Ce QCM teste la boîte à outils calculatoire de MPSI : sommes et produits, binôme, sommes doubles, pivot de Gauss et inégalités sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Sommes, produits et inégalités - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), que vaut \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\) ?
A\(\frac{n}{n+1}\)
B\(\frac{n+1}{n+2}\)
C\(\frac{1}{n+1}\)
D\(1 - \frac{1}{n}\)
Question 2
Que vaut \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2\) ?
A\(\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\)
B\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
C\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}\)
D\(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
Question 3
Pour \(n \in \mathbb{N}\), que vaut \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k\) ?
A\(n\,2^{n-1}\)
B\(2^n\)
C\(4^n\)
D\(3^n\)
Question 4
Comment s’écrit la somme triangulaire \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{i,j}\) après interversion ?
Que vaut \(\displaystyle\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \min(i, j)\) ?
A\(\frac{n^2(n+1)}{2}\)
B\(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
C\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
D\(\frac{n(n+1)}{2}\)
Question 6
Pour \(n \geqslant 1\), quelle factorisation de \(a^n - b^n\) est correcte ?
A\((a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k}\)
B\((a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}\)
C\((a-b)\sum_{k=0}^{n} a^k b^{n-k}\)
D\((a+b)\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k a^k b^{n-1-k}\)
Question 7
Quelle est la solution du système \(x + y + z = 6\), \(x - y + z = 2\), \(2x + y - z = 1\) ?
A\((x, y, z) = (1, 3, 2)\)
B\((x, y, z) = (2, 1, 3)\)
C\((x, y, z) = (1, 2, 3)\)
D\((x, y, z) = (3, 2, 1)\)
Question 8
Quel est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x - 1| + |x + 2| \leqslant 5\) ?
A\(\left]-3, 2\right[\)
B\([-3, 2]\)
C\([-2, 1]\)
D\([-3, 3]\)
Question 9
Laquelle de ces égalités est vraie pour tout réel \(x\) et tout entier relatif \(n\) ?
A\(\lfloor -x \rfloor = -\lfloor x \rfloor\)
B\(\lfloor n x \rfloor = n \lfloor x \rfloor\)
C\(\lfloor 2x \rfloor = 2 \lfloor x \rfloor\)
D\(\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n\)
Question 10
Soit \(A = \left\{1 - \frac{1}{n},\ n \in \mathbb{N}^*\right\}\). Quelle affirmation est vraie ?
A\(\sup A = 1\) et \(A\) n’a pas de plus petit élément
B\(A\) admet \(1\) pour plus grand élément
C\(A\) n’est pas majorée
D\(\sup A = 1\) et \(A\) n’a pas de plus grand élément
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de sommes, produits et inégalités en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les sommes télescopiques et les sommes usuelles \(\sum k\), \(\sum k^2\) ;
la formule du binôme et ses conséquences sur les coefficients binomiaux ;
l’interversion d’une somme double ou triangulaire ;
la factorisation de \(a^n – b^n\) et la résolution d’un système par pivot ;
les inéquations avec valeurs absolues et la partie entière.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique dans une somme triangulaire : intervertir \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}\) en gardant les mêmes bornes. Il faut redessiner le triangle d’indices \(1 \leq\, i \leq\, j \leq\, n\) et lire les nouvelles bornes \(1 \leq\, i \leq\, j\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour chaque formule obtenue, testez-la avec \(n = 1\) et \(n = 2\) avant de continuer : cette vérification de dix secondes élimine la plupart des erreurs d’indice ou de signe. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
On cherche à écrire le terme général sous la forme \(a_{k+1} – a_k\), souvent grâce à une décomposition en éléments simples comme \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac1k – \frac{1}{k+1}\). Il ne reste alors que le premier et le dernier terme.
La somme des \(k^2\) est-elle exigible par cœur ?
Oui : \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) est à connaître, ainsi que sa démonstration par récurrence ou par télescopage de \((k+1)^3 – k^3\).
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