Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : corrigé des exercices de maths en 3ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (arithmétique 3e corrigé)

Les trois divisions euclidiennes ci-dessous sont exactes.

\(368=15\times 24+8\) ; \(368=16\times 23+0\) ; \(368=14\times 26+4\).

1. Parmi 14, 15 et 16, seul 16 est un diviseur de 368 : la division de 368 par 16 a un reste nul (\(368=16\times 23\)), donc 16 et 23 divisent 368. En revanche, les divisions par 15 et par 14 ont des restes non nuls (8 et 4), donc 15 et 14 ne divisent pas 368.

2.Le plus petit multiple de 15 supérieur à 368 est 25×15=375.

3. Le plus grand multiple de 14 inférieur à 368 est 26×14= 364.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 2 :

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste
475	16	29	11
9 957	23	432	21
456	41	11	5
781	27	28	25
935	17	55	0

Le dividende s’obtient par dividende = diviseur × quotient + reste ; le reste s’obtient par dividende − diviseur × quotient ; pour la dernière ligne, le reste est nul donc le diviseur vaut \(935: 55=17\).

Les divisions euclidienne correspondante sont :

• De plus, 475= 16 x 29 +11;
• Ainsi, 9 957 = 23 x 432 + 21;
• De même, 456 = 41 x 11 +5;
• Également, 781 = 27 x 28 + 25;
• Par ailleurs, 935 = 17 x 55 + 0

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 3 (arithmétique 3e corrigé)

Un centre aéré accueillant 131 enfants organise une journée « Sport Co » avec du basket, du hand-ball, du football et du rugby.

Pour chaque sport, combien peut-on constituer d’équipes?

Combien d’enfants seront sans équipe ?

131=32×4+3.

On peut construire 32 équipes et 3 enfants seront sans équipe.

Remarque : le calcul ci-dessus correspond à des équipes de 4 joueurs. L’énoncé ne donne pas l’effectif des équipes ; si l’on prend les effectifs officiels (5 joueurs au basket, 7 au hand-ball, 11 au football, 15 au rugby à XV), on effectue une division euclidienne de 131 par chacun de ces nombres :

• basket : \(131=5\times 26+1\), donc 26 équipes et 1 enfant sans équipe ;
• hand-ball : \(131=7\times 18+5\), donc 18 équipes et 5 enfants sans équipe ;
• football : \(131=11\times 11+10\), donc 11 équipes et 10 enfants sans équipe ;
• rugby : \(131=15\times 8+11\), donc 8 équipes et 11 enfants sans équipe.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 4 :

Ecrire la liste des diviseurs des nombres suivants : 16; 20; 36; 90; 59; 33.

Diviseurs de 16 :1,2,4,8,16.

De même, diviseurs de 20 :1,2,4,5,10,20.

Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Après cela, diviseurs de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Diviseurs de 59 :1,59.

De même, diviseurs de 33 : 1, 3, 11, 33.

Méthode : on teste les divisions par 1, 2, 3… tant que le diviseur testé ne dépasse pas le quotient, et on note les diviseurs par paires (par exemple \(36=1\times 36=2\times 18=3\times 12=4\times 9=6\times 6\)). 59 n’a que deux diviseurs : c’est un nombre premier.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 5 (arithmétique 3e corrigé)

Compléter le tableau ci-dessous.

Le nombre est divisible par…	2	3	4	5	9	10
a. 5 912	oui	non	oui	non	non	non
b. 34 200	oui	oui	oui	oui	oui	oui
c. 54 208	oui	non	oui	non	non	non
d. 317	non	non	non	non	non	non
e. 708	oui	oui	oui	non	non	non
f. 3 (par exemple)	non	oui	non	non	non	non
g. 18 (par exemple)	oui	oui	non	non	oui	non
h. 180 (par exemple)	oui	oui	oui	oui	oui	oui
i. 7 (par exemple)	non	non	non	non	non	non

Justifications : un nombre est divisible par 2 s’il est pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, par 10 s’il se termine par 0, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 (12, 00, 08 oui ; 17 non), par 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou 9). Sommes des chiffres : 5 912 → 17 ; 34 200 → 9 ; 54 208 → 19 ; 317 → 11 ; 708 → 15. De plus, de plus, pour les lignes f. à i., plusieurs réponses sont possibles.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 6 :

1.Démontrer que la somme de deux entiers positifs consécutifs et impairs est un multiple de 4.

Soit n=2k+1 (avec k un nombre entier positif) un nombre impair positif alors l’entier positif impair consécutif est n’=2k+3.

n+n’=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)=4K avec K=k+1 donc la somme de deux entiers consécutifs et impairs est un multiple de 4.

2.Démontrer qu’un multiple de 8 est également un multiple de 4.

Soit n=8k (avec k un entier positif) un multiple de 8 alors n=4x(2k)=4K avec K=2k donc n est aussi un multiple de 4.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 7 (arithmétique 3e corrigé)

Nori souhaite faire des paquets de billes, en répartissant intégralement ses 90 billes rouges et 150 billes noires.Le contenu de chaque paquet doit être identique.

Combien de paquets pourra-t-il réaliser?

Trouver les différentes possibilités.

Peut-il y avoir 9 paquets? 30 paquets?

Il ne peut pas il y avoir 9 paquets car 150 n’est pas divisible par 9.

Il peut y avoir 30 paquets car 150 et 90 sont divisibles par 30.

Donner la liste des diviseurs de 90 puis de 150.

Diviseurs de 90 :1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90

Diviseurs de 150 :1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150

Quelles sont les différentes possibilités pour le nombre de paquets ?

Les possibilités sont 1,2,3,5,6,10,15,30.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 8 :

Donner la liste de tous les nombres premiers inférieurs à 50.

La liste est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 9 (arithmétique 3e corrigé)

Utiliser les égalités ci-dessous pour écrire les décompositions en facteurs premiers

des nombres proposés.

\(a.36=4\times \,9=2^2\times \,3^2\)

\(b.18375=3\times \,125\times \,49=3\times \,5^3\times \,7^2\)

\(c.3872=32\times \,121=2^5\times \,11^2\)

\(d.1183=91\times \,13=7\times \,13\times \,13=7\times \,13^2\)

\(e.214375=625\times \,343=5^4\times \,7^3\)

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 10 :

Ecrire la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :

\(180=2^2\times \,3^2\times \,5\)

\(63=3^2\times \,7\)

\(1225=5^2\times \,7^2\)

\(3672=2^3\times \,3^3\times \,17\)

\(416=2^5\times \,13\)

\(24000=2^6\times \,3\times \,5^3\)

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 11 (arithmétique 3e corrigé)

Trouver le nombre recherché.

Les solutions sont 101; 113; 137 et 149.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 12 :

Utiliser les décompositions en facteurs premiers pour rendre ces fractions irréductibles.

\(504=2^3\times \,3^2\times \,7;13500=2^2\times \,3^3\times \,5^3;4400=2^4\times \,5^2\times \,11;11466=2\times \,3^2\times \,7^2\times \,13\)

Rendre irréductibles les fractions suivantes : \(\frac{504}{4400};\frac{504}{11466};\frac{13500}{504}\).

\(\frac{504}{4400}=\frac{63}{550};\frac{504}{11466}=\frac{4}{91};\frac{13500}{504}=\frac{375}{14};\)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 13 (arithmétique 3e corrigé)

Rendre irréductible les fractions suivantes : \(\frac{8800}{1638};\frac{64}{4400};\frac{1260}{1638};\frac{1638}{810}\).

\(\frac{8800}{1638}=\frac{4400}{819};\frac{64}{4400}=\frac{4}{275};\frac{1260}{1638}=\frac{10}{13};\frac{1638}{810}=\frac{91}{45};\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 14 :

je possède plus de 400 cd mais moins de 450. Que je les groupe par 2, par 3 , par 4 ou par 5, c’est toujours la même chose: il en reste un tout seul.
Combien Nori a-t-il de cd ?

Nous cherchons un nombre impair et qui se termine par 1.

Il y a 421 cd.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 15 (arithmétique 3e corrigé)

1. Calculer le PGCD de 110 et de 88.

PGCD( 110 ; 88 ) = 22

2. Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur.

Il a reçu la consigne suivante :

« Découper dans ces plaques des carrés, tous identiques, les plus grands possibles,

de façon à ne pas avoir de perte . »

Quelle sera la longueur du côté du carré ?

La longueur du côté du carré sera 22 cm

3. Combien obtiendra-t-on de carrés par plaque ?

110:22=5 et 88:22=4

5×4=20

Il y aura 20 carrés.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 16 :

1. Calculer le PGCD de 114 400 et 60 775.

PGCD( 114400 ; 60775 ) = 3575

2. > Expliquer comment, sans utiliser la touche « fraction » d’une calculatrice, rendre irréductible la fraction

en divisant par le pgcd (114 400; 60 775)

3. Donner l’écriture simplifiée de

\(\frac{60775}{114400}= \frac{60775:3575}{114400:3575}=\frac{17}{32}\) .

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 17 (arithmétique 3e corrigé)

Soient les nombres A =\(\frac{117}{63}\) et B = – \(\frac{8}{7}\) .

1. Expliquer pourquoi la fraction A n’est pas irréductible.

117 et 63 sont divisibles par 3 donc leur pgcd est différent de 1 donc la fraction est réductible.

2. Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.

PGCD( 117 ; 63 ) = 9

\(\frac{117}{63}= \frac{117:9}{63:9}=\frac{13}{7}\)

3. Montrer, en indiquant les étapes de calcul, que A – B est un nombre entier.

\(A-B=\frac{13}{7}-(-\frac{8}{7})=\frac{13}{7}+\frac{8}{7}=\frac{21}{7}=3\)

donc A-B est bien un nombre entier.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 18 :

1. Démontrer que les nombres 65 et 42 sont premiers entre eux.

PGCD( 65 ; 42 ) = 1 donc ces deux entiers sont bien premiers entre eux.

2. Démontrer que \(\frac{520}{336}\) = \(\frac{65}{42}\).

PGCD( 520 ; 336 ) = 8

\(\frac{520}{336}=\frac{520:8}{336:8}=\frac{65}{42}\)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 19 (arithmétique 3e corrigé)

1. Déterminer le PGCD de 108 et 135.

PGCD( 135 ; 108 ) = 27

2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.

Il veut faire des paquets de sorte que :

• Enfin, tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ;
• De plus, tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ;
• Ainsi, toutes les billes rouges et les billes noires soient utilisées.

a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
Il pourra réaliser au maximum 27 paquets.
b. Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
108:27=4 billes rouges

135:27=5 billes noires.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 20 :

1. Calculer le PGCD de 1 756 et 1 317 (on détaillera les calculs nécessaires).

PGCD( 1756 ; 1317 ) = 439

2. Un fleuriste a reçu 1 756 roses blanches et 1 317 roses rouges.

Il désire réaliser des bouquets identiques

(c’est à dire comprenant un même nombre de roses et la même

répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les fleurs.
a. Quel sera le nombre maximum de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.

Il pourra créer au maximum 439 bouquets identiques.

b. Quel sera alors la composition de chaque bouquet ?
1756:439=4 roses blanches.
1317:439=3 roses rouges.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 21 (arithmétique 3e corrigé)

1) Montrer que PGCD( 578 ; 408 ) = 34

Algorithme d’Euclide : \(578=1\times 408+170\) ; \(408=2\times 170+68\) ; \(170=2\times 68+34\) ; \(68=2\times 34+0\). Le dernier reste non nul est 34.

\(\frac{408}{578}=\frac{408:34}{578:34}=\frac{12}{17}\)

Montrer que PGCD( 2499 ; 1911 ) = 147

Algorithme d’Euclide : \(2\,499=1\times 1\,911+588\) ; \(1\,911=3\times 588+147\) ; \(588=4\times 147+0\). Le dernier reste non nul est 147.

\(\frac{2499}{1911}=\frac{2499:147}{1911:147}=\frac{17}{13}\)

Les fractions irréductibles sont donc \(\dfrac{408}{578}=\dfrac{12}{17}\) et \(\dfrac{2\,499}{1\,911}=\dfrac{17}{13}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 22 :

1) Montrer que PGCD( 252 ; 144 ) = 36 .

Algorithme d’Euclide :

• \(252=1\times 144+108\)
• \(144=1\times 108+36\)
• \(108=3\times 36+0\)

Ainsi, le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(252 ; 144) = 36.

2) Le nombre d’équipes doit diviser 144, car les filles sont réparties de la même façon dans chaque équipe, et il doit aussi diviser 252 pour les garçons : c’est un diviseur commun de 144 et de 252. Ensuite, le plus grand nombre d’équipes possible est donc leur PGCD.

a. Cette association peut former au maximum 36 équipes .

b. 144 : 36 = 4 et 252 : 36 = 7

Il y a 4 filles et 7 garçons par équipe .

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 23 (arithmétique 3e corrigé)

1. Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

Ce sont deux entiers pairs donc ils ne peuvgent pas être premiers entre eux car leur pgcd sera supérieur ou égale à 2.

2. Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352.

Utilisons l’algorithme d’Euclide .

682=1×352+330

352=1×330+22

330=15×22+0

Donc pgcd (352 ; 682 ) = 22

3. Rendre irréductible la fraction \(\frac{682}{352}\)

en indiquant clairement la méthode utilisée.

En divisant le numérateur et le dénominateur par le pgcd, nous obtenons une fraction qui est irréductible.

\(\frac{682}{352}=\frac{682:22}{352:22}=\frac{31}{16}\)

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 24 :

Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :

\(A=\frac{5}{4}+\frac{11}{4}\times \frac{20}{33}=\frac{5}{4}+\frac{11}{4}\times \frac{4\times 5}{11\times 3}=\frac{5}{4}+\frac{5}{3}=\frac{5\times 3}{4 \times 3}+\frac{5 \times 4}{3 \times 4}=\frac{15+20}{12}\) .
\(\boxed{A=\frac{35}{12}}\)

\(B=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{7}{4}+ \frac{9}{2}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{7}{4}+ \frac{18}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\times \frac{4}{25}=\frac{5\times 2\times 2}{2\times 5\times 5}\)
\(B=\boxed{\frac{2}{5}}\)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 25 (arithmétique 3e corrigé)

Calculer et donner le résultat en notation scientifique :

\(C=15\times (10^7)^2\times 3 \times 10^{-5}=15\times 3\times 10^{7\times 2-5}=45\times 10^9.\)
\(\boxed{C=4{,}5\times 10^{10}}\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 26 :

1.

Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction .

\(A=\frac{13}{7}-\frac{2}{7}\times \frac{15}{12}=\frac{78}{42}-\frac{2}{7}\times \frac{15}{2\times 6}=\frac{78}{42}-\frac{15}{7\times 6}=\frac{78}{42}-\frac{15}{42}\)
\(\boxed{A=\frac{63}{42}}\)

En simplifiant par 21 : \(A=\dfrac{63}{42}=\dfrac{3\times 21}{2\times 21}=\dfrac{3}{2}\), soit \(A=\dfrac{3}{2}\) sous forme irréductible.

2. Ecrire B sous la forme \(b\sqrt{3}\) où b est un nombre entier .

\(B=7\sqrt{75}-5\sqrt{27}+4\sqrt{48}=7\sqrt{25\times 3}-5\sqrt{9\times 3}+4\sqrt{16\times 3}\)

\(B=7\times 5\sqrt{3}-5\times 3\sqrt{3}+4\times 4\sqrt{3}=(35-15+16)\sqrt{3}\)
\(\boxed{B=36\sqrt{3}}\)

3.

Calculer C et donner l’écriture scientifique du résultat .
\(C=\frac{0{,}23\times 10^3-1{,}7\times 10^2}{0{,}5\times 10^{-1}}=\frac{(23-17)\times 10^1}{5\times 10^{-2}}=\frac{6}{5}\times 10^3\)
\(\boxed{C=1{,}2\times 10^3}\)

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 26 (arithmétique 3e corrigé)

Second exercice numéroté 26 dans la fiche d’énoncés.

Calcul de A. La multiplication est prioritaire :

\(A=\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{8}=\dfrac{7}{3}-\dfrac{2\times 7}{5\times 2\times 4}=\dfrac{7}{3}-\dfrac{7}{20}=\dfrac{140}{60}-\dfrac{21}{60}=\dfrac{119}{60}\)

\(119=7\times 17\) et \(60=2^2\times 3\times 5\) n’ont aucun facteur premier commun, donc \(A=\dfrac{119}{60}\) est irréductible.

Calcul de B.

\(B=\dfrac{1+\dfrac{3}{4}}{1-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\dfrac{7}{4}}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{7}{4}\times \dfrac{4}{1}=7\), donc \(B=7\).

Calcul de C.

\(C=\dfrac{2\times 10^2\times 5\times 10^{-3}}{4\times 10^{-4}}=\dfrac{10\times 10^{-1}}{4\times 10^{-4}}=\dfrac{1}{4\times 10^{-4}}=0{,}25\times 10^{4}=2\,500\), donc \(C=2\,500=2{,}5\times 10^3\).

Calcul de D. On fait apparaître \(\sqrt{3}\) :

\(D=\sqrt{25\times 3}-\sqrt{4\times 3}+\sqrt{9\times 3}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\), donc \(D=6\sqrt{3}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 27 :

1. Déterminer le PGCD de 288 et 224.

Utilisons l’algorithme d’Euclide.

\(288=1\times 224+64\)

\(224=3\times 64+32\)

\(64=2\times 32+0\)

Le PGCD étant le dernier reste non nul, on en déduit que \(pgcd(288,224)=32\)

2 . Écrire la fraction \(\frac{224}{288}\) sous forme irréductible.

\(\frac{224}{288}=\frac{224:32}{288:32}=\frac{7}{9}\) est une fraction irréductible.

3 . Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses oeuvres sur des panneaux contenant chacun le même nombre de photos de paysage et le même nombre de portraits.

Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits.

a ) Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ?

Il pourra réaliser au maximum 32 panneaux.

b ) Combien chaque panneau contient-il de photos de paysage et de photos de portraits ?

Chaque panneau contiendra 7 photos de paysage et 9 photos de portraits.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 28 (arithmétique 3e corrigé)

Nombre de bracelets. Toutes les perles doivent être utilisées et les bracelets doivent être identiques : le nombre de bracelets divise 138, 184 et 230. Par ailleurs, pour en faire le plus possible, on cherche le PGCD de ces trois nombres à l’aide des décompositions en facteurs premiers :

• \(138=2\times 3\times 23\)
• \(184=2^3\times 23\)
• \(230=2\times 5\times 23\)

Les facteurs communs sont 2 et 23, donc le PGCD vaut \(2\times 23=46\). Louise peut réaliser 46 bracelets.

Composition d’un bracelet. \(138: 46=3\), \(184: 46=4\) et \(230: 46=5\) : chaque bracelet comporte 3 perles jaunes, 4 perles vertes et 5 perles bleues.

Coût de fabrication d’un bracelet.

• De même, perles : \((55{,}20+64{,}40+78{,}20): 46=197{,}80: 46=4{,}30\) €. (On peut aussi calculer le prix d’une perle : 0,40 € la jaune, 0,35 € la verte, 0,34 € la bleue, puis \(3\times 0{,}40+4\times 0{,}35+5\times 0{,}34=4{,}30\) €.)
• Également, chaîne : 1,50 € ; fermoir : 2,40 €.
• Par ailleurs, Main d’œuvre : \(20: 8=2{,}50\) € par bracelet.

De même, Coût total : \(4{,}30+1{,}50+2{,}40+2{,}50=10{,}70\) €.

Prix de vente minimal. Le coût ne doit pas dépasser les deux septièmes du prix de vente \(p\) : \(\dfrac{2}{7}\times p\geq\, 10{,}70\), donc \(p\geq\, 10{,}70\times \dfrac{7}{2}=37{,}45\).

Un bracelet doit être vendu au minimum 37,45 €.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 29 :

a. 255 et 154 sont-ils premiers entre eux ?
PGCD( 255 ; 154 )
On utilise l’algorithme d’Euclide
Et on regroupe les résultats dans un tableau.

Dividende	Diviseur	Reste
Dividende	Diviseur	Reste
255	154	101
154	101	53
101	53	48
53	48	5
48	5	3
5	3	2
3	2	1
2	1	0

Or, dans l’algorithme d’Euclide le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD( 255 ; 154 ) = 1 donc ces deux nombres sont premiers entre eux.
b. 609 et 465 sont-ils premiers entre eux ?
PGCD( 609 ; 465 )
On utilise l’algorithme d’Euclide
Et on regroupe les résultats dans un tableau.

Dividende	Diviseur	Reste
Dividende	Diviseur	Reste
609	465	144
465	144	33
144	33	12
33	12	9
12	9	3
9	3	0

Or, dans l’algorithme d’Euclide le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD( 609 ; 465 ) = 3 donc ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux.
c. 11 913 et 7 259 sont-ils premiers entre eux ?
PGCD( 11913 ; 7259 )
On utilise l’algorithme d’Euclide
Et on regroupe les résultats dans un tableau.

Dividende	Diviseur	Reste
Dividende	Diviseur	Reste
11913	7259	4654
7259	4654	2605
4654	2605	2049
2605	2049	556
2049	556	381
556	381	175
381	175	31
175	31	20
31	20	11
20	11	9
11	9	2
9	2	1
2	1	0

Exercice 29 : (suite)

Or, dans l’algorithme d’Euclide le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD( 11913 ; 7259 ) = 1 donc ces deux nombres sont premiers entre eux.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 30 (arithmétique 3e corrigé)

1. Par la méthode d’Euclide :
481=2×234+13
234=18×13+0
le pgcd étant le dernier reste non nul, on en déduit que pgcd (481 , 234 ) =13.

2. 481 et 234 ne sont pas premiers entre eux, car leur PGCD vaut 13 et non 1 : \(481=13\times 37\) et \(234=13\times 18\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 31 :

1. Par la méthode de l’algorithme d’Euclide:
137=3×41+14
41=2×14+13
14=1×13+1
13=1×13+0
le pgcd étant le dernier reste non nul, on en déduit que pgcd (137 , 41 ) =1.
2. Ces deux entiers sont premiers entre eux car pgcd (137 , 41 ) =1.
On remarquera que l’algorithme d’Euclide est plus rapide.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 32 (arithmétique 3e corrigé)

1. Il faut donc calculer le pgcd (2 622,2 530).
Utilisons l’algorithme d’Euclide.
2622=1×2530+92
2530=27×92+46
92=2×46+0
le pgcd étant le dernier reste non nul, on en déduit que pgcd (2 622 , 2 530 ) = 46.

Le nombre de paquets doit diviser à la fois 2 622 et 2 530 : c’est un diviseur commun de ces deux nombres, donc un diviseur de leur PGCD 46. Puis les diviseurs de 46 sont 1, 2, 23 et 46. Ensuite, les possibilités sont donc :

• Enfin, 1 paquet de 2 622 œufs et 2 530 poissons ;
• De plus, 2 paquets de 1 311 œufs et 1 265 poissons ;
• Ainsi, 23 paquets de 114 œufs et 110 poissons ;
• De même, 46 paquets de 57 œufs et 55 poissons.

2. Puis le plus grand nombre de paquets est le PGCD : 46 paquets, contenant chacun 57 œufs et 55 poissons (\(2\,622: 46=57\) et \(2\,530: 46=55\)).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 33 :

1. 1. Il faut donc calculer le pgcd (161,133).
Utilisons l’algorithme d’Euclide.
161=1×133+28
133=4×28+21
28=1×21+7
21=3×7+0
le pgcd étant le dernier reste non nul, on en déduit que pgcd (161 , 133 ) = 7.
Il y aura donc 7 crayons dans chaque paquet.

En effet, le nombre de crayons par paquet doit diviser 161 et 133 ; les seuls diviseurs communs sont 1 et 7 (car \(161=7\times 23\) et \(133=7\times 19\)). De plus, on écarte les paquets d’un seul crayon : chaque paquet contient 7 crayons.

2. \(161: 7=23\) et \(133: 7=19\) : il y a 23 paquets de crayons rouges et 19 paquets de crayons noirs, soit 42 paquets en tout.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 34 (arithmétique 3e corrigé)

Pour A:
Calculons le pgcd (945,595)
945=1×595+350
595=1×350+245
350=1×245+105
245=2×105+35
105=3×35+0
donc pgcd(945,595)=35
ainsi

\(A=\dfrac{945}{595}=\dfrac{945: 35}{595: 35}=\dfrac{27}{17}\), donc \(A=\dfrac{27}{17}\).

Pour B:
Calculons le pgcd (1 771,736)
1 771=2×736+299
736=2×299+138
299=2×138+23
138=6×23+0
donc pgcd (1 771,736)=23
ainsi

\(B=\dfrac{736}{1\,771}=\dfrac{736: 23}{1\,771: 23}=\dfrac{32}{77}\), donc \(B=\dfrac{32}{77}\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 35 :

On calcule d’abord séparément chacun des deux quotients.

Premier quotient : \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{7}{6}\) et \(3-\dfrac{2}{5}=\dfrac{15}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{13}{5}\), donc \(\dfrac{\dfrac{7}{6}}{\dfrac{13}{5}}=\dfrac{7}{6}\times \dfrac{5}{13}=\dfrac{35}{78}\).

Second quotient : \(\dfrac{4}{5}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{8}{10}+\dfrac{35}{10}=\dfrac{43}{10}\), donc \(\dfrac{\dfrac{43}{13}}{\dfrac{43}{10}}=\dfrac{43}{13}\times \dfrac{10}{43}=\dfrac{10}{13}\).

Également, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\(F=\dfrac{35}{78}: \dfrac{10}{13}=\dfrac{35}{78}\times \dfrac{13}{10}=\dfrac{5\times 7\times 13}{2\times 3\times 13\times 2\times 5}=\dfrac{7}{12}\)

\(F=\dfrac{7}{12}\), fraction irréductible car 7 est premier et ne divise pas 12.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 36 (arithmétique 3e corrigé)

1. On utilise l’algorithme d’Euclide

Et on regroupe les résultats dans un tableau.

Dividende	Diviseur	Reste
Dividende	Diviseur	Reste
135	108	27
108	27	0

Or, dans l’algorithme d’Euclide le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD( 135 ; 108 ) = 27

2. a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

Il pouura réaliser au maximum 27 paquets .
b. Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
108:27=4 billes rouges.
135:27=5 billes noires .

Conclusion :
Il y aura , dans chaque paquet, 4 billes rouges et 5 billes noires.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 37 :

Le nombre de Cd n’est pas divisible par 2 et 5 donc le nombre de CD ne se termine pas par 0,2,4,5,6,8.

Donc il se termine par 1,3,7,9

Le nombre recherché est 421 par éliminations successives .

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 38 (arithmétique 3e corrigé)

a) A la question : « Combien 48 a-t-il de diviseurs ? », Jean répond qu’il y en a 9, alors que Cédric, lui, en trouve 10.

Qui a raison ?

Quelle méthode permet de trouver tous les diviseurs d’un nombre ?

Les diviseurs de 48 sont 1;2;3;4;6;8;12;16;24;48 .

Il y en a 10, Cédric a raison .

Méthode : on cherche les produits de deux entiers égaux à 48, en testant les diviseurs possibles 1, 2, 3… dans l’ordre croissant et en s’arrêtant quand le premier facteur dépasse le second : \(48=1\times 48=2\times 24=3\times 16=4\times 12=6\times 8\) (5 et 7 ne divisent pas 48). Chaque produit donne deux diviseurs, d’où 10 diviseurs.

b) Un artiste dispose d’une toile de 60 cm sur 48 cm.

Il veut y peindre un pavage composé de carrés identiques, mais de couleurs différentes. La longueur du côté de ces carrés est un nombre entier.

Quelle est la plus grande longueur possible pour ces carrés ( en cm ) ?

La plus grande longueur correspond au pgcd (60,48)

PGCD( 60 ; 48 )
On utilise l’algorithme d’Euclide
Et on regroupe les résultats dans un tableau.

Dividende	Diviseur	Reste
Dividende	Diviseur	Reste
60	48	12
48	12	0

Or, dans l’algorithme d’Euclide le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD( 60 ; 48 ) = 12

Conclusion : La plus grande longueur est de 12 cm .

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 39 :

Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.
a) 3 est un diviseur de 43. Après cela, FAUX g) 24 a pour multiple 240. VRAI
b) 132 est divisible par 11. Après cela, vRAI h) 5 divise 450. VRAI
c) 7 a pour diviseur 21. Puis, FAUX i) 8 est un diviseur de 0. VRAI
d) 222 est un diviseur de 31 024. FAUX j) 1 est un multiple de 67. FAUX
e) 31 024 est un multiple de 113. FAUX k) 1 divise 0. VRAI
f) 45 a pour diviseur 5. VRAI l) 0 divise 15. FAUX

Justifications :

• a) \(43=3\times 14+1\) : le reste n’est pas nul, donc 3 ne divise pas 43.
• b) \(132=11\times 12\).
• Également, c) 21 est plus grand que 7, il ne peut pas diviser 7 (c’est 7 qui divise 21).
• Par ailleurs, d) \(31\,024: 222\approx 139{,}7\) n’est pas un entier.
• Enfin, e) \(31\,024=113\times 274+62\) : le reste n’est pas nul.
• f) \(45=5\times 9\).
• g) \(240=24\times 10\).
• h) \(450=5\times 90\).
• i) \(0=8\times 0\), donc 0 est un multiple de 8.
• j) C’est l’inverse : 67 est un multiple de 1 (\(67=1\times 67\)), mais 1 n’est pas un multiple de 67.
• k) \(0=1\times 0\).
• De plus, l) Pour tout entier \(k\), \(0\times k=0\neq 15\) : 0 ne divise aucun nombre non nul.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 40 (arithmétique 3e corrigé)

Si le nombre possède que deux diviseurs alors c’est un nombre premier.

Il suffit de créer un tableau avec le logiciel excel.

On observe que n=11, on obtient 121 .

Or 121 est divisible par 121 , 11 et 1 donc possède 3 diviseurs.

L’affirmation est fausse.

Feuille de calcul : les valeurs de n sont en colonne A et la cellule B1 contient la formule =A1*A1-A1+11, recopiée vers le bas.

n (colonne A)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(n^2-n+11\) (colonne B)	11	11	13	17	23	31	41	53	67	83	101	121	143

De \(n=0\) à \(n=10\), tous les nombres obtenus sont premiers, mais pour \(n=11\) on obtient \(121=11\times 11\), qui a trois diviseurs (1, 11 et 121). Ensuite, un seul contre-exemple suffit : l’affirmation est fausse. (Pour \(n=12\), \(143=11\times 13\) n’est pas premier non plus.)

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 41 :

1. Calculer le nombre de tartelettes .

Calculons le pgcd(411,685)

685=1×411 +274

411=1×274+137

274=2×137+0

donc pgcd(411,685)=137

Le nombre de tartelettes doit diviser 411 et 685 ; le plus grand possible est leur PGCD : le pâtissier peut faire 137 tartelettes.

2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette .

411:137= 3

Il y aura donc 3 framboises par tartelette .

685:137 = 5

Il y aura 5 fraises par tartelette .

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 42 (arithmétique 3e corrigé)

1. Combien de bouquets le fleuriste pourra-t-il constituer ?

Montrez que le pgcd (1105,935) = 85

Algorithme d’Euclide : \(1\,105=1\times 935+170\) ; \(935=5\times 170+85\) ; \(170=2\times 85+0\). Le dernier reste non nul est 85, donc le fleuriste pourra constituer au maximum 85 bouquets.

2. Quelle sera la constitution de chaque bouquet ?

1105 : 85 = 13 et 935 : 85 = 11

Chaque bouquet est constitué de 13 oeillets et 11 iris .

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 43:

1) Les nombres 3120 et 2760 sont premiers entre eux ? Justifier

Ces deux nombres sont divisibles par 10 donc ils ne sont pas premiers entre eux car leur pgcd est différent de 1.

2) Calculer le plus grand diviseur commun de 3120 et 2760.

3120=1×2760 + 360

2760=7×360+240

360=1×240+120

240=2×120+0

Le pgcd étant le dernier reste non nul, pgcd(3120,2760)=120

3) Rendre irréductible la fraction \(\frac{3120}{2760}\) .

\(\frac{3120}{2760}=\frac{3120:120}{2760:120}=\frac{26}{23}\)

4) Un confiseur dispose de 3120 dragées roses et de 2760 dragées blancs, il souhaite faire des paquets tous identiques de dragées roses et blancs.

Afin de faire un bénéfice maximum sur ces ventes, le nombre de paquets doit être le plus grand possible et il doit utiliser tous ses dragées.

a) Quel est le nombre de paquet que le confiseur confectionne ?

Chaque paquet doit contenir le maximum de dragées de chaque couleur

donc cela revient à chercher le pgcd(3120,2760) soit 120 paquets.

b) Quel est le nombre dans chaque paquet de dragées roses ?

3120 : 120 =26.

Chaque paquet contient 26 dragées roses.

c) Quel est le nombre dans chaque paquets de dragées blancs ?

2760 : 120 = 23.

Chaque paquet contient 23 dragées blanches.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 44 (arithmétique 3e corrigé)

Décompositions en facteurs premiers :

• \(325=5\times 65=5\times 5\times 13=5^2\times 13\)
• \(1\,053=3\times 351=3\times 3\times 117=3\times 3\times 3\times 39=3^4\times 13\)

Le seul facteur premier commun est 13, donc PGCD(1 053 ; 325) = 13. Par ailleurs, on peut le vérifier avec l’algorithme d’Euclide : \(1\,053=3\times 325+78\) ; \(325=4\times 78+13\) ; \(78=6\times 13+0\).

\(\dfrac{325}{1\,053}=\dfrac{5^2\times 13}{3^4\times 13}=\dfrac{25}{81}\)

La fraction irréductible est \(\dfrac{25}{81}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 45 :

1. Puis on divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… :

• \(630=2\times 315=2\times 3\times 105=2\times 3\times 3\times 35\), donc \(630=2\times 3^2\times 5\times 7\) ;
• \(924=2\times 462=2\times 2\times 231=2\times 2\times 3\times 77\), donc \(924=2^2\times 3\times 7\times 11\).

2. Ensuite, on simplifie par les facteurs communs 2, 3 et 7 (leur produit, 42, est le PGCD) :

\(\dfrac{630}{924}=\dfrac{2\times 3\times 3\times 5\times 7}{2\times 2\times 3\times 7\times 11}=\dfrac{3\times 5}{2\times 11}=\dfrac{15}{22}\)

\(\dfrac{630}{924}=\dfrac{15}{22}\), fraction irréductible.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 46 (arithmétique 3e corrigé)

1. Chaque lot a la même composition et tous les timbres sont vendus : le nombre de lots divise à la fois 1 631 et 932. Puis le nombre maximum de lots est donc PGCD(1 631 ; 932).

• \(1\,631=1\times 932+699\)
• \(932=1\times 699+233\)
• \(699=3\times 233+0\)

Par ailleurs, le dernier reste non nul est 233 : il pourra réaliser au maximum 233 lots.

2. \(1\,631: 233=7\) et \(932: 233=4\) : chaque lot contient 7 timbres français et 4 timbres étrangers.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 47 :

1. Algorithme d’Euclide : \(135=1\times 108+27\) ; \(108=4\times 27+0\). Donc PGCD(108 ; 135) = 27.

2. a. De plus, le nombre de paquets doit diviser 108 et 135 ; le nombre maximal est leur PGCD : 27 paquets.

b. \(108: 27=4\) et \(135: 27=5\) : chaque paquet contient 4 billes rouges et 5 billes noires.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 48 (arithmétique 3e corrigé)

1. \(325=5^2\times 13\) et \(1\,053=3^4\times 13\) (même démarche qu’à l’exercice 44 : \(325=5\times 5\times 13\) et \(1\,053=3\times 3\times 3\times 3\times 13\)).

2. Ensuite, on simplifie par le facteur commun 13 :

\(\dfrac{325}{1\,053}=\dfrac{25\times 13}{81\times 13}=\dfrac{25}{81}\)

\(\dfrac{325}{1\,053}=\dfrac{25}{81}\) ; 25 et 81 n’ont plus de facteur premier commun.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 49 :

1. \(110=2\times 5\times 11\) et \(88=2\times 44=2\times 2\times 22=2^3\times 11\).

2. Par ailleurs, les facteurs premiers communs sont 2 (une fois) et 11, donc PGCD(110 ; 88) = 2 × 11 = 22.

3. Puis le côté du carré doit diviser la longueur 110 cm et la largeur 88 cm pour qu’il n’y ait pas de perte. Ensuite, le plus grand côté possible est le PGCD : le côté d’un carré mesure 22 cm.

4. Puis dans la longueur : \(110: 22=5\) carrés ; dans la largeur : \(88: 22=4\) carrés. Donc \(5\times 4=20\) : on obtient 20 carrés par plaque.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 50 (arithmétique 3e corrigé)

Le nombre de bouquets doit diviser 182 et 78 pour utiliser toutes les fleurs. De plus, on cherche le PGCD :

• \(182=2\times 78+26\)
• \(78=3\times 26+0\)

Enfin, PGCD(182 ; 78) = 26 : Julie pourra faire 26 bouquets identiques.

\(182: 26=7\) et \(78: 26=3\) : chaque bouquet contiendra 7 brins de muguet et 3 roses.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 51 :

Cet exercice reprend les données de l’exercice 32.

1. Ensuite, le nombre de paquets doit diviser 2 622 et 2 530. Également, algorithme d’Euclide :

• \(2\,622=1\times 2\,530+92\)
• \(2\,530=27\times 92+46\)
• \(92=2\times 46+0\)

De plus, PGCD(2 622 ; 2 530) = 46. Par ailleurs, les nombres de paquets possibles sont les diviseurs de 46 : 1, 2, 23 et 46.

Nombre de paquets	Œufs par paquet	Poissons par paquet
1	2 622	2 530
2	1 311	1 265
23	114	110
46	57	55

2. Le plus grand nombre de paquets est 46, chacun contenant 57 œufs et 55 poissons.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 52 :

a) Le nombre de crayons par paquet doit diviser 161 (paquets rouges) et 133 (paquets noirs). Or \(161=7\times 23\) et \(133=7\times 19\) : les diviseurs communs sont 1 et 7, et PGCD(161 ; 133) = 7. Puis en excluant les paquets d’un seul crayon, chaque paquet contient 7 crayons.

Ainsi, b) \(161: 7=23\) et \(133: 7=19\) : 23 paquets de crayons rouges et 19 paquets de crayons noirs.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 53 :

Notons \(a\), \(b\) et \(c\) les longueurs des arêtes (en cm) avec \(a\times b=96\), \(a\times c=160\) et \(b\times c=240\).

De même, en multipliant les trois égalités : \((a\times b\times c)^2=96\times 160\times 240\).

Également, Avec les décompositions \(96=2^5\times 3\), \(160=2^5\times 5\) et \(240=2^4\times 3\times 5\), on obtient \(96\times 160\times 240=2^{14}\times 3^2\times 5^2=(2^7\times 3\times 5)^2=1\,920^2\).

Donc \(a\times b\times c=1\,920\) : le volume de la boîte est 1 920 cm³.

Par ailleurs, Vérification : \(a=1\,920: 240=8\), \(b=1\,920: 160=12\), \(c=1\,920: 96=20\), et l’on a bien \(8\times 12=96\), \(8\times 20=160\), \(12\times 20=240\). Ensuite, la boîte mesure 8 cm × 12 cm × 20 cm.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 54 :

1. Puis l’arête du cube doit diviser les trois dimensions 140, 112 et 84 pour que la malle soit remplie exactement.

• \(140=2^2\times 5\times 7\)
• \(112=2^4\times 7\)
• \(84=2^2\times 3\times 7\)

Enfin, les facteurs communs sont \(2^2\) et 7 : le PGCD vaut \(4\times 7=28\). Le plus grand cube possible a une arête de 28 cm.

2. De plus, les autres arêtes possibles sont les autres diviseurs de 28 : 1 cm, 2 cm, 4 cm, 7 cm et 14 cm.

3. Nombre de cubes = (140 ÷ arête) × (112 ÷ arête) × (84 ÷ arête) :

Arête (cm)	Calcul	Nombre de cubes
28	\(5\times 4\times 3\)	60
14	\(10\times 8\times 6\)	480
7	\(20\times 16\times 12\)	3 840
4	\(35\times 28\times 21\)	20 580
2	\(70\times 56\times 42\)	164 640
1	\(140\times 112\times 84\)	1 317 120

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 55 :

Il y a un arbre à chaque sommet et les arbres sont régulièrement espacés : l’écart entre deux arbres doit diviser chacune des longueurs 198, 254 et 306. Ensuite, pour acheter le moins d’arbres possible, cet écart doit être le plus grand possible : c’est le PGCD des trois longueurs.

• \(198=2\times 3^2\times 11\)
• \(254=2\times 127\) (127 est premier)
• \(306=2\times 3^2\times 17\)

De plus, le seul facteur commun est 2 : les arbres sont espacés de 2 m.

Ainsi, le périmètre vaut \(198+254+306=758\) m. Sur un contour fermé, il y a autant d’arbres que d’intervalles, donc \(758: 2=379\) arbres (on peut aussi compter \(99+127+153=379\) intervalles, chaque sommet n’étant compté qu’une fois).

Il faut acheter au minimum 379 arbres.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 56 :

Les deux bus repartent ensemble au bout d’une durée qui est à la fois un multiple de 36 min et un multiple de 24 min. Par ailleurs, on cherche le plus petit multiple commun non nul.

De même, multiples de 36 : 36, 72, 108… ; multiples de 24 : 24, 48, 72… Le plus petit multiple commun est 72 min, soit 1 h 12 min. (Avec les décompositions : \(36=2^2\times 3^2\), \(24=2^3\times 3\), donc \(2^3\times 3^2=72\).)

• a. Première fois : 7 h + 1 h 12 min = 8 h 12.
• b. Deuxième fois : 7 h + 2 × 72 min = 7 h + 2 h 24 min = 9 h 24.
• c. Cinquième fois : 7 h + 5 × 72 min = 7 h + 360 min = 7 h + 6 h = 13 h.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 57 :

• Ainsi, 44, 56, 18 et 14 sont pairs et différents de 2 : ils sont divisibles par 2.
• \(25=5\times 5\).
• De même, 17 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 (et \(5\times 5=25\gt 17\), inutile d’aller plus loin) : ses seuls diviseurs sont 1 et 17.

Le nombre premier de la liste est 17.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 58 :

Pour partager équitablement ses macarons (sans en couper et sans reste) entre plusieurs personnes, le nombre de personnes doit être un diviseur du nombre de macarons. Or un nombre premier n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

En général, Alan ne pourra pas partager ses macarons de manière équitable : le partage n’est possible que si le nombre de personnes est égal au nombre de macarons (chacun en reçoit alors un seul), ou s’il garde tout pour lui.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 59 :

a. Puis un rectangle de \(\ell\) lignes et \(L\) colonnes contient \(\ell\times L\) pions : il faut donc écrire 24 comme produit de deux entiers (les rangements \(4\times 6\) et \(6\times 4\) comptant pour un seul) :

\(24=1\times 24=2\times 12=3\times 8=4\times 6\)

Patricia a 4 possibilités : 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 et 4 × 6.

b. Avec \(n\) pions, il y a toujours au moins la possibilité \(1\times n\) (une seule ligne). Enfin, n’avoir qu’une seule possibilité signifie que \(n\) n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même : le nombre de pions de Léo est un nombre premier (en excluant le cas trivial d’un seul pion).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 60 :

\(16=2\times 2\times 2\times 2=2^4\), donc \(256=16\times 16=2^4\times 2^4=2^{4+4}\).

\(256=2^8\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 61 :

a. Ensuite, la boîte contient \(150+120=270\) bonbons, dont 150 au chocolat noir. Puis la proportion est \(\dfrac{150}{270}=\dfrac{15\times 10}{27\times 10}=\dfrac{3\times 5}{3\times 9}=\dfrac{5}{9}\).

La proportion de bonbons au chocolat noir est \(\dfrac{5}{9}\).

b. De plus, il reste \(150-3=147\) bonbons au chocolat noir sur \(270-6=264\) bonbons. Ensuite, la nouvelle proportion est \(\dfrac{147}{264}=\dfrac{3\times 49}{3\times 88}=\dfrac{49}{88}\).

Également, comparons \(\dfrac{5}{9}\) et \(\dfrac{49}{88}\) par les produits en croix : \(5\times 88=440\) et \(9\times 49=441\). Comme \(440\neq 441\), les deux fractions ne sont pas égales.

Non, la proportion n’est plus la même (elle a très légèrement augmenté : \(\dfrac{49}{88}\approx 0{,}557\) contre \(\dfrac{5}{9}\approx 0{,}556\)).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 62 :

La proportion de supporters français est \(\dfrac{33\,291}{59\,535}\). Avec les décompositions données :

\(\dfrac{33\,291}{59\,535}=\dfrac{3^5\times 137}{3^5\times 5\times 7^2}=\dfrac{137}{5\times 49}=\dfrac{137}{245}\)

137 est premier et ne divise pas \(245=5\times 7^2\), donc la fraction est irréductible.

La proportion de supporters de l’équipe française est \(\dfrac{137}{245}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 63 :

1. Réponse c (29). \(15=3\times 5\) et \(27=3^3\) ne sont pas premiers ; 29 n’a que deux diviseurs, 1 et 29.
2. Réponse a. \(72=8\times 9=2^3\times 3^2\) (\(2^2\times 3^2=36\) et \(2^3\times 3^3=216\)).
3. Réponse b. Un multiple commun doit contenir au moins \(3\times 5^2\) (pour A) et \(3^2\times 5\) (pour B) : \(3^2\times 5^2=225=3\times 75=5\times 45\) convient. \(3\times 5\times 7\) ne contient pas \(5^2\), et \(3^3\times 5\) ne contient pas \(5^2\).
4. Réponse b. \(2\times 7\) divise \(2^2\times 7\times 11\) car \(2^2\times 7\times 11=(2\times 7)\times (2\times 11)\). Le facteur 5 n’apparaît pas dans A, et \(11^2\) non plus.
5. Réponse b. \(\dfrac{2^2\times 5^3\times 11}{5^2\times 11^2}=\dfrac{2^2\times 5}{11}=\dfrac{20}{11}\).
6. Réponse c. \(\dfrac{250}{200}=\dfrac{5\times 50}{4\times 50}=\dfrac{5}{4}\) ; les fractions \(\dfrac{25}{20}\) et \(\dfrac{125}{100}\) sont égales mais encore simplifiables par 5 et par 25.
7. Réponse a. \(37\) est premier et ne divise pas \(25=5^2\), donc \(\dfrac{37}{25}\) est irréductible. En revanche, 224 et 620 sont pairs, et 783 et 546 sont divisibles par 3 (sommes des chiffres 18 et 15).

Arithmétique 3e corrigé : nos conseils pour progresser

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Par ailleurs, arithmétique 3e corrigé en troisième demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, pour aller plus loin, l’article Arithmétique de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec les fonctions affines : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.