Ce contrôle de maths sup porte sur le thème suivant : complexes, racines n-ièmes et géométrie.
Ce devoir de deux heures évalue le chapitre des nombres complexes de maths sup. Vous démontrerez d’abord la description des racines n-ièmes de l’unité et le calcul de leur somme, puis vous utiliserez la technique de l’angle moitié pour linéariser et sommer des cosinus.
Le troisième exercice rassemble les équations : racines carrées sous forme algébrique, second degré à coefficients complexes, équation du type z puissance n égale a et exponentielle complexe. Le problème final est géométrique : alignement, orthogonalité et similitudes directes se lisent sur une figure. Les arguments sont remarquables, donc la calculatrice est inutile.
- Niveau : maths sup (MPSI)
- Chapitre : Nombres complexes et exponentielle complexe
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 7 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : forme trigonométrique, linéarisation et somme de cosinus
- Chercher : racines carrées sous forme algébrique et équations du second degré
- Représenter : racines n-ièmes et points dans le plan complexe
- Raisonner : traduire alignement, orthogonalité et similitudes en complexes
Exercice 1 : Racines n-ièmes de l’unité (3 points)
Calculatrice interdite.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} : z^n = 1\}\).
- Démontrez que \(\mathbb{U}_n = \{e^{\frac{2ik\pi}{n}} : k \in [\![0, n-1]\!]\}\) et que \(\mathbb{U}_n\) possède exactement \(n\) éléments. (2 points)
- On suppose \(n \geq\, 2\). Démontrez que la somme des éléments de \(\mathbb{U}_n\) est nulle. (1 point)
Exercice 2 : Angle moitié et linéarisation (5 points)
- Soit \(\theta \in ]-\pi, \pi[\). Écrivez \(1 + e^{i\theta}\) sous forme trigonométrique en précisant son module et un argument. Pour \(\theta \in ]0, 2\pi[\), faites de même pour \(1 – e^{i\theta}\). (1,5 point)
- Linéarisez \(\cos^4 t\) à l’aide des formules d’Euler. (1 point)
- Soit \(t \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\). En utilisant la question a, calculez \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} e^{ikt}\), puis déduisez-en une expression factorisée de \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \cos(kt)\). (1,5 point)
- À l’aide de la formule de Moivre, exprimez \(\cos(3t)\) en fonction de \(\cos t\). (1 point)
Exercice 3 : Équations dans C (5 points)
- Déterminez sous forme algébrique les racines carrées de \(3 – 4i\). (1,5 point)
- Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2 – 3iz – 3 + i = 0\). (1,5 point)
- Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^3 = 8i\) ; donnez les solutions sous forme exponentielle puis algébrique. (1 point)
- Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(e^z = 1 + i\sqrt{3}\). (1 point)
Exercice 4 : Géométrie dans le plan complexe (7 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives
\[a = 1 + i, \quad b = 4 + 2i, \quad c = 7 + 3i, \quad d = 2 – 2i.\]
- Calculez \(\dfrac{c-a}{b-a}\) et déduisez-en que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés. (1 point)
- Calculez \(\dfrac{d-a}{b-a}\). Déduisez-en la nature du triangle \(ABD\). (1,5 point)
- On considère l’application \(s\) du plan dans lui-même qui, au point d’affixe \(z\), associe le point d’affixe \((1+i)z + 1\). Démontrez que \(s\) possède un unique point fixe \(\Omega\), dont vous donnerez l’affixe, puis précisez la nature de \(s\) et ses éléments caractéristiques. (1,5 point)
- Déterminez l’écriture complexe de la rotation \(r\) de centre \(A\) qui envoie \(B\) sur \(D\). (1 point)
- Déterminez l’ensemble \(\Gamma\) des points \(M\) d’affixe \(z \neq b\) tels que \(\dfrac{z-a}{z-b}\) soit imaginaire pur. Précisez le centre et le rayon de la figure obtenue. (2 points)
Réviser avant le contrôle : complexes, racines n-ièmes et géométrie
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Nombres complexes » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés nombres complexes.
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