Corrigés des exercices de maths en 3ème
Le corrigé des exercices de maths en 3ème sur la trigonométrie dans le triangle rectangle. Savoir appliquer les formules du sinus, cosinus et de la tangente afin de calculer une longueur ou la mesure d’un angle.

Exercice 1 :

on sait que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. ; mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. ; mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. .

Calculer le périmètre du triangle ABD Donner l’arrondi du résultat au décimètre près.

Dans le triangle rectangle ABC :

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Dans le triangle ABD :

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Dans le triangle rectangle ACB :

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Dans le triangle rectangle BCD :

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De plus

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Dans le triangle BCD rectangle en C :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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Le périmètre du triangle ABD est :

AD+DB+BA =9,88+34,5+40=84,38 m .

Conclusion : le périmètre est à peu près de 84,4 mètres .

trigo-2 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 2 :

a.  Dans le triangle rectangle DGE :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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b. Représenter la situation par la figure à l’échelle 1/200. (Les données de la situation doivent être placées sur la figure.)

longueur-cable Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 3 :

1.a. A l’aide de la calculatrice, calculer  (cos67°+sin67°)²+(cos67°-sin67°)²=2 (cos35°+sin35°)²+(cos35°-sin35°)²=2

b. que constate-t-on?

Le résultat est toujours égal à 2 .

2.Démontrer que pour tout angle aigu x :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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Exercice 4 :

Démontrer que le triangle SON est rectangle.

Calcul  de l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Les angles mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. sont opposés par le sommet donc égaux .

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Conclusion : le triangle NOS est un triangle rectangle en O .

exos-trigo Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 5 :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.  est un angles tel que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. .

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.  .

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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Or le cosinus d’un angle aigu est positif :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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Exercice 6 :

1. Construisez un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

triangle-rectangle-ABC Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

2. Calculez la longueur BC.(On donnera une valeur arrondie au millimètre).

D’après le cours sin mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.=mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. soit sin 40° = BC/AC donc BC = AC x sin 40° = 5 sin (40) mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.3,2cm

3.a) Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC?Justifiez.

Puisque le triangle est rectangle, une propriété du cours dit que l’hypothénuse est un diamètre du cercle circonscrit au triangle rectangle. (circonscrit signifiait que le cercle passe par les trois sommets du triangle).

Or si [AC] est le diamètre on a donc O qui est le milieu de [AC].

b) Tracez  ce cercle.

4. Déduisez-en la mesure de l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. .

OB = OA donc OAB est un triangle isocèle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. =40° implique que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. = 180°-(2×40°) puisque la somme des angles d’un triangle fait toujours 180°.mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. = 100°

et puisque les angles mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. sont supplémentaire (ensemble ils forment un angle plat et leur somme fait donc 180°) on a mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. = 180° -100° =80°.

Exercice 7 :

20111027clip_image002 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Quelle est la distance OH nécessaire pour que la cathédrale apparaisse entièrement dans l’objectif ?
Je dispose du côté opposé et de l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..
Je cherche le côté adjacent à l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..
Formule : tangente
mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Conclusion :

La distance OH nécessaire pour que la cathédrale apparaisse entièrement dans l’objectif doit être supérieure à 155,5 mètres.

Exercice 8 :

20101105trigonometrie Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

a) Le triangle SAH est rectangle en H.

Donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.°

Donc le triangle SAH est un triangle rectangle et isocèle en H.

BH=BA+AH=BA+HS=BA+x=40+x

b)AH=HS=x

c)Dans le triangle BSH rectangle en H.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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d)mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

La hauteur du donjon est à peu près de 35 mètres.

Exercice 9 :

pave-droit-3 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Dans le pavé droit ci-dessus, on donne EH=69cm, EF=60cm et EA=51cm.
Quelle est la mesure de l’angle AED? (arrondir le résultat a l’unité)

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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Exercice 10 :

Aider Lisa à faire ce calcul en s’aidant du schéma ci-dessous :

mont-saint-michel-19-10 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Nous avons :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

à l’aide de ces deux égalités

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.  et  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Déterminons BC :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Déterminons BD :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

L’archange Saint Michel culmine à 171,62 mètres.

Exercice 11 :
1. Construire en vraie grandeur un triangle ABC tel que : AB = 7 cm ; BC = 8 cm et AC = 5 cm.

triangle-rectangle-ABC-1 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

2. [BC] étant le côté dont la mesure est la plus grande on devrait avoir si le triangle était rectangle en A :

BC² = AB² + AC²
or
8² mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.7² + 5²
Donc le triangle ABC n’ est pas rectangle.

2- Calcul de l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.: appliquons la formule

8² = 7² + 5² – 2*5*7 cosmimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

64 = 49  + 25 – 70 cos mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

64 – 49 – 25 = -70 cosmimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

-10 =-70 cosmimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

soit

cos mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.  = mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

A l’aide de la calculatrice on trouve :

mimetex.cgi?\hat{BAC} = 81 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Vous pourrez vérifier ce résultats en utilisant GEOGEBRA

Exercice 12 :

dm-pente-29-11 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

1) Dans le cas d’une pente à 15 %, quel angle fait la route avec l’horizontale?

Dans ce triangle rectangle, notons mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. l’angle entre la route et l’horizontale.

Nous connaissons le côté adjacent et opposé à l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF., la formule à utiliser est donc la tangente.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Conclusion : la route fait un angle, à peu près, de 17 ° avec l’horizontale.

2) On considère une descente dangereuse dès que la pente est supérieure à 10 % sur route et supérieure à 4 % sur autoroute.

A partir de quel angle entre chaussée et l’horizontale, considère-t-on qu’une descente est dangereuse sur route?sur autoroute?

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Conclusion : une descente sur une route est dangereuse dès que l’angle est supérieur à 6° et supérieur à 3 ° pour une autoroute.

3)Est-il plus dangereux de circuler sur une route qui a une pente de 20 % ou de rouler sur une autoroute faisant un angle de 20 degré avec l’horizontale ? Justifier

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Conclusion : Sur une autoroute la vitesse est beaucoup plus élevée donc c’est plus dangereux sur une autoroute.

pente-15-pourcent-29-11 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 13 :
1°) Votre triangle devrait ressembler à celui-ci :

3-trig Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

2°) Pour démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle,
on va utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
La démonstration se fait de la sorte :

Dans le triangle IJK, on applique la réciproque du théorème de Pythagore, on a alors :

JK² = 8² = 64 ET IJ² + IK ² = 4.8² + 6.4² = 23.04 + 40.96 = 64

Or JK² = IJ² + IK², donc le triangle JIK est bien rectangle en I.

3°) On veut maintenant savoir quelle est la mesure de l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. .

Trois possibilités de résolution, on utilise :

3-trig-4 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 14 :
3-trig-1 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

1°) On sait que le mur (AB) et que le sol sont perpendiculaires.
On sait aussi que le mur mesure 3.05 m et que l’échelle [AC] mesure 3.20m de long.

Donc pour savoir à quelle distance du pied du mur doit se placer l’échelle
pour que son sommet soit juste au niveau du panier, on va utiliser le théorème de Pythagore.
Mais avant on convertit : AB = 3.05m = 305cm et CA 3.20 m = 320 cm.

Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore, on a :
CB²+AB²=CA²
CB²+305²=320²
CB²+93025=102400
CB²=102400-93025=9375
or CB>0 donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

2°) L’angle formé par l’échelle et le sol est donc l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

Nous avons les trois mesures des trois cotés du triangle,
ce qui nous offre trois possibilités.

3-trig-5 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 15 :

1°) Votre triangle devrais ressembler à celui-ci.

3-trig-2 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Les angles mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. forment deux angles droits car (AH) est la hauteur de [BC] issue du sommet A.
Or la hauteur est la droite issue d’un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
On sait aussi que BH = HC = BC/2 car dans un triangle isocèle,
la hauteur issue du somment principal coupe sa base en deux parties égales car c’est également une médiatrice.

2°) Calcul de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

On sait que la tangente d’un angle est égale au quotient du coté opposé de celui-ci par le coté adjacent de celui-ci.
Donc :

2}=\frac{7}{4}  Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

On en déduit mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. degrés.

Exercice 16 :
1°) Un rectangle avec sa diagonale … pas besoin de correction !!!

2°) Calcul de la mesure de l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. :
On connait le coté adjacent et le coté opposé de cet angle,
ce qui nous ramène à calculer la tangente de cet angle.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

On en déduit mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. degrés.

3°) Démontrez que les angles mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. sont égaux. 1. méthode (la plus simple) Les droites (AB) et (DC) sont parallèles et le segment [AC] coupe mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. en deux angles chacun.

On peut donc dire que ces deux angle sont alternes internes et donc égaux.

2. méthode (pour les accros !!)
On calcul [AC] avec Pythagore :

Dans le triangle rectangle ACB (ou ADC, se sont les mêmes), on applique le théorème de Pythagore :
AC²=AB²+BC²
AC²=7.2²+5.4²
AC²=51.84+29.16=81 or AC>0,donc

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. cm .

Nous avons maintenant toutes les mesures des cotés du rectangle.

Donc, si les angles mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. étaient égaux, le sinus de l’un serait égal au sinus de l’autre et IDEM avec les cosinus.

Vérifions :

3-trig-6 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

En effet les angles mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. sont égaux.

3-trig-3 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 18 :

Calculer, pour chaque figure, la mesure de l’angle marqué 

(arrondir le résultat au degré près).

1. Dans le triangle rectangle IAB, je connais le côté opposé et adjacent à l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

Formule : tangente.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.  donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

2. Dans le triangle rectangle DCL, je connais le côté  hypoténuse  et  opposé  à l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

Formule :  sinus.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

3. Dans le triangle rectangle EFJ, je connais le côté  hypoténuse  et  opposé  à l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

Formule :  sinus.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

3. Dans le triangle rectangle GHK, je connais le côté  adjacent  et  opposé  à l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

Formule :  tangente.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

trigonometrie-angle-19-10 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 20 :

1. Calculer la mesure de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

Dans le triangle rectangle IGH, je connais le côté opposé à mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et l’ hypoténuse.

Formule : sinus.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.  donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

2. En déduire la mesure de l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. .

Les angles mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. sont opposés par le sommet, ils ont donc la même mesure :mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.°.

3. Calculer les longueurs EF et FG arrondies au dixième .

Dans le triangle GEF rectangle en E.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.  et  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.   et  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. cm.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. cm

triangles-croises-19-10 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 21 :

Calculer la longueur OM arrondie au millimètre .

Calculons PM :

Dans le triangle rectangle PAM, je connais le côté opposé et l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

et je cherche l ‘hypoténuse .

Formule :  sinus

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. donc

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Calculons OM :

Dans le triangle rectangle POM, je connais l’ hypoténuse  et l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

et je cherche le côté adjacent  à l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

Formule :  cosinus.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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trigonometrie-triangle-19-10 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 22 :

On donne BD = 4 cm , BA = 6 cm et  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF..

1. Montrer que BC= 8 cm.

Dans le triangle DCB rectangle,

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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3. Calculer AC.

Dans le triangle ABC rectangle en B d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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4. Quelle est la valeur de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. ?

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5. En déduire la valeur arrondie au degré de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF. .

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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exercice-trigo-06-2012 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.


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