Ce QCM de maths sup (MPSI) teste le langage de l’asymptotique : domination, négligeabilité, équivalents, formule de Stirling et premiers développements asymptotiques, avec les pièges de somme et de composition. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Relations de comparaison : domination, équivalents du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Relations de comparaison - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(f\) et \(g\) définies au voisinage de \(a\), \(g\) ne s’annulant pas au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)). Laquelle des propositions équivaut à \(f \sim_a g\) ?
A\(f - g = o_a(g)\)
B\(f - g = O_a(g)\)
C\(f - g \to 0\) en \(a\)
D\(f = O_a(g)\)
Question 2
Quel est un équivalent simple de \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) quand \(n \to +\infty\) ?
A\(\frac{1}{2\sqrt{n}}\)
B\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)
C\(0\)
D\(\frac{1}{2n}\)
Question 3
On suppose \(u_n \sim n\) et \(v_n \sim -n\). Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?
A\(u_n + v_n \to 0\)
B\(u_n + v_n = O(1)\)
C\(u_n + v_n \sim 0\)
D\(u_n + v_n = o(n)\)
Question 4
Que vaut \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)\,\ln(1+2x)}{x \tan x}\) ?
A\(5\)
B\(1\)
C\(\frac{3}{2}\)
D\(6\)
Question 5
À l’aide de la formule de Stirling, quel est un équivalent de \(\binom{2n}{n}\) ?
A\(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\)
B\(\frac{4^n}{\sqrt{2\pi n}}\)
C\(\frac{4^n}{\pi n}\)
D\(\frac{2^n}{\sqrt{\pi n}}\)
Question 6
On pose \(u_n = n\,(2 + (-1)^n)\) et \(v_n = n\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(u_n \sim 3 v_n\)
B\(u_n = O(v_n)\) et \(v_n = O(u_n)\), mais \(u_n / v_n\) n’a pas de limite
C\(u_n \sim 2 v_n\)
D\(u_n = o(v_n)\)
Question 7
Soit \(f\) et \(g\) à valeurs strictement positives avec \(f \sim_a g\). Laquelle des implications est vraie en général ?
A\(e^f \sim_a e^g\)
B\(f^2 \sim_a g^2\)
C\(\ln f \sim_a \ln g\)
D\(f - g \to 0\) en \(a\)
Question 8
Laquelle des relations de comparaison est vraie quand \(n \to +\infty\) ?
A\(2^n = o(n^{50})\)
B\(\sqrt{n} = o\left((\ln n)^{3}\right)\)
C\((\ln n)^{10} = o(\sqrt{n})\)
D\(e^{\sqrt{n}} = o(n^{10})\)
Question 9
Si \(f \sim_a g\), laquelle des propriétés suivantes est transmise de \(g\) à \(f\) ?
Ala monotonie au voisinage de \(a\)
Ble signe strict au voisinage de \(a\)
Cla dérivabilité au voisinage de \(a\)
Dla valeur en \(a\) de la dérivée
Question 10
Pour \(n \geqslant 1\), l’équation \(\tan x = x\) a une unique solution \(x_n\) dans \(\left]n\pi - \frac{\pi}{2}, n\pi + \frac{\pi}{2}\right[\), et \(x_n = n\pi + \frac{\pi}{2} + o(1)\). Quel est le développement à l’ordre suivant ?
Ce que vérifie ce QCM de relations de comparaison en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition de \(f \sim_a g\) par \(f – g = o_a(g)\) et les notations \(o\) et \(O\) ;
les opérations autorisées sur les équivalents (produit, quotient, puissance) et les opérations interdites (somme, composition) ;
les croissances comparées écrites avec \(o\) ;
la formule de Stirling et ses applications aux coefficients binomiaux ;
le développement asymptotique d’une suite définie implicitement.
L’erreur la plus fréquente
Le piège majeur : additionner ou composer des équivalents. De \(u_n \sim n\) et \(v_n \sim -n\) on ne tire aucun équivalent de \(u_n + v_n\), et \(x + 1 \sim x\) en \(+\infty\) n’entraîne pas \(e^{x+1} \sim e^{x}\).
Comment réviser avant de refaire le test
Avant de chercher un équivalent d’une somme, factorisez par le terme prépondérant ou passez à un développement limité ; réservez les équivalents aux produits et quotients. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Non, sauf si \(f\) est nulle au voisinage du point. Écrire \(f \sim 0\) pour dire que \(f\) tend vers \(0\) est une faute : il faut écrire \(f = o(1)\).
Quelle différence entre \(O\) et \(o\) ?
\(u_n = O(v_n)\) signifie que \(u_n / v_n\) est bornée (pour \(v_n\) non nul), tandis que \(u_n = o(v_n)\) signifie que ce quotient tend vers \(0\). Un \(o\) est donc un \(O\), mais pas l’inverse.
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