) \(\dfrac{1}{6}\).
• Sans remise, même couleur : \(\dfrac{4}{9}\times \dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{9}\times \dfrac{2}{8}+\dfrac{2}{9}\times \dfrac{1}{8}=\dfrac{12+6+2}{72}=\dfrac{20}{72}=\) \(\dfrac{5}{18}\).

Exercice 6 :

1) Premier niveau : studio (0,6) ou deux-pièces (0,4). Deuxième niveau : aucune formule, formule « simple » ou formule « confort ». Ensuite, pour les studios, la probabilité de la formule « confort » est \(1-0{,}2-0{,}45=0{,}35\). Puis pour les deux-pièces, on connaît 0,55 pour « simple » ; les deux autres branches se complètent à la question 3)b).

2) Parmi les locataires de studio, 20 % ne prennent aucune formule et 45 % la formule simple. De plus, la probabilité qu’une personne qui loue un studio ait choisi la formule « confort » est \(1-0{,}2-0{,}45=\) 0,35.

3)a) On suit le chemin « studio puis aucune formule » : \(0{,}6\times 0{,}2=\) 0,12.

b) 18 % des locataires ne souscrivent aucune formule, dont 12 % qui louent un studio. Ensuite, la proportion de locataires qui louent un deux-pièces et ne prennent aucune formule est donc \(0{,}18-0{,}12=0{,}06\).

Les locataires de deux-pièces représentent 0,4 de l’ensemble. Parmi eux, la part de ceux qui assurent eux-mêmes le nettoyage est \(\dfrac{0{,}06}{0{,}4}=\) 0,15, ce qu’il fallait démontrer. Par ailleurs, on en déduit aussi que 30 % des locataires de deux-pièces prennent la formule « confort » (\(1-0{,}55-0{,}15=0{,}3\)).

Exercice 7 (probabilités 3e corrigé)

On distribue un billet à chacun des 120 spectateurs. Billets gagnants : \(3+6+18+42=69\), donc \(120-69=51\) billets ne gagnent rien. Chaque billet a la même probabilité d’être celui d’un spectateur donné.

1-a) 18 billets donnent exactement 2 places : \(\dfrac{18}{120}=\) \(\dfrac{3}{20}\).

b) \(\dfrac{51}{120}=\) \(\dfrac{17}{40}\).

2- Probabilités des branches : 4 places \(\dfrac{3}{120}=\dfrac{1}{40}\) ; 3 places \(\dfrac{6}{120}=\dfrac{1}{20}\) ; 2 places \(\dfrac{3}{20}\) ; 1 place \(\dfrac{42}{120}=\dfrac{7}{20}\) ; aucune place \(\dfrac{17}{40}\).

3-a) \(\dfrac{3+6}{120}=\dfrac{9}{120}=\) \(\dfrac{3}{40}\).

b) Première façon : on additionne les cas « 2, 3 ou 4 places » : \(\dfrac{18+6+3}{120}=\dfrac{27}{120}=\dfrac{9}{40}\).

Deuxième façon : l’événement contraire est « gagner 0 ou 1 place », de probabilité \(\dfrac{51+42}{120}=\dfrac{93}{120}\), donc \(1-\dfrac{93}{120}=\dfrac{27}{120}=\dfrac{9}{40}\).

La probabilité de gagner au moins 2 places est \(\dfrac{9}{40}\).

Exercice 8 :

1a) Avec remise, chaque tirage a 4 résultats possibles : l’arbre a 4 branches, puis 4 branches au bout de chacune, soit \(4\times 4=16\) issues :

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

b) Chaque branche porte la probabilité \(\dfrac{1}{4}\) (au premier comme au second tirage). Chaque issue a donc la probabilité \(\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}\).

2- Sans remise, le second numéro est forcément différent du premier : il ne reste que 3 branches au second niveau, soit \(4\times 3=12\) issues :

12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43.

Les branches du premier niveau portent \(\dfrac{1}{4}\), celles du second niveau \(\dfrac{1}{3}\). Chaque issue a la probabilité \(\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}\).

Exercice 9 (probabilités 3e corrigé)

L’urne contient 14 boules : 5 portent le numéro 1, 6 le numéro 2 et 3 le numéro 3.

1. a) Les issues sont 1, 2 et 3. Puis elles n’ont pas autant de chances de se réaliser, car il n’y a pas le même nombre de boules pour chaque numéro : le numéro 2 est le plus probable (\(\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}\)), le numéro 3 le moins probable (\(\dfrac{3}{14}\)).

b) \(P(A)=\) \(\dfrac{5}{14}\).

2. et 3. Ensuite, ces questions dépendent des couleurs des boules, qui ne figurent que sur la figure « ci-contre » ; cette figure n’est pas reproduite dans l’énoncé. Puis la méthode reste la même : pour la question 2, les issues sont les couleurs présentes et \(P(B)=\dfrac{\text{nombre de boules grises}}{14}\) ; pour 3a, \(P(C)=\dfrac{\text{nombre de boules vertes portant le 1}}{14}\) ; pour 3b, on ne garde que les boules bleues et on calcule \(\dfrac{\text{nombre de boules bleues portant le 2}}{\text{nombre de boules bleues}}\).

Exercice 10 :

Le sac contient \(15+10=25\) lettres.

1) \(\dfrac{10}{25}=\) \(\dfrac{2}{5}\).

2) Après avoir tiré une voyelle, il reste 24 lettres dont 9 voyelles : \(\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}\).

3) Il reste 24 lettres dont 15 consonnes : \(\dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}\).

4) On multiplie les probabilités le long du chemin « voyelle puis voyelle » : \(\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{40}=\) \(\dfrac{3}{20}\).

Exercice 11 (probabilités 3e corrigé)

La grille compte 9 cases (7, 6, 2 / 5, 1, 9 / 3, 4, 8) qui ont toutes la même chance de s’allumer.

1. a) Case 1 : \(\dfrac{1}{9}\).

b) Cases impaires : 1, 3, 5, 7, 9, soit \(\dfrac{5}{9}\).

c) Numéro supérieur ou égal à 6 : 6, 7, 8, 9, soit \(\dfrac{4}{9}\).

2. Événements contraires :

• « la case allumée n’est pas la case 1 » : \(1-\dfrac{1}{9}=\) \(\dfrac{8}{9}\) ;
• « la case allumée est paire » (2, 4, 6, 8) : \(\dfrac{4}{9}\) ;
• « le numéro est strictement inférieur à 6 » (1, 2, 3, 4, 5) : \(\dfrac{5}{9}\).

3. De plus, il reste 7 cases éteintes (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9), toutes équiprobables. Ensuite, la case 7 est dans le coin en haut à gauche et la case 1 au centre : elles sont alignées sur une diagonale, qui se termine par la case 8.

a) Une seule case convient, la case 8 : \(\dfrac{1}{7}\).

b) C’est l’événement contraire : \(1-\dfrac{1}{7}=\) \(\dfrac{6}{7}\).

Exercice 12 :

Les nombres premiers entre 1 et 10 sont 2, 3, 5 et 7. À chaque lancer, on gagne 3 € avec la probabilité \(\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\) et on perd 2 € avec la probabilité \(\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\). Par ailleurs, on lance le dé trois fois.

a) Le bilan dépend du nombre de lancers gagnants :

Lancers gagnants	3	2	1	0
Bilan	\(3\times 3=+9\) €	\(6-2=+4\) €	\(3-4=-1\) €	\(-6\) €
Nombre de chemins	1	3	3	1
Probabilité	\(\dfrac{8}{125}\)	\(3\times \dfrac{12}{125}=\dfrac{36}{125}\)	\(3\times \dfrac{18}{125}=\dfrac{54}{125}\)	\(\dfrac{27}{125}\)

Par exemple, le chemin « G, G, P » a la probabilité \(\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{125}\). Puis on vérifie que \(8+36+54+27=125\).

b) On calcule le gain moyen, comme une moyenne pondérée par les probabilités :

\[9\times \dfrac{8}{125}+4\times \dfrac{36}{125}-1\times \dfrac{54}{125}-6\times \dfrac{27}{125}=\dfrac{72+144-54-162}{125}=0\]

Sur un grand nombre de parties, on ne gagne rien et on ne perd rien en moyenne : le jeu est équitable, on n’a ni intérêt ni désavantage à y jouer. Ensuite, on le voit déjà sur un seul lancer : \(3\times \dfrac{2}{5}-2\times \dfrac{3}{5}=0\).

Exercice 13 (probabilités 3e corrigé)

A. Dés identiques (on ne tient pas compte de l’ordre).

1) On écrit les trois nombres dans l’ordre croissant. Somme 9 : 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3, soit 6 façons.

2) Somme 10 : 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4, soit 6 façons.

3) Non : sans tenir compte de l’ordre, il y a autant de façons (6) d’obtenir 9 que 10.

B. Dés de couleurs différentes (rouge, vert, bleu) : l’ordre compte.

1) a) Trois 3 : un seul lancer (3 ; 3 ; 3), soit 1.

b) Un 1 et deux 4 : le 1 peut être sur le dé rouge, le vert ou le bleu, soit 3 lancers.

c) Un 1, un 2 et un 6 : 3 choix de dé pour le 1, puis 2 pour le 2, le dernier dé portant le 6, soit \(3\times 2=\) 6 lancers.

2) Trois nombres différents donnent 6 lancers, deux nombres égaux 3 lancers, trois nombres égaux 1 lancer. Puis pour la somme 9 : \(6+6+3+3+6+1=\) 25 lancers (dans l’ordre : 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3).

3) Pour la somme 10 : \(6+6+3+6+3+3=\) 27 lancers (1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4).

4) Oui : en tenant compte de l’ordre, il y a 27 façons d’obtenir 10 contre 25 pour 9. Sur les \(6\times 6\times 6=216\) lancers équiprobables, \(P(10)=\dfrac{27}{216}\) est un peu plus grande que \(P(9)=\dfrac{25}{216}\).

Exercice 14 :

On choisit au hasard un titre parmi \(7+3+4+6=20\) titres.

Probabilités : variété française \(\dfrac{7}{20}\) ; rap \(\dfrac{3}{20}\) ; variété internationale \(\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\) ; jazz \(\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\).

E est l’événement contraire de « le titre est du jazz » : \(P(E)=1-\dfrac{3}{10}=\) \(\dfrac{7}{10}\).

Exercice 15 (probabilités 3e corrigé)

L’urne contient 10 boules (A à J) : 6 blanches (A, B, C, E, H, J) et 4 noires (D, F, G, I). De plus, les voyelles sont A, E et I.

1) a. Ensuite, les issues sont les 10 lettres : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.

b. Non : chaque lettre n’apparaît que sur une boule.

c. Oui, les 10 issues sont équiprobables.

d. i. \(P(C)=\) \(\dfrac{1}{10}\) ; ii. \(P(J)=\) \(\dfrac{1}{10}\) ; iii. trois voyelles : \(\dfrac{3}{10}\).

2) a. Par ailleurs, les issues sont blanche et noire.

b. Oui, « blanche » a plus de chances : 6 boules contre 4.

c. Non, ce n’est pas une situation d’équiprobabilité.

d. i. \(\dfrac{6}{10}=\) \(\dfrac{3}{5}\) ; ii. \(\dfrac{4}{10}=\) \(\dfrac{2}{5}\).

3) a. Oui : chaque couple (couleur ; lettre) correspond à une seule boule, les 10 issues sont équiprobables.

b. i. Blanche : \(\dfrac{3}{5}\).

ii. Avec une voyelle : \(\dfrac{3}{10}\).

iii. Blanche avec une voyelle : A et E (la boule I est noire), soit \(\dfrac{2}{10}=\) \(\dfrac{1}{5}\).

iv. Blanche ou avec une voyelle : les 6 boules blanches et la boule noire I, soit \(\dfrac{7}{10}\).

Exercice 16 :

La roue a 8 secteurs équiprobables : 4 blancs, 3 noirs et 1 gris.

1) a. « On gagne 2 € » (secteur gris) : \(\dfrac{1}{8}\).

b. « On gagne 1 € » (secteurs noirs) : \(\dfrac{3}{8}\).

c. « On perd 2 € » (secteurs blancs) : \(\dfrac{4}{8}=\) \(\dfrac{1}{2}\).

2) On gagne avec les secteurs noirs ou gris : \(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\). Puis on perd avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\). On a donc autant de chances de gagner que de perdre. (En revanche, le gain moyen \(\dfrac{1}{8}\times 2+\dfrac{3}{8}\times 1-\dfrac{1}{2}\times 2=-\dfrac{3}{8}\) € est négatif : à long terme, ce jeu fait perdre de l’argent.)

Exercice 17 (probabilités 3e corrigé)

La roue porte les numéros 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 et 16 sur huit secteurs identiques : les 8 issues sont équiprobables.

L’événement E : « Le numéro repéré est divisible par 4 » est réalisé par les issues 4, 8, 12 et 16. Son événement contraire \(\overline{E}\) est réalisé par les issues 2, 6, 10 et 14.

Chacun de ces deux événements est réalisé par 4 issues sur 8 : \(P(E)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\) et \(P(\overline{E})=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\).

E et son contraire ont la même probabilité \(\dfrac{1}{2}\), car ils sont réalisés par le même nombre d’issues équiprobables.

Exercice 18 :

1.

a. Ensuite, les issues qui réalisent l’événement \(E_1\) : 2, 4, 6, 8.

b. Puis les issues qui réalisent l’événement \(E_2\) : 4, 5, 6, 7, 8.

c. De plus, les issues qui réalisent l’événement \(E_3\) : 4, 6, 8.

2.

a. \(P(E_1)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}=\) 0,5

b. \(P(E_2)=\dfrac{5}{8}=\) 0,625

c. \(P(E_3)=\dfrac{3}{8}=\) 0,375

Exercice 19 (probabilités 3e corrigé)

1.

a. Ensuite, l’expérience compte 32 issues, une pour chaque carte du jeu.

b. Chaque issue a une probabilité de \(\dfrac{1}{32}\), car chaque carte a la même probabilité d’être tirée.

2.

a. Par ailleurs, les issues qui réalisent l’événement E (carte tirée rouge) sont les 16 cartes de cœur et de carreau (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as de chaque couleur).
Puis les issues qui réalisent l’événement F (carte tirée est un as) sont l’as de trèfle, l’as de pique, l’as de cœur et l’as de carreau.

b. Ensuite, la probabilité de l’événement E est \(\dfrac{16}{32}=\) \(\dfrac{1}{2}\), car il y a 16 cartes rouges dans le jeu.
Puis la probabilité de l’événement F est \(\dfrac{4}{32}=\) \(\dfrac{1}{8}\), car il y a 4 as dans le jeu.

3. Oui : les cartes qui réalisent les deux événements E et F en même temps sont les deux as rouges, l’as de cœur et l’as de carreau.

Exercice 20 :

1.

Les issues qui réalisent l’événement E (numéro pair) sont : 2, 4, 6, 8, 10.
De plus, les issues qui réalisent l’événement F (multiple de 3) sont : 3, 6, 9.
Ensuite, les issues qui réalisent l’événement G (multiple de 5) sont : 5, 10.

2.

a. Par ailleurs, les événements E et F ne sont pas incompatibles car l’issue 6 les réalise tous les deux.
b. Puis les événements E et G ne sont pas incompatibles car l’issue 10 est à la fois paire et multiple de 5.
c. Ensuite, les événements F et G sont incompatibles : aucun numéro de 1 à 10 n’est à la fois multiple de 3 et de 5 (le plus petit serait 15).

3.

La probabilité de l’événement E est \(\dfrac{5}{10}=\) \(\dfrac{1}{2}\).
Puis la probabilité de l’événement F est \(\dfrac{3}{10}\).
De plus, la probabilité de l’événement G est \(\dfrac{2}{10}=\) \(\dfrac{1}{5}\).

Exercice 21 (probabilités 3e corrigé)

1.

a. Ensuite, la pièce donne P ou F ; le sac contient une boule de chaque couleur (R, V, B, N, J). De chacune des deux branches P et F partent donc cinq branches R, V, B, N, J.

b. Par ailleurs, l’expérience compte \(2\times 5=\) 10 issues, toutes de probabilité \(\dfrac{1}{10}\).

2.

\(E_1\) est réalisé par (P ; R) et (F ; R) : \(P(E_1)=\dfrac{2}{10}=\) \(\dfrac{1}{5}\).
\(E_2\) est le contraire de « obtenir la couleur jaune », réalisé par 2 issues : \(P(E_2)=1-\dfrac{2}{10}=\dfrac{8}{10}=\) \(\dfrac{4}{5}\).

Exercice 22 :

Le mot MISSISSIPI compte 10 lettres : M une fois, I quatre fois, S quatre fois et P une fois.

a. Arbre des issues pondéré : M \(\dfrac{1}{10}\) ; I \(\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\) ; S \(\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\) ; P \(\dfrac{1}{10}\).

b. Puis la seule voyelle est I. L’événement E est le contraire de « obtenir I » : \(P(E)=1-\dfrac{2}{5}=\) \(\dfrac{3}{5}\). Ensuite, on retrouve ce résultat en comptant les consonnes : 1 M, 4 S et 1 P, soit 6 boules sur 10.

Exercice 23 (probabilités 3e corrigé)

Le réfrigérateur contient \(30+32+18+40=120\) bouteilles de même forme.

a. Arbre des issues pondéré : T \(\dfrac{30}{120}=\dfrac{1}{4}\) ; J \(\dfrac{32}{120}=\dfrac{4}{15}\) ; S \(\dfrac{18}{120}=\dfrac{3}{20}\) ; E \(\dfrac{40}{120}=\dfrac{1}{3}\).

b. Puis les bouteilles qui ne sont pas de l’eau gazeuse (T, J et S) sont au nombre de \(30+32+18=80\) sur 120, donc \(P(E)=\dfrac{80}{120}=\) \(\dfrac{2}{3}\) (ou encore \(1-\dfrac{1}{3}\)).

Exercice 24 :

Les issues qui réalisent l’événement E (Tania lit un nombre pair) sont les numéros 2, 4 et 6.
De plus, les issues qui réalisent l’événement contraire \(\overline{E}\) sont les numéros 1, 3 et 5.

Exercice 25 (probabilités 3e corrigé)

L’événement contraire de E (obtenir au moins une fois Pile) est l’événement « ne jamais obtenir Pile sur les deux lancers ». Donc l’unique issue qui réalise l’événement contraire de E est Face-Face.

Exercice 26 :

On lit les effectifs sur l’histogramme : A : 80 ; B : 40 ; C : 40 ; D : 30 ; E : 10, soit \(80+40+40+30+10=200\) salariés.

a. Arbre des issues pondéré : A \(\dfrac{80}{200}=\dfrac{2}{5}\) ; B \(\dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5}\) ; C \(\dfrac{1}{5}\) ; D \(\dfrac{30}{200}=\dfrac{3}{20}\) ; E \(\dfrac{10}{200}=\dfrac{1}{20}\).

b. U : « au moins 1 800 € » correspond aux catégories C, D et E : \(P(U)=\dfrac{40+30+10}{200}=\dfrac{80}{200}=\) \(\dfrac{2}{5}\).

V : « strictement moins de 2 200 € » correspond aux catégories A, B et C : \(P(V)=\dfrac{80+40+40}{200}=\dfrac{160}{200}=\) \(\dfrac{4}{5}\).

Exercice 27 :

1. a. Au premier lancer, 4 branches (1, 2, 3, 4) ; au bout de chacune, 4 branches pour le second lancer. Ensuite, on obtient \(4\times 4=16\) issues :

1er lancer \ 2e lancer	1	2	3	4
1	(1 ; 1)	(1 ; 2)	(1 ; 3)	(1 ; 4)
2	(2 ; 1)	(2 ; 2)	(2 ; 3)	(2 ; 4)
3	(3 ; 1)	(3 ; 2)	(3 ; 3)	(3 ; 4)
4	(4 ; 1)	(4 ; 2)	(4 ; 3)	(4 ; 4)

b. Par ailleurs, le dé est équilibré : chaque issue a la probabilité \(\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}\).

2. a. E est réalisé par (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2) et (4 ; 1).

b. \(P(E)=\dfrac{4}{16}=\) \(\dfrac{1}{4}\).

3. a. Puis la plus petite somme possible est \(1+1=2\) : F est un événement impossible, \(P(F)=0\).

b. Ensuite, la plus grande somme possible est \(4+4=8\), toujours inférieure à 10 : G est un événement certain, \(P(G)=1\).

Exercice 28 :

a. Quatre branches pour la robe (blanche, noire, rouge, bleue), puis deux branches pour le chapeau (rouge, bleu) : \(4\times 2=8\) issues équiprobables.

b. E est réalisé par (rouge ; rouge) et (bleue ; bleu), soit 2 issues sur 8 : \(P(E)=\dfrac{2}{8}=\) \(\dfrac{1}{4}\).

c. \(\overline{E}\) : « Sarah a choisi une robe et un chapeau de couleurs différentes ». \(P(\overline{E})=1-\dfrac{1}{4}=\) \(\dfrac{3}{4}\).

Exercice 29 :

1. a. Puis le tirage se fait avec remise : 4 branches (R, O, S, E) au premier tirage, puis 4 branches au second. De plus, les \(4\times 4=16\) issues sont :

RR, RO, RS, RE, OR, OO, OS, OE, SR, SO, SS, SE, ER, EO, ES, EE.

b. Chaque issue a la probabilité \(\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}\).

2. a. \(\overline{M}\) : « Antoine n’a tiré la lettre O à aucun des deux tirages ».

b. Ensuite, il y a 3 lettres possibles (R, S, E) à chaque tirage, soit \(3\times 3=9\) issues : \(P(\overline{M})=\) \(\dfrac{9}{16}\).

c. \(P(M)=1-\dfrac{9}{16}=\) \(\dfrac{7}{16}\).

d. Par ailleurs, on compte directement les issues contenant au moins un O : RO, OR, OO, OS, OE, SO, EO, soit 7 issues sur 16 : on retrouve \(P(M)=\dfrac{7}{16}\).

Exercice 30 :

Les six faces portent A, R, M, U, R, E : la lettre R figure sur deux faces.

1. a. Puis les issues sont A, R, M, U et E.

b. \(P(A)=P(M)=P(U)=P(E)=\) \(\dfrac{1}{6}\) et \(P(R)=\dfrac{2}{6}=\) \(\dfrac{1}{3}\).

2. a. Toutes les lettres d’ARMURE (A, R, M, U, E) sont dans RAMEUR : \(E_1\) est certain, \(P(E_1)=\) 1.

b. COTON s’écrit avec C, O, T, N : aucune n’est sur le dé, \(E_2\) est impossible, \(P(E_2)=\) 0.

c. MALIN contient M et A, présents sur 2 faces : \(P(E_3)=\dfrac{2}{6}=\) \(\dfrac{1}{3}\).

d. Ensuite, les consonnes du dé sont R, M, R, soit 3 faces : \(P(E_4)=\dfrac{3}{6}=\) \(\dfrac{1}{2}\).

Exercice 31 :

1. Les multiples de 3 entre 1 et 6 sont 3 et 6 : \(\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\). Réponse b.
2. Les lettres de MARION (M, A, R, I, O, N) sont toutes dans ROMAIN : l’événement est certain, réponse a.
3. Le seul multiple de 3 est 27, le seul multiple de 5 est 10 : aucun jeton ne réalise E et F à la fois, ils sont incompatibles, réponse c.
4. Avec remise, il y a \(4\times 4=16\) issues équiprobables, dont 4 avec deux fois la même lettre (AA, BB, CC, DD) : \(\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\). Réponse c.
5. \(P(\overline{E})=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}=0{,}64\). Réponse a.

Bien travailler avec probabilités 3e corrigé

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur probabilités 3e corrigé vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, pour aller plus loin, l’article Probabilité de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec arithmétique et décomposition en facteurs premiers : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.