Ce que vous trouverez dans ce livre
- 685 exercices sur 32 chapitres, de l'application directe au problème de synthèse
- Chaque chapitre contient au moins un problème long, guidé question après question
- Des encarts Point de méthode dans les corrigés pour retenir la démarche réutilisable
Chaque chapitre du livre suit le même plan : tous les énoncés d'abord, tous les corrigés ensuite. Sous le titre de chaque exercice, un renvoi donne la page de sa solution, et chaque solution indique en retour la page de l'énoncé. Vous cherchez donc au brouillon sans voir la réponse, puis vous retrouvez la correction en un instant. Les solutions détaillent chaque étape, signalent le raisonnement à réutiliser et s'appuient, quand c'est utile, sur une figure.
La difficulté monte au fil de chaque chapitre. En arithmétique, on part de la division euclidienne pour arriver aux nombres de Mersenne et au principe du RSA. Les suites mènent à la moyenne arithmético-géométrique et à la méthode de Héron, les séries à une forme faible de la formule de Stirling. Côté algèbre, on croise la matrice de Pascal, les polynômes de Legendre et l'équation de Pell-Fermat ; côté probabilités, le paradoxe des anniversaires et un test de dépistage.
Pour qui ?
Conçu pour l'élève de MPSI ou MP2I désireux de s'entraîner chaque semaine sur des sujets variés et vérifier leur rédaction, avant une colle comme avant un devoir surveillé.
Le programme, chapitre par chapitre
Pour chaque chapitre, le nombre d'exercices corrigés et quelques-uns de leurs thèmes.
| Chapitre | Quelques exercices | Nombre |
|---|---|---|
| Premier semestre | ||
| 1Logique, ensembles, applications et relations | Négation de propositions quantifiées · Ordre des quantificateurs · Implication, réciproque et contraposée · Raisonnements par l'absurde · Disjonction des cas | 25 ex. |
| 2Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités | Manipulation des symboles Σ et Π · Sommes et produits télescopiques · Changements d'indice et regroupements · Sommes usuelles et télescopage · Somme géométrique et factorisation de a^n − b^n | 23 ex. |
| 3Trigonométrie et fonctions circulaires | Valeurs remarquables et angles associés · Mesures d'angles modulo 2π · Retrouver les formules à partir de l'addition · Valeurs exactes par addition et duplication · Équations trigonométriques élémentaires | 20 ex. |
| 4Nombres complexes et exponentielle complexe | Calculs sous forme algébrique · Forme trigonométrique et valeurs exactes · Racines carrées sous forme algébrique · Équations du second degré à coefficients · Module, conjugaison et inégalité triangulaire | 19 ex. |
| 5Fonctions usuelles et techniques de dérivation | Ensembles de définition, parité et périodicité · Transformations du graphe du logarithme · Fonctions monotones et fonctions bornées · Calculs de dérivées · Dérivée d'une fonction réciproque | 22 ex. |
| 6Primitives et calcul intégral | Primitives usuelles · Reconnaître la dérivée d'une composée · Intégrales calculées par primitives · Fonctions définies par une intégrale · Premières intégrations par parties | 20 ex. |
| 7Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 | Équations homogènes du premier ordre · Seconds membres usuels au premier ordre · Un problème de Cauchy du premier ordre · Variation de la constante · Coefficients variables et dérivée d'un produit | 21 ex. |
| 8Nombres réels et suites numériques | Nombres irrationnels · Partie entière et approximations décimales · Bornes d'ensembles de réels · Bornes supérieures et opérations · Intervalles et droite achevée | 21 ex. |
| 9Suites particulières et suites récurrentes | Suites arithmétiques et géométriques · Terme général d'une suite arithmético- géométrique · Évolution d'un stock · Nombre d'itérations pour une précision donnée · Récurrence linéaire à racines distinctes | 20 ex. |
| 10Limites et continuité des fonctions | Limites par encadrement et par composition · Limites à gauche et à droite · Absence de limite par la caractérisation · Prolongements par continuité · Fonctions croissantes et sauts | 20 ex. |
| 11Dérivabilité et convexité | Dérivabilité en un point délicat · Limites et tangentes par le nombre dérivé · Dérivée d'une bijection réciproque · Extremums locaux et points critiques · Théorème de Rolle et racines d'un polynôme | 21 ex. |
| 12Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs | Division euclidienne et carrés modulo 8 · Divisibilité par récurrence · PGCD par l'algorithme d'Euclide · Algorithme d'Euclide étendu · Existence de solutions de ax + by = c | 23 ex. |
| 13Structures algébriques usuelles : groupes, anneaux, corps | Propriétés de lois de composition usuelles · Parties stables · Les groupes U, Un, C* et R*+ · Montrer qu'une partie est un sous-groupe · Intersection et réunion de sous-groupes | 23 ex. |
| 14Calcul matriciel et systèmes linéaires | Produits de matrices et non-commutativité · Produits de matrices élémentaires · Transposée d'un produit · Système de Cramer par le pivot de Gauss · Système homogène associé et compatibilité | 22 ex. |
| 15Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation | Degré, coefficient dominant et composition · Deux divisions euclidiennes · Restes par évaluation · Racine évidente et factorisation · Méthode de Horner et changement de variable | 23 ex. |
| 16Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles | PGCD par l'algorithme d'Euclide · Relation de Bézout et ses solutions · Un polynôme et sa dérivée · PGCD de X^m − 1 et X^n − 1 · PPCM de deux polynômes | 21 ex. |
| Second semestre | ||
| 17Relations de comparaison : domination, équivalents | Limites par équivalents usuels · Croissances comparées écrites avec o · Équivalents de polynômes et de fractions · Comparer des suites avec o et O · Vrai ou faux sur les règles de calcul | 21 ex. |
| 18Développements limités et étude locale | DL usuels et combinaisons linéaires · Formule de Taylor-Young et tangente · DL en un point quelconque · DL et dérivabilité · Parité et unicité du développement limité | 20 ex. |
| 19Espaces vectoriels, familles libres et génératrices | Reconnaître des sous-espaces de R³ · Sous-espaces de polynômes et de suites · Sous-espaces de fonctions · Appartenance à un sous-espace engendré · Familles libres ou liées de R³ | 23 ex. |
| 20Espaces vectoriels de dimension finie | Base et dimension d'un sous-espace de R4 · Trois vecteurs de R3 · Rang d'une famille de quatre vecteurs · Compléter une famille libre de R4 · Égalité de deux sous-espaces par la dimension | 23 ex. |
| 21Applications linéaires et théorème du rang | Reconnaître une application linéaire · Noyau et image dans R3 · Un endomorphisme de R2[X] · Un projecteur du plan · Une symétrie du plan | 22 ex. |
| 22Formes linéaires, hyperplans et sous-espaces affines | Reconnaître des formes linéaires · Formes coordonnées d'une base de l'espace · Équation d'un plan vectoriel · Base d'un hyperplan de dimension trois · Translations et sous-espaces affines | 19 ex. |
| 23Matrices, changements de base, rang et trace | Matrice d'une application linéaire et d'une famille · Matrice de la dérivation · Translation de la variable dans les polynômes · Réflexion et rotation du plan · Isomorphisme entre applications linéaires et | 22 ex. |
| 24Groupe symétrique et déterminants | Décomposition d'une permutation de S9 · Composée, inverse et signature dans S5 · Conjugaison d'un cycle · Parties génératrices du groupe symétrique · Morphismes du groupe symétrique vers C* | 23 ex. |
| 25Intégration sur un segment | Continuité uniforme et théorème de Heine · Intégrales de fonctions en escalier · Encadrement de la fonction carré par des fonctions · Partie entière et partie fractionnaire · Majorations d'intégrales | 20 ex. |
| 26Séries numériques | Sommes partielles et séries télescopiques · Divergence grossière · Séries géométriques et série exponentielle · Comparaison avec les séries de Riemann · Nature par équivalents | 22 ex. |
| 27Familles sommables | Calculs dans [0, +∞] · Famille géométrique double · Permutation des termes · Sommabilité par un calcul positif · Familles de Riemann doubles | 18 ex. |
| 28Dénombrement | Codes à quatre chiffres · Langues vivantes dans une classe · Anagrammes du mot BANANE · Mains de cinq cartes · Applications entre deux petits ensembles | 21 ex. |
| 29Probabilités sur un univers fini et variables aléatoires | Univers, événements et système complet · Construction d'une probabilité sur un univers fini · Tirages simultanés et probabilité uniforme · Paradoxe des anniversaires · Somme de deux dés et événements {X ∈ A} | 23 ex. |
| 30Espérance, variance et inégalités probabilistes | Espérance et variance à partir d'une loi · Loi à paramètre et formule de transfert · Transformation affine et variable centrée réduite · Loi uniforme sur un intervalle d'entiers · Moments de la loi binomiale par le calcul direct | 22 ex. |
| 31Espaces préhilbertiens réels | Produits scalaires sur R² · Un produit scalaire intégral sur les polynômes · Produit scalaire canonique sur les matrices · Identités de polarisation et du parallélogramme · Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R^n | 21 ex. |
| 32Fonctions de deux variables | Calcul de dérivées partielles et de gradients · Ouverts du plan · Continuité en l'origine · Lignes de niveau et surface en selle · Plan tangent et approximation affine | 21 ex. |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Chercher seul
Prenez un exercice, un brouillon et un temps limité, sans ouvrir le cours : c'est la condition d'un vrai entraînement.
Suivre le renvoi
La page du corrigé figure sous chaque titre d'énoncé ; le corrigé, lui, renvoie à son énoncé si vous voulez relire la question.
Noter la méthode
Recopiez dans un carnet les Points de méthode des corrigés, comme l'argument diagonal ou le calcul mené séparément modulo chaque facteur.
Refaire plus tard
Quelques jours après, reprenez seul l'exercice manqué. Gardez pour la fin le problème du chapitre, plus long et plus proche d'un sujet d'écrit.
Questions des étudiants
Combien d'exercices ce recueil de maths sup propose-t-il ?
Il en compte 685, répartis sur 32 chapitres, soit entre 18 et 25 par chapitre. Chacun possède son corrigé rédigé, et plusieurs chapitres comptent deux problèmes de synthèse.
Où se trouvent les corrigés par rapport aux énoncés ?
Dans le même chapitre, juste après la série complète des énoncés. Un double renvoi de pages relie chaque exercice à sa solution, ce qui évite de tomber par mégarde sur la réponse.
Peut-on s'en servir pour préparer colles et concours ?
Ils y aident : les corrigés soulignent les démarches qui reviennent souvent aux concours, et les problèmes de synthèse, comme celui sur les polynômes de Tchebychev, entraînent à enchaîner les questions comme à l'écrit.
Les chapitres d'algèbre linéaire sont-ils bien fournis ?
Oui : six chapitres, des familles libres aux déterminants, rassemblent plus de 130 exercices, avec par exemple une récurrence linéaire d'ordre 3, l'opérateur de différence ou la comatrice d'un produit.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
Dès que PayPal a validé le règlement : l'espace de téléchargement s'affiche aussitôt, et un courriel vous en donne l'adresse pour y revenir plus tard.
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