Voici le corrigé du contrôle de maths de 3ème sur le thème : volumes, agrandissements et réductions.
Cette correction reprend chaque calcul comme sur une copie de brevet : la formule est écrite, puis les valeurs remplacées, puis le résultat exact et son arrondi avec l’unité. Pour les objets composés, on calcule le volume de chaque solide avant de les additionner.
Dans les exercices de réduction, on détermine d’abord le coefficient \(k\) à partir de deux longueurs correspondantes, puis on l’élève au carré pour les aires et au cube pour les volumes. Le verre conique montre qu’un verre rempli aux deux tiers de sa hauteur contient bien moins que les deux tiers de sa contenance.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 3ème : volumes, agrandissements et réductions.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes : conversions et formules | 4 points |
| Exercice 2 : Le silo à grains | 4 points |
| Exercice 3 : La boîte de balles de tennis | 3 points |
| Exercice 4 : La maquette du château d’eau | 4 points |
| Exercice 5 : Le verre à cocktail | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes : conversions et formules (4 points)
On utilise \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}\), \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3\) et \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\).
- \(2{,}5\text{ dm}^3 = 2{,}5\text{ L}\).
- \(750 : 1\,000 = 0{,}75\) : \(750\text{ cm}^3 = 0{,}75\text{ L}\).
- \(1{,}2 \times 1\,000 = 1\,200\) : \(1{,}2\text{ m}^3 = 1\,200\text{ L}\).
- \(0{,}35 \times 1\,000 = 350\) : \(0{,}35\text{ L} = 350\text{ cm}^3\).
- \(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\) : \(64\text{ cm}^3\).
- Aire de la base : \(\dfrac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2\), puis \(6 \times 10 = 60\) : \(60\text{ cm}^3\).
- \(\dfrac{6^2 \times 5}{3} = \dfrac{36 \times 5}{3} = \dfrac{180}{3} = 60\) : \(60\text{ cm}^3\).
- \(\pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi\) : \(20\pi\text{ cm}^3\).
Barème : 0,5 point par réponse exacte avec l’unité, soit 8 × 0,5 = 4 points.
Exercice 2 : Le silo à grains (4 points)
- Volume d’un cylindre : \(V = \pi r^2 \times h\).
\(V_1 = \pi \times 3^2 \times 8 = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi \approx 226{,}2\).
La partie cylindrique a un volume de \(72\pi\text{ m}^3\), soit environ \(226{,}2\text{ m}^3\). - Volume d’un cône : \(V = \dfrac{\pi r^2 \times h}{3}\).
\(V_2 = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 2}{3} = \dfrac{18\pi}{3} = 6\pi \approx 18{,}8\).
La partie conique a un volume de \(6\pi\text{ m}^3\), soit environ \(18{,}8\text{ m}^3\). - \(V = 72\pi + 6\pi = 78\pi \approx 245{,}04\), donc \(V \approx 245\text{ m}^3\).
\(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}\), donc \(245 \times 1\,000 = 245\,000\).
Le silo a un volume d’environ \(245\text{ m}^3\), soit \(245\,000\text{ L}\).
Erreur fréquente : oublier de diviser par 3 pour le cône, ce qui donne \(18\pi\) au lieu de \(6\pi\).
Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour \(72\pi\), 0,5 point pour l’arrondi ; b) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour \(6\pi\), 0,5 point pour l’arrondi ; c) 0,5 point pour la somme arrondie, 0,5 point pour la conversion en litres.
Exercice 3 : La boîte de balles de tennis (3 points)
- \(V_{\text{balle}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 3{,}3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 35{,}937 = 47{,}916\pi \approx 150{,}5\).
Une balle a un volume d’environ \(150{,}5\text{ cm}^3\). - \(V_{\text{boîte}} = \pi \times 3{,}3^2 \times 19{,}8 = \pi \times 10{,}89 \times 19{,}8 = 215{,}622\pi \approx 677{,}4\).
La boîte a un volume d’environ \(677{,}4\text{ cm}^3\). - Volume des trois balles : \(3 \times 47{,}916\pi = 143{,}748\pi\).
\(\dfrac{143{,}748\pi}{215{,}622\pi} = \dfrac{143{,}748}{215{,}622} \approx 0{,}6667\), soit environ \(66{,}7\,\%\).
Les balles occupent environ \(66{,}7\,\%\) du volume de la boîte, c’est-à-dire les deux tiers.
Erreur fréquente : calculer avec des valeurs trop arrondies. Garder les valeurs exactes avec \(\pi\) permet de simplifier : \(\dfrac{3 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2 \times 6r} = \dfrac{4\pi r^3}{6\pi r^3} = \dfrac{2}{3}\), quel que soit le rayon.
Barème : a) 0,5 point pour la formule appliquée, 0,5 point pour l’arrondi ; b) 0,5 point pour la formule appliquée, 0,5 point pour l’arrondi ; c) 0,5 point pour le quotient, 0,5 point pour le pourcentage.
Exercice 4 : La maquette du château d’eau (4 points)
La maquette est une réduction de coefficient \(k = \dfrac{1}{50}\).
- \(15\text{ m} = 1\,500\text{ cm}\) et \(1\,500 \times \dfrac{1}{50} = 30\).
La maquette mesure \(30\text{ cm}\) de haut. - Les aires sont multipliées par \(k^2 = \dfrac{1}{2\,500}\).
\(400 \times \dfrac{1}{2\,500} = 0{,}16\text{ m}^2\), et \(1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\), donc \(0{,}16 \times 10\,000 = 1\,600\).
La surface extérieure de la maquette mesure \(1\,600\text{ cm}^2\). - Les volumes de la maquette sont ceux du réel multipliés par \(k^3 = \dfrac{1}{125\,000}\) ; pour passer de la maquette au réel, on multiplie donc par \(50^3 = 125\,000\).
\(24 \times 125\,000 = 3\,000\,000\text{ dm}^3\), et \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3\), donc \(3\,000\,000 : 1\,000 = 3\,000\).
Le réservoir réel a un volume de \(3\,000\text{ m}^3\). - Les volumes sont multipliés par \(k^3 = 3^3 = 27\), pas par \(9\). L’affirmation est fausse.
Erreur fréquente : multiplier l’aire ou le volume par \(50\) comme une longueur. Seules les longueurs sont multipliées par \(k\).
Barème : a) 0,5 point pour la conversion, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour \(k^2\), 0,5 point pour le résultat en \(\text{cm}^2\) ; c) 0,5 point pour \(k^3\) ou \(50^3\), 0,5 point pour \(3\,000\,000\text{ dm}^3\), 0,5 point pour la conversion en \(\text{m}^3\) ; d) 0,5 point pour « faux » justifié par \(27\).
Exercice 5 : Le verre à cocktail (5 points)
- \(V = \dfrac{\pi \times OA^2 \times SO}{3} = \dfrac{\pi \times 6^2 \times 12}{3} = \dfrac{432\pi}{3} = 144\pi\).
\(144\pi \approx 452{,}4\).
Le verre a un volume de \(144\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(452\text{ cm}^3\). - \(k = \dfrac{SO^{\prime}}{SO} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\).
\(O^{\prime}A^{\prime} = \dfrac{2}{3} \times 6 = 4\).
Le coefficient de réduction est \(\dfrac{2}{3}\) et \(O^{\prime}A^{\prime} = 4\text{ cm}\). - Les volumes sont multipliés par \(k^3 = (\dfrac{2}{3})^3 = \dfrac{8}{27}\).
\(V_{\text{liquide}} = 144\pi \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{1\,152\pi}{27} = \dfrac{128\pi}{3} \approx 134{,}04\).
Vérification directe : \(\dfrac{\pi \times 4^2 \times 8}{3} = \dfrac{128\pi}{3}\).
Le volume de liquide est \(\dfrac{128\pi}{3}\text{ cm}^3\), soit environ \(134\text{ cm}^3\). - Le liquide occupe \(\dfrac{8}{27}\) du volume du verre, et \(\dfrac{8}{27} \approx 0{,}296\), soit environ \(30\,\%\), alors que \(\dfrac{2}{3} \approx 67\,\%\). On le voit aussi avec \(134 : 452 \approx 0{,}30\).
Zoé a tort : le verre ne contient qu’environ \(30\,\%\) de sa contenance.
Erreur fréquente : multiplier le volume par \(\frac{2}{3}\) au lieu de \((\frac{2}{3})^3\).
Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour \(144\pi\), 0,5 point pour l’arrondi ; b) 0,5 point pour \(k\), 0,5 point pour le rayon ; c) 0,5 point pour \(k^3\), 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi ; d) 0,5 point pour la comparaison chiffrée, 0,5 point pour la conclusion rédigée.
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Après le corrigé du contrôle : volumes, agrandissements et réductions
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