Ce QCM vérifie les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 1 à coefficients variables et d’ordre 2 à coefficients constants, telles qu’on les rencontre aussi en physique. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Équations différentielles linéaires - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelles sont les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \(y' + 2xy = 0\) ?
A\(x \mapsto C e^{-2x}\), \(C \in \mathbb{R}\)
B\(x \mapsto e^{-x^2} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
C\(x \mapsto C e^{-x^2}\), \(C \in \mathbb{R}\)
D\(x \mapsto C e^{x^2}\), \(C \in \mathbb{R}\)
Question 2
Quelle fonction est une solution particulière de \(y' + y = x\) ?
A\(x \mapsto x\)
B\(x \mapsto x + 1\)
C\(x \mapsto \frac{x^2}{2}\)
D\(x \mapsto x - 1\)
Question 3
Quelles sont les solutions réelles de \(y'' - 2y' + y = 0\) ?
A\(x \mapsto A e^{x}\), \(A \in \mathbb{R}\)
B\(x \mapsto A e^{x} + B e^{-x}\), \(A, B \in \mathbb{R}\)
C\(x \mapsto (A + Bx)e^{x}\), \(A, B \in \mathbb{R}\)
D\(x \mapsto (A + Bx)e^{-x}\), \(A, B \in \mathbb{R}\)
Question 4
Quelles sont les solutions réelles de \(y'' + 2y' + 5y = 0\) ?
A\(x \mapsto e^{-2x}(A\cos x + B\sin x)\)
B\(x \mapsto e^{-x}(A\cos x + B\sin x)\)
C\(x \mapsto e^{-x}(A\cos 2x + B\sin 2x)\)
D\(x \mapsto e^{x}(A\cos 2x + B\sin 2x)\)
Question 5
Laquelle de ces fonctions est solution de \(y'' + y = \cos x\) ?
A\(x \mapsto \frac{1}{2}\cos x\)
B\(x \mapsto x\sin x\)
C\(x \mapsto \frac{x}{2}\cos x\)
D\(x \mapsto \frac{x}{2}\sin x\)
Question 6
Quelle fonction est une solution particulière de \(y'' - 3y' + 2y = e^{x}\) ?
A\(x \mapsto \frac{1}{2}e^{x}\)
B\(x \mapsto -x e^{x}\)
C\(x \mapsto x e^{x}\)
D\(x \mapsto -e^{x}\)
Question 7
Quelle est la solution du problème de Cauchy \(y'' + y = 0\), \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 1\) ?
A\(x \mapsto \cos x + \sin x\)
B\(x \mapsto \cos x - \sin x\)
C\(x \mapsto e^{x}\)
D\(x \mapsto \cos x\)
Question 8
Par variation de la constante, quelles sont les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(y' + y = e^{-x}\) ?
Soit \(a\) continue sur un intervalle \(I\). Quelle est la structure de l’ensemble des solutions sur \(I\) de \(y' + a(x)y = 0\) ?
Aune droite affine ne passant pas par la fonction nulle
Bune droite vectorielle
Cun singleton
Dun plan vectoriel
Question 10
Quelle fonction est une solution particulière de \(y'' + y = 1 + e^{x}\) ?
A\(x \mapsto 1 + \frac{x}{2}e^{x}\)
B\(x \mapsto 1 + e^{x}\)
C\(x \mapsto x + \frac{1}{2}e^{x}\)
D\(x \mapsto 1 + \frac{1}{2}e^{x}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de équations différentielles linéaires en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la structure des solutions : solution particulière + solutions homogènes ;
la variation de la constante à l’ordre 1 ;
l’équation caractéristique et ses trois cas (racines réelles distinctes, double, complexes) ;
les seconds membres polynôme, exponentielle et \(B\cos(\omega x)\), y compris le cas de résonance ;
le problème de Cauchy et le principe de superposition.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : chercher une solution particulière de la forme \(a e^{\lambda x}\) quand \(\lambda\) est racine de l’équation caractéristique. Il faut alors multiplier par \(x\) (racine simple) ou par \(x^2\) (racine double).
Comment réviser avant de refaire le test
Écrivez toujours l’équation homogène et l’équation caractéristique avant de chercher une solution particulière : c’est la position de \(\lambda\) par rapport aux racines qui dicte la forme à essayer. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi faut-il que \(a\) et \(b\) soient continues ?
Pour \(y’ + a(x)y = b(x)\), la continuité de \(a\) et \(b\) sur un intervalle garantit l’existence d’une primitive de \(a\) et donc la formule des solutions, ainsi que l’existence et l’unicité pour le problème de Cauchy.
Comment obtenir des solutions réelles quand les racines sont complexes ?
Si \(r = \alpha \pm i\beta\) avec \(\beta \neq 0\), les solutions réelles sont \(e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)\) : on prend les parties réelle et imaginaire de \(e^{rx}\).
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