Corrigé du contrôle de maths 1ère : répétitions de Bernoulli et jeux de hasard

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(1 – 0{,}3\) : la probabilité d’un échec est \(0{,}7\).
2. \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{6}\), donc \(E(X) = \frac{1}{6}\).
3. \(V = p(1-p) = 0{,}2 \times 0{,}8\), donc \(V = 0{,}16\).
4. \(0{,}4 \times 0{,}4\) : \(0{,}16\).
5. \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) : \(\frac{1}{8}\).
6. Le succès peut être en position 1, 2 ou 3 : 3 chemins.
7. \(2 \times 2 \times 2 \times 2\) : 16 chemins.
8. \(1 – 0{,}1 \times 0{,}1 = 1 – 0{,}01\) : \(0{,}99\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte.

Exercice 2 : Trois tirs au but (5 points)

1. Chaque tir n’a que deux issues, succès \(S\) (but) ou échec \(\overline{S}\) : c’est une épreuve de Bernoulli. Les trois tirs se déroulent dans les mêmes conditions (même probabilité \(0{,}8\)) et sont indépendants.
   On répète trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre \(p = 0{,}8\).
2. Chaque branche \(S\) porte \(0{,}8\) et chaque branche \(\overline{S}\) porte \(0{,}2\) :

   

3. Un seul chemin : \(P(X=3) = 0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}8\), donc \(P(X=3) = 0{,}512\).
4. Les chemins à deux succès sont \(S S \overline{S}\), \(S \overline{S} S\) et \(\overline{S} S S\) : il y en a 3. Chacun a pour probabilité \(0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}64 \times 0{,}2 = 0{,}128\).
   \(P(X=2) = 3 \times 0{,}128\), donc \(P(X=2) = 0{,}384\).
5. Trois chemins à un succès, chacun de probabilité \(0{,}8 \times 0{,}2^2 = 0{,}032\) : \(P(X=1) = 3 \times 0{,}032 = 0{,}096\). Un chemin sans succès : \(P(X=0) = 0{,}2^3 = 0{,}008\).
   

   \(k\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   \(P(X=k)\)	\(0{,}008\)	\(0{,}096\)	\(0{,}384\)	\(0{,}512\)

   Vérification : \(0{,}008 + 0{,}096 + 0{,}384 + 0{,}512 = 1\).

6. \(E(X) = 0 \times 0{,}008 + 1 \times 0{,}096 + 2 \times 0{,}384 + 3 \times 0{,}512 = 0{,}096 + 0{,}768 + 1{,}536 = 2{,}4\).
   \(E(X) = 2{,}4\), qui est bien égal à \(3 \times 0{,}8\) : sur un grand nombre de séries de trois tirs, Nora marque en moyenne 2,4 buts.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point pour l’arbre entièrement pondéré ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour les 3 chemins, 0,5 point pour la probabilité d’un chemin, 0,5 point pour le résultat ; e) 0,5 point pour le tableau complet ; f) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la comparaison.

Erreur fréquente : donner \(P(X=2) = 0{,}128\) en oubliant qu’il y a trois chemins menant à deux succès.

Exercice 3 : Un QCM rempli au hasard (4 points)

1. Une réponse juste parmi trois : la probabilité est \(\frac{1}{3}\) (et celle d’une réponse fausse est \(\frac{2}{3}\)). L’arbre de quatre épreuves compte \(2^4 = 16\) chemins.
   Chemins à deux bonnes réponses : JJFF, JFJF, JFFJ, FJJF, FJFJ, FFJJ, soit 6 chemins.
2. Chacun de ces chemins a pour probabilité \((\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{81}\).
   \(P(N=2) = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81}\), donc \(P(N=2) = \frac{8}{27}\).
3. Un seul chemin FFFF : \(P(N=0) = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}\).
   « Au moins une bonne réponse » est l’événement contraire de « aucune bonne réponse » : \(P(N \geq\, 1) = 1 – \frac{16}{81}\), donc \(P(N \geq\, 1) = \frac{65}{81}\).
4. Trois bonnes réponses : 4 chemins (la réponse fausse est à l’une des quatre places), chacun de probabilité \((\frac{1}{3})^3 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{81}\), donc \(P(N=3) = \frac{8}{81}\).
   Quatre bonnes réponses : \(P(N=4) = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}\).
   \(P(N \geq\, 3) = \frac{8}{81} + \frac{1}{81} = \frac{9}{81}\), donc la probabilité de valider est \(\frac{1}{9}\), environ \(0{,}11\).

Barème : a) 0,5 point pour la probabilité et le nombre de chemins, 0,5 point pour la liste ; b) 0,5 point pour un chemin, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour \(P(N=0)\), 0,5 point pour l’événement contraire ; d) 0,5 point pour \(P(N=3)\), 0,5 point pour le résultat.

Exercice 4 : Tirer un cœur (3 points)

1. \(P(Y=1) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\) et \(P(Y=0) = \frac{3}{4}\).
   \(Y\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{4}\).
2. \(E(Y) = 0 \times \frac{3}{4} + 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).
   Comme \(0^2 = 0\) et \(1^2 = 1\), \(E(Y^2) = \frac{1}{4}\), donc \(V(Y) = E(Y^2) – E(Y)^2 = \frac{1}{4} – \frac{1}{16} = \frac{3}{16}\).
   \(E(Y) = \frac{1}{4}\) et \(V(Y) = \frac{3}{16}\) (on retrouve \(p(1-p)\)).
3. Avec remise, les deux tirages sont identiques et indépendants. La probabilité de n’avoir aucun cœur est \(\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}\).
   \(P(\text{au moins un cœur}) = 1 – \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour \(E(Y)\), 0,5 point pour \(E(Y^2)\), 0,5 point pour \(V(Y)\) ; c) 0,5 point pour l’événement contraire, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 5 : Le jeu des trois dés (4 points)

1. Les trois lancers sont trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « obtenir 6 », de paramètre \(\frac{1}{6}\). Dans l’arbre, les chemins à exactement un succès sont (6 ; pas 6 ; pas 6), (pas 6 ; 6 ; pas 6) et (pas 6 ; pas 6 ; 6). Chacun a pour probabilité \(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{216}\).
   \(P(\text{exactement un 6}) = 3 \times \frac{25}{216} = \frac{75}{216}\).
2. De même : aucun 6 : \((\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}\) ; deux 6 : \(3 \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}\) ; trois 6 : \(\frac{1}{216}\).
   Gains : \(0 – 2 = -2\) ; \(3 – 2 = 1\) ; \(10 – 2 = 8\) ; \(50 – 2 = 48\).

   \(g_i\)	\(-2\)	\(1\)	\(8\)	\(48\)
   \(P(G=g_i)\)	\(\frac{125}{216}\)	\(\frac{75}{216}\)	\(\frac{15}{216}\)	\(\frac{1}{216}\)

   Vérification : \(125 + 75 + 15 + 1 = 216\).

3. \(E(G) = \frac{-2 \times 125 + 1 \times 75 + 8 \times 15 + 48 \times 1}{216} = \frac{-250 + 75 + 120 + 48}{216} = -\frac{7}{216}\).
   \(E(G) = -\frac{7}{216} \approx -0{,}03\) € : le jeu est légèrement défavorable au joueur, qui perd en moyenne environ 3 centimes par partie.
4. On note \(x\) la somme versée pour trois 6. Le jeu est équitable si la somme reçue en moyenne est égale à la mise :
   \(\frac{3 \times 75 + 10 \times 15 + x \times 1}{216} = 2\)
   \(225 + 150 + x = 432\)
   \(x = 57\).
   L’organisateur doit verser 57 € pour trois 6.

Barème : a) 0,5 point pour les trois chemins, 0,5 point pour le calcul ; b) 0,5 point pour les probabilités, 0,5 point pour les gains ; c) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la solution.

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Après le corrigé du contrôle : répétitions de Bernoulli et jeux de hasard

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