Fractions rationnelles : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie l’arithmétique de \(\mathbb{K}[X]\), calquée sur celle de \(\mathbb{Z}\), la factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\) et \(\mathbb{R}[X]\), puis la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Fractions rationnelles - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quel énoncé est le théorème de d’Alembert-Gauss ?

A Tout polynôme de degré \(n\) de \(\mathbb{C}[X]\) admet \(n\) racines distinctes

B Tout polynôme non constant de \(\mathbb{C}[X]\) admet au moins une racine complexe

C Tout polynôme non constant de \(\mathbb{R}[X]\) admet au moins une racine réelle

D Tout polynôme de \(\mathbb{C}[X]\) de degré impair admet une racine réelle

Question 2

Quels sont les polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) ?

A Ceux de degré \(1\) uniquement

B Ceux de degré \(1\) et ceux de degré \(2\) à discriminant strictement positif

C Tous ceux de degré \(1\) ou \(2\)

D Ceux de degré \(1\) et ceux de degré \(2\) à discriminant strictement négatif

Question 3

Quelle est la factorisation de \(X^4 + 1\) en irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) ?

A \((X^2 + \sqrt{2}X - 1)(X^2 - \sqrt{2}X - 1)\)

B \((X^2 + 1)^2\)

C \((X^2 + \sqrt{2}X + 1)(X^2 - \sqrt{2}X + 1)\)

D \((X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)\)

Question 4

Quelle est la décomposition en éléments simples de \(\frac{1}{X^2 - 1}\) ?

A \(\frac{1}{2(X - 1)} - \frac{1}{2(X + 1)}\)

B \(\frac{1}{2(X + 1)} - \frac{1}{2(X - 1)}\)

C \(\frac{1}{X - 1} - \frac{1}{X + 1}\)

D \(\frac{1}{2(X - 1)} + \frac{1}{2(X + 1)}\)

Question 5

Dans la décomposition en éléments simples de \(\frac{X + 2}{X^3 - 1}\), quel est le coefficient de \(\frac{1}{X - 1}\) ?

A \(1\)

B \(\frac{2}{3}\)

C \(3\)

D \(\frac{1}{3}\)

Question 6

Quelle est la partie entière de la fraction rationnelle \(\frac{X^3 + 2}{X - 1}\) ?

A \(X^2\)

B \(X^2 + X\)

C \(X^2 + X + 1\)

D \(X^2 + X + 3\)

Question 7

Soient \(x_1, \dots, x_n\) les racines de \(X^n - 1\). Que vaut \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 - x_k}\) ?

A \(\frac{n}{2^n - 1}\)

B \(\frac{n\,2^{n-1}}{2^n - 1}\)

C \(\frac{n\,2^{n}}{2^n - 1}\)

D \(\frac{2^n - 1}{n\,2^{n-1}}\)

Question 8

Quelle est la factorisation de \(X^n - 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\) ?

A \(\prod_{k=0}^{n-1}\left(X - e^{ik\pi/n}\right)\)

B \(\prod_{k=0}^{n-1}\left(X - e^{2ik\pi/n}\right)\)

C \(\prod_{k=0}^{n}\left(X - e^{2ik\pi/n}\right)\)

D \(\prod_{k=1}^{n}\left(X - e^{ik\pi/n}\right)\)

Question 9

Que vaut \(\displaystyle\int_2^3 \frac{\mathrm{d}x}{x^2 - 1}\) ?

A \(\frac{1}{2}\ln 2\)

B \(\ln\frac{3}{2}\)

C \(\frac{1}{2}\ln\frac{2}{3}\)

D \(\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}\)

Question 10

Deux polynômes de \(\mathbb{C}[X]\) sont premiers entre eux si et seulement si :

A ils n’ont aucune racine réelle commune

B leurs degrés sont premiers entre eux

C aucun des deux ne divise l’autre

D ils n’ont aucune racine complexe commune

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de fractions rationnelles en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

le théorème de d’Alembert-Gauss et les irréductibles de \(\mathbb{C}[X]\) et \(\mathbb{R}[X]\) ;
la factorisation de \(X^n – 1\) et de \(X^4 + 1\) ;
les polynômes premiers entre eux caractérisés par leurs racines ;
la partie entière et le coefficient d’un pôle simple ;
la décomposition de \(\frac{P’}{P}\) et le calcul de primitives de fractions rationnelles.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire que \(X^4 + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\) parce qu’il n’a pas de racine réelle. Sans racine réelle, un polynôme réel de degré \(4\) peut quand même se factoriser en deux facteurs de degré \(2\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour un pôle simple \(a\) de \(\frac{P}{Q}\), calculez directement le coefficient \(\frac{P(a)}{Q'(a)}\) au lieu d’identifier les coefficients : c’est plus rapide et beaucoup moins sujet aux erreurs. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Calcul matriciel, Polynômes, Relations de comparaison, Développements limités. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quels sont les polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) ?

Les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif. Tout polynôme réel se factorise en produit de tels facteurs.

Pourquoi calculer la partie entière d’abord ?

Parce que la décomposition en éléments simples ne concerne que la partie de degré strictement négatif. Si \(\deg P \geq\, \deg Q\), la division euclidienne de \(P\) par \(Q\) donne la partie entière.