Contrôle de maths sup : sommes, binôme et formules de trigonométrie

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite.

1. Pour des entiers \(n \geq\, 1\) et \(0 \leq\, k \leq\, n-1\), démontrez la relation de Pascal
   \[\binom\,{n}{k} + \binom\,{n}{k+1} = \binom\,{n+1}{k+1}\]
   à partir de l’expression des coefficients binomiaux par les factorielles. (1,5 point)
2. En partant des formules d’addition \(\cos(a \pm b)\) et \(\sin(a \pm b)\), démontrez que, pour tous réels \(a\), \(b\), \(p\) et \(q\),
   \[\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)] \quad \text{et} \quad \sin p – \sin q = 2 \cos\dfrac{p+q}{2} \sin\dfrac{p-q}{2}.\]
   (1,5 point)

Exercice 2 : Sommes et coefficients binomiaux (5 points)

Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier naturel non nul.

1. Calculez \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}\) après avoir écrit \(\dfrac{1}{k(k+1)}\) comme une différence. (1 point)
2. En remarquant que \(k \cdot k! = (k+1)! – k!\), calculez \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot k!\). (1 point)
3. On pose \(\displaystyle S_n = \sum_{1 \leq\, i \leq\, j \leq\, n} \dfrac{i}{j}\). Intervertissez les sommes pour démontrer que \(S_n = \dfrac{n(n+3)}{4}\). (1,5 point)
4. Calculez \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} 2^k\). Justifiez ensuite que \(k\binom\,{n}{k} = n\binom\,{n-1}{k-1}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n\), et déduisez-en \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\binom\,{n}{k}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Inégalités, valeur absolue et partie entière (4 points)

On note \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière du réel \(x\).

1. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(|2x – 1| \leq\, |x + 2|\). (1,5 point)
2. Démontrez que, pour tout réel \(x\), \(\lfloor 2x \rfloor – 2\lfloor x \rfloor \in \{0, 1\}\). (1 point)
3. Démontrez que, pour tout entier \(k \geq\, 2\), \(\dfrac{1}{k^2} \leq\, \dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k}\). Déduisez-en que, pour tout entier \(n \geq\, 1\),
   \[\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} \leq\, 2 – \dfrac{1}{n}.\]
   (1,5 point)

Exercice 4 : Équations trigonométriques (4 points)

Le cercle trigonométrique ci-dessous rappelle les angles remarquables du premier quadrant.

1. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos(2x) = \sin x\). (1,5 point)
2. Écrivez \(\sin x + \sqrt{3}\cos x\) sous la forme \(R\sin(x + \varphi)\) avec \(R > 0\), puis résolvez dans \(]-\pi, \pi]\) l’inéquation \(\sin x + \sqrt{3}\cos x \geq\, 1\). (1,5 point)
3. Soit \(t \in ]-\pi, \pi[\) et \(u = \tan\dfrac{t}{2}\). Démontrez que
   \[\cos t = \dfrac{1-u^2}{1+u^2} \quad \text{et} \quad \sin t = \dfrac{2u}{1+u^2}.\]
   (1 point)

Exercice 5 : Somme des cosinus par télescopage (4 points)

Soit \(x\) un réel qui n’appartient pas à \(2\pi\mathbb{Z}\), de sorte que \(\sin\dfrac{x}{2} \neq 0\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose
\[C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(kx).\]

1. Démontrez que, pour tout entier \(k\),
   \[2\sin\dfrac{x}{2}\cos(kx) = \sin((k+\dfrac{1}{2})x) – \sin((k-\dfrac{1}{2})x).\]
   (1 point)
2. Déduisez-en par télescopage une expression de \(C_n\), puis démontrez que
   \[C_n = \dfrac{\sin\dfrac{(n+1)x}{2}\cos\dfrac{nx}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}.\]
   (1,5 point)
3. Soit \(n \geq\, 1\). Démontrez que \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \cos\dfrac{2k\pi}{n+1} = 0\). (0,5 point)
4. On suppose maintenant \(x \notin \pi\mathbb{Z}\). Démontrez que
   \[\sum_{k=0}^{n} \cos^2(kx) = \dfrac{n+1}{2} + \dfrac{\sin((n+1)x)\cos(nx)}{2\sin x}.\]
   (1 point)

Réviser avant le contrôle : sommes, binôme et formules de trigonométrie

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Sommes, produits et inégalités » en maths sup et « Trigonométrie » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés sommes, produits et inégalités, trigonométrie.

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