Ce QCM de maths sup vérifie les bases des espaces vectoriels : sous-espaces, sous-espace engendré, familles libres et génératrices, bases, sommes directes et sous-espaces supplémentaires. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces vectoriels, familles libres et génératrices du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Espaces vectoriels - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Laquelle des parties suivantes de \(\mathbb{R}^3\) est un sous-espace vectoriel ?
A\(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + 2y - z = 0\}\)
B\(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : xy = 0\}\)
C\(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + 2y - z = 1\}\)
D\(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x \geqslant 0\}\)
Question 2
Laquelle des parties suivantes de \(\mathbb{R}[X]\) est un sous-espace vectoriel ?
Al’ensemble des polynômes de degré exactement \(3\)
Bl’ensemble des polynômes \(P\) tels que \(P(1) = 0\)
Cl’ensemble des polynômes \(P\) tels que \(P(0) = 1\)
Dl’ensemble des polynômes unitaires
Question 3
Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). La réunion \(F \cup G\) est un sous-espace vectoriel si et seulement si :
A\(F \subset G\) ou \(G \subset F\)
B\(F\) et \(G\) sont supplémentaires
C\(F \cap G = \{0\}\)
D\(F + G = E\)
Question 4
Pour quelle valeur du réel \(a\) la famille \(\left((1,1,0), (1,0,1), (0,1,a)\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) est-elle liée ?
A\(a = -1\)
B\(a = 2\)
C\(a = 0\)
D\(a = 1\)
Question 5
Dans \(\mathbb{R}^2\), on considère trois droites vectorielles distinctes \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\). Laquelle des affirmations est vraie ?
Ala somme est directe, puisque \(D_i \cap D_j = \{0\}\) pour \(i \neq j\)
B\(D_i \cap D_j = \{0\}\) pour \(i \neq j\), mais la somme \(D_1 + D_2 + D_3\) n’est pas directe
C\(D_1 + D_2 + D_3 = \mathbb{R}^2\) et cette somme est directe
D\(D_1 + D_2\) est une droite, distincte de \(\mathbb{R}^2\)
Question 6
Dans \(M_2(\mathbb{R}) = S_2(\mathbb{R}) \oplus A_2(\mathbb{R})\), quelle est la composante symétrique de \(M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) ?
A\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)
Question 7
Quelles sont les coordonnées de \(X^2\) dans la base \(\left(1, X-1, (X-1)^2\right)\) de \(\mathbb{R}_2[X]\) ?
A\((1, 1, 1)\)
B\((1, -2, 1)\)
C\((0, 0, 1)\)
D\((1, 2, 1)\)
Question 8
Une famille \((e_1, \dots, e_p)\) de \(E\) est libre lorsque :
Atout vecteur de \(E\) est combinaison linéaire des \(e_i\)
Baucun des vecteurs \(e_i\) n’est le vecteur nul
Cles vecteurs \(e_i\) sont deux à deux non colinéaires
Dtoute combinaison linéaire nulle des \(e_i\) a tous ses coefficients nuls
Question 9
Dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\), la famille \(\left(x \mapsto \cos x,\ x \mapsto \sin x,\ x \mapsto \cos(x+1)\right)\) est :
Alibre, car ses trois fonctions sont distinctes
Bgénératrice de l’espace \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\)
Cliée, car \(\cos(x+1)\) se développe en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\)
Dlibre, car ses vecteurs sont deux à deux non colinéaires
Question 10
Quelle famille est une base de \(F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y = 0,\ z - t = 0\}\) ?
A\(\left((1,-1,1,1)\right)\)
B\(\left((1,-1,0,0), (0,0,1,1)\right)\)
C\(\left((1,-1,0,0), (0,0,1,-1)\right)\)
D\(\left((1,1,0,0), (0,0,1,1)\right)\)
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de espaces vectoriels en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la caractérisation d’un sous-espace vectoriel (non vide, stable par combinaison linéaire) ;
les définitions exactes de famille libre, famille génératrice et base ;
les familles de polynômes à degrés échelonnés et les coordonnées dans une base ;
la somme directe de deux sous-espaces et le critère \(F \cap G = \{0\}\) ;
les supplémentaires classiques, comme matrices symétriques et antisymétriques.
L’erreur la plus fréquente
Le critère \(F \cap G = \{0\}\) caractérise une somme directe de deux sous-espaces seulement. Pour trois sous-espaces, des intersections deux à deux nulles ne suffisent pas : trois droites distinctes du plan en sont le contre-exemple.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer qu’une partie est un sous-espace, cherchez d’abord à l’écrire comme un noyau ou un Vect : c’est souvent plus rapide que de vérifier la stabilité à la main. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Une famille dont les vecteurs sont deux à deux non colinéaires est-elle libre ?
Non. Dans \(\mathbb{R}^2\), \((1,0)\), \((0,1)\) et \((1,1)\) sont deux à deux non colinéaires mais liés. Ce critère ne vaut que pour une famille de deux vecteurs.
La réunion de deux sous-espaces est-elle un sous-espace ?
Seulement si l’un est inclus dans l’autre. Le bon objet est la somme \(F + G\), plus petit sous-espace contenant \(F \cup G\).
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «espaces vectoriels : QCM de maths sup» au format PDF.
