Contrôle de maths sup : hyperplans, matrices et changements de base

Exercice 1 : Question de cours sur la trace (3,5 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) et \(n \geq\, 1\).

1. Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\). Démontrez que \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\). (1 point)
2. Déduisez-en que deux matrices semblables ont la même trace. (0,5 point)
3. Montrez qu’il n’existe pas de matrices \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB – BA = I_n\). (1 point)
4. Soit \(p\) un projecteur d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie. Montrez que \(\operatorname{tr} p = \operatorname{rg} p\). (1 point)

Exercice 2 : Formes linéaires et hyperplans de R4 (4 points)

Dans \(E = \mathbb{R}^4\), on considère les formes linéaires \(\varphi(x, y, z, t) = x + y + z + t\) et \(\psi(x, y, z, t) = x – y + 2z\), puis \(H_1 = \operatorname{Ker} \varphi\) et \(H_2 = \operatorname{Ker} \psi\).

1. Justifiez que \(H_1\) est un hyperplan de \(E\) et donnez-en une base. (1 point)
2. Montrez que la droite \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0, 0))\) est un supplémentaire de \(H_1\). (0,5 point)
3. Déterminez une base de \(F = H_1 \cap H_2\) et sa dimension. (1,5 point)
4. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux formes linéaires non nulles sur un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, telles que \(\operatorname{Ker} \alpha = \operatorname{Ker} \beta\). Montrez qu’il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\beta = \lambda \alpha\). (1 point)

Exercice 3 : Équations linéaires et sous-espaces affines (3,5 points)

1. Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère les plans affines \(\mathcal{P}_1 : x + y + z = 2\) et \(\mathcal{P}_2 : x – y + 2z = 1\). Montrez que \(\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2\) est une droite affine dont vous donnerez un point et un vecteur directeur. (1,5 point)
2. Soit \(u : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}_3[X]\) définie par \(u(P) = P – P^{\prime}\). Montrez que \(u\) est un automorphisme, puis résolvez l’équation \(u(P) = X^3\). (1 point)
3. Décrivez l’ensemble \(\mathcal{S}\) des \(P \in \mathbb{R}_3[X]\) tels que \(P^{\prime\prime} = 6X\) comme un sous-espace affine : donnez un point, la direction et la dimension. (1 point)

Exercice 4 : Changement de base et puissances d’une matrice (4,5 points)

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)\) est

\[A = \begin{pmatrix} 2 1 1 \\ 1 2 1 \\ 1 1 2 \end{pmatrix}.\]

On pose \(\varepsilon_1 = (1, 1, 1)\), \(\varepsilon_2 = (1, -1, 0)\) et \(\varepsilon_3 = (0, 1, -1)\).

1. Montrez que \(\mathcal{B}^{\prime} = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et écrivez la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\). (0,5 point)
2. Calculez \(f(\varepsilon_1)\), \(f(\varepsilon_2)\), \(f(\varepsilon_3)\), puis la matrice \(D\) de \(f\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). (1 point)
3. Calculez \(P^{-1}\) en résolvant un système linéaire. (1 point)
4. Justifiez que \(A = PDP^{-1}\), puis montrez que, pour tout entier \(k \geq\, 0\), \(A^k = I_3 + \dfrac{4^k – 1}{3} J\), où \(J\) est la matrice dont tous les coefficients valent 1. (1 point)
5. Vérifiez que \(\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} D\), puis déterminez le rang de \(A – I_3\). (0,5 point)
6. Soit \(q\) le projecteur sur \(\operatorname{Vect}(\varepsilon_1)\) parallèlement à \(\operatorname{Vect}(\varepsilon_2, \varepsilon_3)\). Montrez que sa matrice dans \(\mathcal{B}\) est \(\dfrac{1}{3} J\) et vérifiez le résultat de l’exercice 1 d). (0,5 point)

Exercice 5 : Matrices de rang 1 et similitude (4,5 points)

Soit \(n \geq\, 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) de rang 1. On note \(J_1\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) dont le seul coefficient non nul est le coefficient \((1, 1)\), égal à 1, et \(E_{12}\) celle dont le seul coefficient non nul est le coefficient \((1, 2)\), égal à 1.

1. En utilisant le fait que \(A\) est équivalente à \(J_1\), montrez qu’il existe deux matrices colonnes non nulles \(X, Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) telles que \(A = X Y^{\top}\). (1 point)
2. Montrez que \(Y^{\top} X = \operatorname{tr} A\) (en identifiant une matrice de taille \(1 \times 1\) à un scalaire), puis que \(A^2 = (\operatorname{tr} A)\, A\). (1 point)
3. On suppose \(\operatorname{tr} A \neq 0\). Montrez que \(\dfrac{1}{\operatorname{tr} A} A\) est la matrice d’un projecteur, puis que \(A\) est semblable à \((\operatorname{tr} A)\, J_1\). (1,5 point)
4. On suppose \(\operatorname{tr} A = 0\). Montrez que \(A\) est semblable à \(E_{12}\). Concluez : deux matrices de rang 1 de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) sont semblables si et seulement si elles ont la même trace. (1 point)

Réviser avant le contrôle : hyperplans, matrices et changements de base

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Hyperplans et sous-espaces affines » en maths sup et « Matrices et applications linéaires » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés hyperplans et sous-espaces affines, matrices et applications linéaires.

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