Contrôle de maths sup : limites, continuité et valeurs intermédiaires

Exercice 1 : Théorème de la bijection continue (4 points)

Calculatrice interdite. Durée conseillée : 2 heures. Les résultats sur la dérivabilité ne sont pas autorisés dans ce devoir.

1. Énoncez le théorème de la bijection continue pour une fonction définie sur un intervalle \(I\). (1 point)
2. Soit \(f\) continue et strictement croissante sur un intervalle \(I\). En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, démontrez que \(f(I)\) est un intervalle, puis que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\). (1,5 point)
3. Démontrez que la bijection réciproque \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \(f(I)\). (1 point)
4. Application : justifiez que \(g : x \mapsto x + e^x\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\), puis donnez la valeur de \(g^{-1}(1)\). (0,5 point)

Exercice 2 : Caractérisation séquentielle de la limite (4 points)

1. Démontrez que la fonction \(x \mapsto \sin(\dfrac{1}{x})\), définie sur \(\mathbb{R}^*\), n’admet pas de limite en \(0\). (1,5 point)
2. On note \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) la fonction qui vaut \(1\) sur \(\mathbb{Q}\) et \(0\) sur \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Démontrez qu’elle n’admet de limite en aucun point \(a \in \mathbb{R}\). (1,5 point)
3. Démontrez en revanche que \(x \mapsto x\sin(\dfrac{1}{x})\) admet une limite en \(0\), que vous préciserez. (1 point)

Exercice 3 : Prolongements par continuité (3 points)

1. Montrez que \(f : x \mapsto \dfrac{\sqrt{1 + x} – 1}{x}\), définie sur \([-1, 0[ \cup ]0, +\infty[\), se prolonge par continuité en \(0\). (1 point)
2. Montrez que \(g : x \mapsto x \lfloor \dfrac{1}{x} \rfloor\), définie sur \(]0, +\infty[\), se prolonge par continuité en \(0\). (1 point)
3. Montrez que \(h : x \mapsto \lfloor x \rfloor + \sqrt{x – \lfloor x \rfloor}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (1 point)

Exercice 4 : Valeurs intermédiaires et bornes atteintes (4 points)

1. Soit \(f : [0, 1] \to [0, 1]\) continue. Montrez que \(f\) admet un point fixe. (1 point)
2. Soit \(f\) continue sur \([0, 1]\) telle que \(f(0) = f(1)\). Montrez qu’il existe \(c \in [0, \dfrac{1}{2}]\) tel que \(f(c + \dfrac{1}{2}) = f(c)\). (1,5 point)
3. Soit \(f\) continue sur un segment \([a, b]\) et strictement positive. Montrez qu’il existe \(m > 0\) tel que \(f(x) \geq\, m\) pour tout \(x \in [a, b]\). (0,5 point)
4. Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x) \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\) et quand \(x \to -\infty\). Montrez que \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\). (1 point)

Exercice 5 : Problème – l’équation fonctionnelle de Cauchy (5 points)

On cherche les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continues telles que, pour tous réels \(x\) et \(y\) :

\[f(x + y) = f(x) + f(y).\]

Soit \(f\) une telle fonction. On pose \(a = f(1)\).

1. Montrez que \(f(0) = 0\) et que \(f\) est impaire. (0,5 point)
2. Montrez que \(f(nx) = n f(x)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) et tout \(x \in \mathbb{R}\). (1 point)
3. Déduisez-en que \(f(r) = ar\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\). (1 point)
4. En utilisant la densité de \(\mathbb{Q}\) et la caractérisation séquentielle de la continuité, montrez que \(f(x) = ax\) pour tout réel \(x\). Concluez. (1 point)
5. Montrez qu’une fonction vérifiant la relation fonctionnelle et continue en \(0\) seulement est en fait continue sur \(\mathbb{R}\). (0,5 point)
6. Déterminez toutes les fonctions \(g : \mathbb{R} \to ]0, +\infty[\) continues telles que \(g(x + y) = g(x)g(y)\) pour tous réels \(x, y\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : limites, continuité et valeurs intermédiaires

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Limites et continuité » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés limites et continuité.

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