Les équations et problèmes : corrigé des exercices de maths en 3ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (équations en troisième)

Pour isoler \(x\), on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres, puis on divise les deux membres par le même nombre non nul.

• a) \(x+0{,}6=4{,}8\) donc \(x=4{,}8-0{,}6=4{,}2\). La solution de l’équation est 4,2.
• b) \(-2+x=5\) donc \(x=5-(-2)=7\). La solution de l’équation est 7.
• c) \(-2x=5\) donc \(x=-\dfrac{5}{2}\). La solution de l’équation est \(-\dfrac{5}{2}\).
• d) \(-3+x=-9\) donc \(x=-9-(-3)=-9+3=-6\). La solution de l’équation est \(-6\).
• e) \(-6x=-8\) donc \(x=\dfrac{-8}{-6}=\dfrac{4}{3}\). La solution de l’équation est \(\dfrac{4}{3}\).
• f) \(4x+5=0\) donc \(4x=-5\) et \(x=-\dfrac{5}{4}\). La solution de l’équation est \(-\dfrac{5}{4}\).
• g) \(9-3x=0\) donc \(-3x=-9\) et \(x=\dfrac{-9}{-3}=3\). La solution de l’équation est 3.
• h) \(4+2x=10-4x\) donc \(2x+4x=10-4\), \(6x=6\) et \(x=1\). La solution de l’équation est 1.
• i) \(9x-7=3-3x+8\) donc \(9x+3x=3+8+7\), \(12x=18\) et \(x=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}\). La solution de l’équation est \(\dfrac{3}{2}\).
• j) \(3x+1=2x-2\) donc \(3x-2x=-2-1\) et \(x=-3\). La solution de l’équation est \(-3\).
• k) \(5x+10=3x+40\) donc \(5x-3x=40-10\), \(2x=30\) et \(x=15\). La solution de l’équation est 15.
• l) \(4+2x=20-8x\) donc \(2x+8x=20-4\), \(10x=16\) et \(x=\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5}\). La solution de l’équation est \(\dfrac{8}{5}\).
• m) \(2(3x-1)-2x=7x+3\) donc \(6x-2-2x=7x+3\), \(4x-2=7x+3\), \(4x-7x=3+2\), \(-3x=5\) et \(x=-\dfrac{5}{3}\). La solution de l’équation est \(-\dfrac{5}{3}\).
• n) \(10x-5-3(2x+5)=-20\) donc \(10x-5-6x-15=-20\), \(4x-20=-20\), \(4x=0\) et \(x=0\). La solution de l’équation est 0.

Exercice 2 :

Déterminer trois nombres entier positifs consécutifs dont la somme des carrés est égale à 1 325.

Pour la facilité des calculs on choisira les nombres consécutifs suivants :

n-1 ; n ; n +1 avec n \(\in \mathbb{N}\)

1- Calcul des carrés des nombres n-1 et n+1

(n-1)² = n² -2n +1

(n+1)²= n² +2n +1

2- Calcul de la somme des carrés des trois nombres.

(n-1)² + n² + (n+1)² = 3n² + 2

3- Puisque cette somme est égale à 1325, on est conduit à résoudre l’équation :

3n² +2 = 1325

soit

3n² = 1323

n² = 441

n= \(\sqrt{441}\) = 21

Vérification:

n-1 = 20

n = 21

n+1 =22

20² +21² +22² = 400 +441 + 484 = 1325

Donc les nombres consécutifs à déterminer sont : 20 ; 21 ; 22

Exercice 3 (équations en troisième)

Trois club se rencontrent lors d’une compétition. Le club A remporte un tiers des médailles , le club B deux septième des médailles et le club C seize médailles . Combien de médaille ont été distribuée en tout ?

Soit \(x\) : le nombre de médailles remportées .

les club A et B ont remportés : \(\frac{1}{3}+\frac{2}{7}=\frac{7}{21}+\frac{6}{21}=\frac{13}{21}\) des médailles .

Le club C a donc remporté \(\frac{8}{21}\) des médailles soit 16 médailles .

donc \(\frac{8}{21}x=16\)

\(x=\frac{16\times 21}{8}\)

\(x=42\)

Conclusion : il y a eu 42 médailles de distribuées .

Exercice 4 :

Résoudre les équations suivantes :

1. (x-7)²-(2x+5)²=0

\((x-7-2x-5)(x-7+2x+5)=0\)

\((-x-12)(3x-2)=0\)

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs, au moins, est nul .

\(-x-12=0\,\,ou\,\,3x-2=0\)

\(x=-12\,\,ou\,\,x=\frac{2}{3}\)

2. (7x+1)²-(3x+4)²=0

\((7x+1-3x-4)(7x+1+3x+4)=0\)

\((4x-3)(10x+5)=0\)

\(4x-3=0\,\,ou\,\,10x+5=0\)

\(x=\frac{3}{4}\,\,ou\,\,x=-\frac{5}{10}\)

\(x=\frac{3}{4}\,\,ou\,\,x=-\frac{1}{2}\)

3. (6x-1)²-(2x+1)²=0

\((6x-1-2x-1)(6x-1+2x+1)=0\)

\((4x-2)\times 8x=0\)

\(4x-2=0\,\,ou\,\, 8x=0\)

\(x=\frac{2}{4}\,\,ou\,\, x=0\)

\(x=\frac{1}{2}\,\,ou\,\, x=0\)

Exercice 5 (équations en troisième)

une tirelire contient 65 euros en pièces de 1 € et 2 € au total de 35 pièces .

Combien y a t il de pièces de 1 euros et combien de 2 euros ?

Soit x le nombre de pièces de 1 € et y le nombre de pièces de 2 € .

x+y=35 (1)

x+2y=65 (2)

En faisant la soustraction de (2)-(1) :

x+2y-x-y=65-35

y=30

Il y a donc 30 pièces de 2 € et 5 pièces de 1 € .

Exercice 6 :

a. 3x + 2 = 14
3x=14-2
3x=12
x=12:3
x=4
donc S={ 4 }

b. 3x – 4 = 2x + 9
3x-2x=9+4
x=13

c. 5x – 4 = 8 – 3x
5x+3x=8+4
8x=12
x=12:8=3:2
donc S={ 1,5 }

d. 3 – (5 – x) = 3 – 4x
3-5+x=3-4x
-2+x=3-4x
x+4x=3+2
5x=5
x=5:5=1
donc S={ 1 }

e. 2x + 5 = 3x – 1
2x-3x=-1-5
-x=-6
x=6
donc S={ 6 }

f. 2(5 – 3x) = 6(2x + 1)
10-6x=12x+6
-6x-12x=6-10
-18x=-4
x=4:18=2:9
donc S={ 2:9 }

g. 4(3x – 2) – 10x = 3x – 1
12x-8-10x=3x-1
2x-8=3x-1
2x-3x=8-1
-x=7
x=-7
donc S={ -7 }

h. 3(x + 2) – (x – 3) = x – 5 – 3(x + 1) + 4x
3x+6-x+3=x-5-3x-3+4x
2x+9=2x-8
0x=-8-9
0x=-17
0=-17
absurde donc pas de solution.

i. 5x + 7 = -5 + 11x
5x-11x=-5-7
-6x=-12
x=12:6=2
donc S={ 2 }

j. 2x + 1 = 4(x – 2) + x
2x+1=4x-8+x
2x+1=5x-8
2x-5x=-8-1
-3x=-9
x=-9:(-3)=3
donc S={ 3 }.

Exercice 7 (équations en troisième)

\(7x-1=-3x+2\)
\(7x+3x=2+1\)
\(10x=3\)
\(x=\frac{3}{10}\)

Exercice 8 :

On utilise la propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

1. \((x+5)(x-3)=0\) donc \(x+5=0\) ou \(x-3=0\), soit \(x=-5\) ou \(x=3\). Les solutions sont \(-5\) et 3.
2. \((2x+7)(-5x+2)=0\) donc \(2x+7=0\) ou \(-5x+2=0\), soit \(2x=-7\) ou \(-5x=-2\), c’est-à-dire \(x=-\dfrac{7}{2}=-3{,}5\) ou \(x=\dfrac{2}{5}=0{,}4\). Les solutions sont \(-3{,}5\) et \(0{,}4\).
3. On reconnaît l’identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) : \(64x^2-81=(8x)^2-9^2=(8x-9)(8x+9)\). L’équation devient \((8x-9)(8x+9)=0\), donc \(8x-9=0\) ou \(8x+9=0\), soit \(x=\dfrac{9}{8}\) ou \(x=-\dfrac{9}{8}\). Les solutions sont \(-\dfrac{9}{8}\) et \(\dfrac{9}{8}\).

Question 5 : \((3-x)(2x+7)(-5+x)=0\). La propriété reste vraie avec trois facteurs : \(3-x=0\) ou \(2x+7=0\) ou \(-5+x=0\), soit \(x=3\) ou \(x=-\dfrac{7}{2}\) ou \(x=5\). Les solutions sont \(-3{,}5\) ; 3 et 5.

Question 6 : on reconnaît \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) avec \(a=7x\) et \(b=3\) : \(49x^2-42x+9=(7x)^2-2\times 7x\times 3+3^2=(7x-3)^2\). L’équation \((7x-3)(7x-3)=0\) donne \(7x-3=0\), soit \(x=\dfrac{3}{7}\). La seule solution est \(\dfrac{3}{7}\).

Exercice 9 (équations en troisième)

Pour savoir si \(-2\) est solution, on remplace \(x\) par \(-2\) dans chaque membre et on regarde si l’égalité obtenue est vraie.

1. \(2\times (-2)+4=-4+4=0\) : l’égalité est vraie, \(-2\) est solution.
2. \(-2\times (-2)=4\) et \(4\neq -4\) : l’égalité est fausse, \(-2\) n’est pas solution.
3. \(6\times (-2)+2=-12+2=-10\) : l’égalité est vraie, \(-2\) est solution.
4. \(-5\times (-2)+4=10+4=14\) et \(2\times (-2)+3=-4+3=-1\) ; comme \(14\neq -1\), \(-2\) n’est pas solution.

Les équations 1 et 3 admettent \(-2\) pour solution.

Exercice 10 :

1. Julie a \(x\) ans. Son frère avait 4 ans à sa naissance : il a toujours 4 ans de plus qu’elle, donc l’âge du frère est \(x+4\). De même, l’âge de la mère est \(x+30\).
2. La somme des trois âges vaut 100 : \(x+(x+4)+(x+30)=100\), donc \(3x+34=100\), \(3x=66\) et \(x=\dfrac{66}{3}=22\). Julie a 22 ans ; son frère a \(22+4=26\) ans et sa mère \(22+30=52\) ans. Vérification : \(22+26+52=100\).

Exercice 11 (équations en troisième)

Résolvez les équations suivantes :

1) \(5x+2=2x+6\)

\(5x-2x=6-2\)

\(3x=4\)

\({\color{DarkRed}x=\frac{4}{3}}\)

2) \(2(3x+3)=-2(x-7)\)

\(6x+6=-2x+14\)

\(6x+2x=14-6\)

\(8x=8\)

\({\color{DarkRed}x=\frac{8}{8}=1}\)

3) \(-3(4x+3)=2x+6\)

\(-12x-9=2x+6\)

\(-12x-2x=6+9\)

\(-14x=15\)

\({\color{DarkRed}x=-\frac{15}{14}}\)

4) \(\frac{x+3}{3}=\frac{2x+1}{4}\)

\(4(x+3)=3(2x+1)\)

\(4x+12=6x+3\)

\(4x-6x=3-12\)

\(-2x=-9\)

\({\color{DarkRed}x=\frac{9}{2}}\)

5) \(\frac{2x-3}{3}=-5x+1\)

\(2x-3=3(-5x+1)\)

\(2x-3=-15x+3\)

\(2x+15x=3+3\)

\(17x=6\)

\({\color{DarkRed}x=\frac{6}{17}}\)

6) \(\frac{3-4x}{5}=\frac{2x+1}{4}\)

\(4(3-4x)=5(2x+1)\)

\(12-16x=10x+5\)

\(-16x-10x=5-12\)

\(-26x=-7\)

\({\color{DarkRed}x=\frac{7}{26}}\)

Exercice 12 :

Soit ABCD est un carre de cote 10 cm . N est un point de [AD] et R est un point de [DC] tels que AN est égal a DR est egal a x (en cm).
On souhaite trouver la position du point N pour laquelle l aire du rectangle NORD est maximale .
1) Donner un encadrement de x.

\(0\leq\,\,\, x\leq\,\,\, 10\) 2)a) Exprimer l’aire de NORD en fonction de x.

\(A_{NORD}=x(10-x)\)

b) Démontrer que l’ aire est egale a : 25-(x-5)².

\(25-(x-5)^2=25-(x^2-10x+25)=-x^2+10x=x(10-x)=A_{NORD}\) 3)a) Déterminer la valeur de x pour laquelle l aire NORD est maximale où est alors situé le point N .

L’aire est maximale lorsque la quantité \((x-5)^2\) est minimale c’est à dire lorsque \(x=5\) .

N est donc situé au milieu de [AD] .

b) Dans ce cas que peut on dire du rectangle NORD .

Dans ce cas NORD est un carré .

Exercice 13 (équations en troisième)

a. 3x + 2 = 14

3x=14-2
3x=12
x=12:3
x=4
donc S={ 4 }

b. 3x – 4 = 2x + 9
3x-2x=9+4
x=13

c. 5x – 4 = 8 – 3x
5x+3x=8+4
8x=12
x=12:8=3:2
donc S={ 1,5 }

d. 3 – (5 – x) = 3 – 4x
3-5+x=3-4x
-2+x=3-4x
x+4x=3+2
5x=5
x=5:5=1
donc S={ 1 }

e. 2x + 5 = 3x – 1
2x-3x=-1-5
-x=-6
x=6
donc S={ 6 }

f. 2(5 – 3x) = 6(2x + 1)
10-6x=12x+6
-6x-12x=6-10
-18x=-4
x=4:18=2:9
donc S={ 2:9 }

g. 4(3x – 2) – 10x = 3x – 1
12x-8-10x=3x-1
2x-8=3x-1
2x-3x=8-1
-x=7
x=-7
donc S={ -7 }

h. 3(x + 2) – (x – 3) = x – 5 – 3(x + 1) + 4x
3x+6-x+3=x-5-3x-3+4x
2x+9=2x-8
0x=-8-9
0x=-17
0=-17
absurde donc pas de solution.

i. 5x + 7 = -5 + 11x
5x-11x=-5-7
-6x=-12
x=12:6=2
donc S={ 2 }

j. 2x + 1 = 4(x – 2) + x
2x+1=4x-8+x
2x+1=5x-8
2x-5x=-8-1
-3x=-9
x=-9:(-3)=3
donc S={ 3 }

Exercice 14 :

On met les trois fractions au même dénominateur 6 :

\(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{x+2}{6}\)

\(\dfrac{2x}{6}+\dfrac{3(x-1)}{6}=\dfrac{x+2}{6}\)

En multipliant par 6 les deux membres de l’équation, on obtient :

\(2x+3(x-1)=x+2\)

\(2x+3x-3=x+2\)

\(5x-x=3+2\)

\(4x=5\)

\(x=\dfrac{5}{4}\)

Exercice 15 (équations en troisième)

1. (x + 5)(x – 3) = 0
C’est une équation produit, on utilise donc la règle :
« un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul »
ainsi:
x+5 = 0 ou x-3 = 0
x= -5 ou x=3
donc S = {-5 ; 3}

2. ( 2x + 7 )( -5x + 2 ) =0
On utilise la règle.
2x+7=0 ou -5x+2=0
2x=-7 ou -5x=-2
x=-7:2 ou x = -2:(-5)=2:5
donc S = {-3,5 ; 0,4}

3. 64x² – 81 = 0
il fallait reconnaitre l’identité remarquable.
(8x)²-9²=0
(8x+9)(8x-9)=0
on utilise la règle.
8x+9=0 ou 8x-9 = 0
x= -9:8 ou x= 9:8
donc S= { -9:8 ; 9:8}

5. ( 3 – x )(2x + 7 )(-5 + x) = 0
On utilise la règle qui est valable pour deux facteurs d’ailleurs également pour n facteurs.
3-x=0 ou 2x+7 = 0 ou -5+x=0
x=3 ou x=-7:2 ou x=5
donc S={3 ; -3,5 ; 5 }

6. 49X² – 42X + 9 = 0
il fallait reconnaitre l’identité remarquable.
(7X)²-2x7Xx3+3²=0
(7X-3)² = 0
(7x-3)(7x-3)=0
On utilise la règle.
7x-3=0
x=3:7
donc S ={3:7}

Exercice 16:

Trouver les équations qui admettent (-2 ) pour solution:

1. 2x + 4 = 0
remplaçons x par -2 dans l’équation.
2x+4=2x(-2)+4=-4+4=0
donc -2 vérifie bien l’égalité donc -2 est solution de l’équation..
2. -2x =- 4
remplaçons x par -2 dans l’équation.
-2x=-2x(-2)=+4 \(\neq\) -4
donc -2 ne vérifie pas l’égalité donc -2 n’est pas solution de l’équation..

3. 6x + 2 = -10
6x+2=6x(-2)+2=-12+2=-10
donc -2 vérifie bien l’égalité donc -2 est solution de l’équation..

4. -5x + 4 = 2x+3
remplaçons x par -2 dans l’équation.
-5x+4=-5x(-2)+4=10+4=14 et 2x+3=2x(-2)+3=-4+3=-1
or 14 \(\neq\) -1
donc -2 ne vérifie pas l’égalité donc -2 n’est pas solution de l’équation..

Exercice 17 (équations en troisième)

1. Choix de l’inconnue :
Notons x :l’ âge de Julie.

2. Traduction mathématique de l’énoncé:
sa mère était âgée de 30 ans donc l’âge de sa mère est: x+30;
son frère avait 4 ans donc l’âge de son frère est: x+4

3. Mise en équation du problème :
Julie, son frère et sa mère totalisent un siècle
donc x+ (x+30) + (x+4) = 100
x+x+30+x+4=100
3x+34=100
3x=100-34
3x=66
x=66:3
x=22

Conclusion : Julie a 22 ans, sa mère en a 52 ans et son frère a 26 ans.

Exercice 18 :

Trouver la longueur x.

Dans les triangles AEF et ACB ,

\(F\in(AB)\), \(E\in(AC)\) et \((FE)\parallel(BC)\) ; d’après la partie directe du théorème de Thalès :

\(\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}\)

\(\frac{x}{x+4}=\frac{1}{3}\)

\(3x=1\times (x+4)\)

\(3x=x+4\)

\(3x-x=4\)

\(2x=4\)

\(x=\frac{4}{2}\)

\({\color{DarkRed} x=2\text{ m}}\)

Exercice 19 (équations en troisième)

Résoudre les équations suivantes après avoir factoriser a l’aide d’une identité remarquable: a) x² +14x+49=0

\((x+7)^2=0\)

\({\color{DarkRed} x=-7}\) b) y²-12y+36=0

\((y-6)^2=0\)

\({\color{DarkRed} y=6}\) c) 4x²-20x +25=0

\((2x-5)^2=0\)

\(2x-5=0\)

\({\color{DarkRed} x=\frac{5}{2}}\)
d) 24z+16+9z²=0

\((3z+4)^2=0\)

\(3z+4=0\)

\({\color{DarkRed} z=-\frac{4}{3}}\)

Exercice 20 :

1) Factoriser E = 4x²-49=(2x+7)(2x-7)

2) Soit l’expression F= (2x-7)(-5x+9)+4x²-49 .

a) développer puis réduire F.

F= -10x² + 18x + 35x – 63 + 4x²- 49

F = – 6x²+53x-112

b)calculer la valeur exacte de F lorsque \(x=1\) , \(x=-\frac{1}{2}\) , \(x=\sqrt{2}\) .

\(F = – 6\times 1^2+53\times 1-112=-6+53-112=-65\)

Puis, \(F = – 6\times (-\frac{1}{2} )^2+53\times (-\frac{1}{2} )-112=-\frac{6}{4}-\frac{106}{4}-\frac{448}{4}=-\frac{560}{4}=-140\)

\(F = – 6\times (\sqrt{2})^2+53\times \sqrt{2}-112=-6\times 2+53\sqrt{2}-112=-124+53\sqrt{2}\)

c)écrire F sous forme d’un produit de facteurs du premier degré .

\(F = (2x-7)(-5x+9)+E\)

\(F=(2x-7)(-5x+9)+(2x-7)(2x+7)\)

\(F = (2x-7)(-5x+9+2x+7)\)

\({\color{DarkRed} F = (2x-7)(-3x+16)}\)

d)Résoudre l’équation F=0 .

\((2x-7)(-3x+16)=0\)

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul .

\((2x-7)=0\,\,ou\,\,(-3x+16)=0\)

\(2x=7\,\,ou\,\,-3x=-16\)

\(x=\frac{7}{2}\,\,ou\,\,x=\frac{-16}{-3}\)

\(x=3{,}5\,\,ou\,\,x=\frac{16}{3}\)

Exercice 21 (équations en troisième)

On donne l’expression A= (2x-3)²-(4x+7)(2x-3) .

1. Développer et réduire A.

\(A=4x^2-12x+9-(8x^2-12x+14x-21)\)

\(A=4x^2-12x+9-8x^2+12x-14x+21\)

\(A=-4x^2-14x+30\)

2. Factoriser A .

\(A=(2x-3)((2x-3)-(4x+7))\)

\(A=(2x-3)(2x-3-4x-7)\)

\(A=(2x-3)(-2x-10)\)

3. Résoudre l’équation (2x-3)(-2x-10)= 0

\(2x-3=0\,ou\,-2x-10=0\)

\(x=\frac{3}{2}\,ou\,x=\frac{10}{-2}\)

\(x=\frac{3}{2}\,ou\,x=-5\)

Exercice 22 :

Un boulanger vend les deux tiers de ses baguettes le matin.

L’après-midi, il en vend encore 90.

Le soir, il lui reste 20 baguettes.

Combien avait-il cuit de baguettes pour la journée ?

Notons x: le nombre de baguettes préparées pour la journée.

\(\frac{2}{3}x+90=x-20\)

\(\frac{2}{3}x-x=-90-20\)

\(\frac{2}{3}x-\frac{3}{3}x=-110\)

\(-\frac{1}{3}x=-110\)

\(x=\frac{-110}{-\frac{1}{3}}\)

\(x=(-110)\times (-3)\)

\({\color{DarkRed}x=330}\)

Il a préparé 330 baguettes.

Exercice 23 (équations en troisième)

Les deux questions suivantes sont liées .

1) Développez \((3x-5)(x+3)\).

\(3x\times x+3x\times 3-5\times x-5\times 3\)

\(3x^2+9x-5x-15\)

\({\color{DarkRed}3x^2+4x-15}\)

2) Résolvez l’équation \(3x^2+4x-15=0\) .

\((3x-5)(x+3)=0\)

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si et seulement un des facteurs, au moins est nul.

\(3x-5=0\,\,ou\,\,x+3=0\)

\({\color{DarkRed}x=\frac{5}{3}\,\,ou\,\,x=-3}\)

Exercice 24 :

Les droites (FC) et (DA) sont parallèles si \(\frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IF}\) .

\(\frac{7x+5}{5x}=\frac{12}{7}\)

\(7(7x+5)=12\times 5x\)

\(49x+35=60x\)

\(60x-49x=35\)

\(11x=35\)

\(x=\frac{35}{11}\)

Les problèmes d’équations sont toujours à résoudre avec une grande concentration. En effet, ils nécessitent une certaine maîtrise et l’utilisation des propriétés apprises en classe. Les problèmes d’équations vous permettront de progresser tout en essayant de les résoudre intelligemment.

Exercice 25 (équations en troisième)

Trouver 3 nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à 984.

On posera comme inconnue le plus petit nombre.

Soit x le plus petit nombre, les deux suivants sont x+1 et x+2.

La somme vaut 984 : \(x+(x+1)+(x+2)=984\), donc \(3x+3=984\), \(3x=981\) et \(x=\dfrac{981}{3}=327\).

Conclusion : les trois entiers recherchés sont 327 ; 328 et 329 (vérification : \(327+328+329=984\)).

Exercice 26 :

Un club de sport propose la formule suivante : une carte d’adhérent de 12 € puis

l’utilisation de la salle de gymnastique facturée 4,50 € l’heure.

Désignons par x le nombre d’heure d’utilisation de la salle de gymnastique.

Déterminer le prix à payer en fonction du nombre d’heure d’utilisation.

Le prix à payer est 12+4,5x.

Au bout de combien d’heure d’utilisation le prix à payer est de 79,50 € ?

On résout \(12+4{,}5x=79{,}5\) : \(4{,}5x=79{,}5-12=67{,}5\), donc \(x=\dfrac{67{,}5}{4{,}5}=15\).

Le prix à payer est de 79,50 € au bout de 15 heures d’utilisation.

Exercice 27 (équations en troisième)

Le réservoir d’une voiture est plein au un tiers. On rajoute 42 litres pour le remplir.

Quelle est sa contenance ?

On choisira comme inconnue la contenance totale du réservoir.

Soit x la contenance totale du réservoir.

Il reste dans le réservoir un vide de \(x-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{2}{3}x\) litres.

Nous avons donc \(\dfrac{2}{3}x=42\), soit \(x=42\times \dfrac{3}{2}=63\).

Conclusion : la contenance totale de ce réservoir est de 63 litres.

Exercice 28 :

Un troupeau est composé de chameaux et de dromadaires. On compte 180 têtes et 304 bosses.

Sachant qu’un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d’animaux de chaque espèce ?

Chaque animal a au moins une bosse : les 180 têtes correspondent à 180 bosses, et les bosses en plus viennent des chameaux (qui en ont une de plus).

304-180=124 qui proviennent forcément des chameaux.

Avec une équation : soit \(x\) le nombre de chameaux, il y a \(180-x\) dromadaires et \(2x+(180-x)=304\), donc \(x+180=304\) et \(x=124\).

Conclusion : il y a 124 chameaux et 180-124=56 dromadaires.

Exercice 29 (équations en troisième)

Méthode : on développe si besoin, on regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche et les nombres dans celui de droite, puis on divise par le coefficient de \(x\).

• a) \(3x+2=14\) ; \(3x=14-2=12\) ; \(x=\dfrac{12}{3}=4\). \(S=\{4\}\)
• b) \(3x-4=2x+9\) ; \(3x-2x=9+4\) ; \(x=13\).
• c) \(5x-4=8-3x\) ; \(5x+3x=8+4\) ; \(8x=12\) ; \(x=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\). \(S=\{1{,}5\}\)
• d) \(3-(5-x)=3-4x\) ; \(3-5+x=3-4x\) ; \(x+4x=3+2\) ; \(5x=5\) ; \(x=1\).
• e) \(2x+5=3x-1\) ; \(2x-3x=-1-5\) ; \(-x=-6\) ; \(x=6\).
• f) \(2(5-3x)=6(2x+1)\) ; \(10-6x=12x+6\) ; \(-6x-12x=6-10\) ; \(-18x=-4\) ; \(x=\dfrac{-4}{-18}=\dfrac{2}{9}\). \(S=\{\dfrac{2}{9}\}\)
• g) \(4(3x-2)-10x=3x-1\) ; \(12x-8-10x=3x-1\) ; \(2x-8=3x-1\) ; \(2x-3x=-1+8\) ; \(-x=7\) ; \(x=-7\).
• h) \(3(x+2)-(x-3)=x-5-3(x+1)+4x\) ; \(3x+6-x+3=x-5-3x-3+4x\) ; \(2x+9=2x-8\) ; \(0x=-17\). Cette égalité est impossible : l’équation n’a pas de solution.
• i) \(5x+7=-5+11x\) ; \(5x-11x=-5-7\) ; \(-6x=-12\) ; \(x=2\).
• j) \(2x+1=4(x-2)+x\) ; \(2x+1=5x-8\) ; \(2x-5x=-8-1\) ; \(-3x=-9\) ; \(x=3\).

Exercice 30 :

Propriété du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.

1. \((x+5)(x-3)=0\) : \(x+5=0\) ou \(x-3=0\), donc \(x=-5\) ou \(x=3\).
2. \((2x+7)(-5x+2)=0\) : \(2x+7=0\) ou \(-5x+2=0\), donc \(x=-\dfrac{7}{2}\) ou \(x=\dfrac{2}{5}\).
3. \((4x-1)(6x+5)=0\) : \(4x-1=0\) ou \(6x+5=0\), donc \(x=\dfrac{1}{4}\) ou \(x=-\dfrac{5}{6}\).
4. \(64x^2-81=0\) : avec \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \((8x-9)(8x+9)=0\), donc \(x=\dfrac{9}{8}\) ou \(x=-\dfrac{9}{8}\).
5. \((3-x)(2x+7)(-5+x)=0\) : \(3-x=0\) ou \(2x+7=0\) ou \(-5+x=0\), donc \(x=3\), \(x=-\dfrac{7}{2}\) ou \(x=5\).
6. \(49x^2-42x+9=0\) : avec \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), \((7x-3)^2=0\), donc \(7x-3=0\) et \(x=\dfrac{3}{7}\) (une seule solution).

Exercice 31 (équations en troisième)

On remplace \(x\) par \(-2\) dans chaque membre et on compare les deux résultats.

• a) \(2\times (-2)+4=-4+4=0\) : l’égalité est vraie, \(-2\) est solution.
• b) \(-2\times (-2)=4\) : l’égalité est vraie, \(-2\) est solution.
• c) \(6\times (-2)+2=-12+2=-10\) : l’égalité est vraie, \(-2\) est solution.
• d) \(-5\times (-2)+4=14\) et \(2\times (-2)+3=-1\) ; \(14\neq -1\), \(-2\) n’est pas solution.
• e) Membre de gauche : \(-2\times (-2+8)-5=-2\times 6-5=-17\). Membre de droite : \(15\times (-2)-4\times (5-2)+1=-30-12+1=-41\). Comme \(-17\neq -41\), \(-2\) n’est pas solution.

Les équations a, b et c admettent \(-2\) pour solution.

Exercice 32 :

• a) Un pin’s de Luc coûte 5 € de moins : \(x-5\) euros.
• b) Pierre achète 8 pin’s à \(x\) euros : \(8x\) euros.
• c) Luc achète 10 pin’s à \(x-5\) euros : \(10(x-5)=10x-50\) euros.
• d) Les deux montants sont égaux : \(8x=10x-50\), donc \(8x-10x=-50\), \(-2x=-50\) et \(x=25\). Un pin’s de Pierre coûte 25 € (et un pin’s de Luc 20 €). Vérification : \(8\times 25=200\) et \(10\times 20=200\).

Exercice 33 :

• a) Le frère a 4 ans de plus que Julie et la mère 30 ans de plus : frère : \(x+4\) ; mère : \(x+30\).
• b) \(x+(x+4)+(x+30)=100\), donc \(3x+34=100\), \(3x=66\) et \(x=22\). Julie a 22 ans, son frère 26 ans et sa mère 52 ans (\(22+26+52=100\)).

Exercice 34 :

Soit \(x\) le nombre de poules. Comme il y a 40 têtes, il y a \(40-x\) lapins.

Nombre de pattes : \(2x+4(40-x)=106\), donc \(2x+160-4x=106\), \(-2x=106-160=-54\) et \(x=\dfrac{-54}{-2}=27\).

Il y a 27 poules et \(40-27=13\) lapins. Vérification : \(27\times 2+13\times 4=54+52=106\) pattes.

Exercice 35 :

Soit \(x\) le prix d’une roue en euros. Yaël a dépensé \(50-3=47\) €, donc \(4x+15=47\).

\(4x=47-15=32\), donc \(x=\dfrac{32}{4}=8\).

Chaque roue coûte 8 €. Vérification : \(4\times 8+15=47\) et \(50-47=3\).

Exercice 36 :

Soit \(h\) le nombre d’heures de location. Le coût est \(25h+10\) et Hugo a payé 60 €, donc \(25h+10=60\).

\(25h=60-10=50\), donc \(h=\dfrac{50}{25}=2\).

Hugo a loué la planche pendant 2 heures.

Exercice 37 :

• a. \(x-3=-1\) ; \(x=-1+3\) ; \(x=2\).
• b. \(2y=5-7y\) ; \(2y+7y=5\) ; \(9y=5\) ; \(y=\dfrac{5}{9}\).
• c. \(5x=2x+9\) ; \(5x-2x=9\) ; \(3x=9\) ; \(x=3\).
• d. \(5(x-3)=-2(-x+6)\) ; \(5x-15=2x-12\) ; \(5x-2x=-12+15\) ; \(3x=3\) ; \(x=1\).

Exercice 38 :

a. Un carré a quatre côtés de même longueur, donc \(AE=\dfrac{56}{4}=14\). \(AE=14\) cm.

b. Soit \(x\) la longueur \(AP\) en cm. Le triangle PAE est isocèle en P, donc \(PE=PA=x\).

Le périmètre du pentagone PENTA est \(PE+EN+NT+TA+AP=x+14+14+14+x=2x+42\).

On résout \(2x+42=60\) : \(2x=18\), donc \(x=9\).

Le périmètre de PENTA vaut 60 cm lorsque \(AP=9\) cm. Le triangle existe bien car \(9+9=18\) est plus grand que \(AE=14\).

Équations en troisième : nos conseils pour progresser

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, équations en troisième en troisième demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Équation du premier degré sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec fonctions linéaires : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.