Trigonométrie : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Le corrigé des exercices de maths en 3ème sur la trigonométrie dans le triangle rectangle. Savoir appliquer les formules du sinus, cosinus et de la tangente afin de calculer une longueur ou la mesure d’un angle.

Exercice 1 :

on sait que $\widehat{CAB}=50^{\circ}$ ; $\widehat{DBA}=15^{\circ}$ ; $\widehat{ACB}=90^{\circ}$ et $AB=40\,m$ .

Calculer le périmètre du triangle ABD Donner l’arrondi du résultat au décimètre près.

Dans le triangle rectangle ABC :

$cos\widehat{A}=\frac{AC}{AB}$

$AC=40cos\widehat{50}$

$AC\simeq 25,71\,m$

Dans le triangle ABD :

$\widehat{ADB}=180-50-15=180-65=115$

$\widehat{CDB}=180-115=65^{\circ}$

Dans le triangle rectangle ACB :

$sin\widehat{A}=\frac{BC}{AB}$

$BC=AB\times sinA$

$BC=40\times sin 50^{\circ}$

$BC\simeq 30,64\,m$

Dans le triangle rectangle BCD :

$tan\widehat{BDC}=\frac{BC}{DC}$

$tan65=\frac{40\times sin50^{\circ}}{DC}$

$DC=\frac{40\times sin50^{\circ}}{tan65}$

$DC\simeq 15,83\,m$

De plus

$DA=AC-DC=25,71-15,83=9,88\,m$

Dans le triangle BCD rectangle en C :

${\color{DarkRed} BD\simeq 34,5\,m}$

Le périmètre du triangle ABD est :

AD+DB+BA =9,88+34,5+40=84,38 m .

Conclusion : le périmètre est à peu près de 84,4 mètres .

Exercice 2 :

a. Dans le triangle rectangle DGE :

$sin\, \widehat{GED}=\frac{DG}{DE}$

$sin\, 40=\frac{DG}{20}$

$DG=20sin\, 40$

${\color{DarkRed} DG=12,9\,m}$

b. Représenter la situation par la figure à l’échelle 1/200. (Les données de la situation doivent être placées sur la figure.)

Exercice 3 :

1.a. A l’aide de la calculatrice, calculer (cos67°+sin67°)²+(cos67°-sin67°)²=2 (cos35°+sin35°)²+(cos35°-sin35°)²=2

b. que constate-t-on?

Le résultat est toujours égal à 2 .

2.Démontrer que pour tout angle aigu x :

$=2\times 1\,\,(car\,cos^2x+sin^2x=1)$

Exercice 4 :

Démontrer que le triangle SON est rectangle.

Calcul de l’angle $\widehat{AOC}$ :

$cos\widehat{AOC}=\frac{3}{6}$

$\widehat{AOC}=cos^{-1}\frac{1}{2}$

$\widehat{AOC}=60^{\circ}$

Les angles $\widehat{AOC}$ et $\widehat{EOS}$ sont opposés par le sommet donc égaux .

$\widehat{EOS}=60^{\circ}$

$\widehat{SON}=\widehat{EOS}+\widehat{NOE}=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$

Conclusion : le triangle NOS est un triangle rectangle en O .

Exercice 5 :

est un angles tel que $sinx=\frac{5}{8}$ .

$cos^2x=1-(\frac{5}{8})^2$

$cos^2x=1-\frac{25}{64}$

$cos^2x=\frac{64}{64}-\frac{25}{64}$

$cos^2x=\frac{39}{64}$

Or le cosinus d’un angle aigu est positif :

$cosx=\sqrt{\frac{39}{64}}$

$cosx=\frac{\sqrt{39}}{8}$

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$

$tanx=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{39}}{8}}$

$tanx=\frac{5}{\sqrt{39}}$

$tanx=\frac{5\sqrt{39}}{39}$

Exercice 6 :

1. Construisez un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et $\widehat{BAC}=40^{\circ}$ .

2. Calculez la longueur BC.(On donnera une valeur arrondie au millimètre).

D’après le cours sin $\widehat{BAC}$ = $\frac{BC}{AC}$ soit sin 40° = BC/AC donc BC = AC x sin 40° = 5 sin (40) $\approx$ 3,2cm

3.a) Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC?Justifiez.

Puisque le triangle est rectangle, une propriété du cours dit que l’hypothénuse est un diamètre du cercle circonscrit au triangle rectangle. (circonscrit signifiait que le cercle passe par les trois sommets du triangle).

Or si [AC] est le diamètre on a donc O qui est le milieu de [AC].

b) Tracez ce cercle.

4. Déduisez-en la mesure de l’angle $\widehat{BOC}$ .

OB = OA donc OAB est un triangle isocèle $\widehat{OBA}$ =40° implique que $\widehat{AOB}$ = 180°-(2×40°) puisque la somme des angles d’un triangle fait toujours 180°. $\widehat{AOB}$ = 100°

et puisque les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont supplémentaire (ensemble ils forment un angle plat et leur somme fait donc 180°) on a $\widehat{BOC}$ = 180° -100° =80°.

Exercice 7 :

Quelle est la distance OH nécessaire pour que la cathédrale apparaisse entièrement dans l’objectif ?
Je dispose du côté opposé et de l’angle $\widehat{O}$ .
Je cherche le côté adjacent à l’angle $\widehat{O}$ .
Formule : tangente
$Tan\widehat{O}=\frac{AH}{OH}$

$Tan 42=\frac{140}{OH}$

$OH=\frac{140}{Tan 42}$

Conclusion :

La distance OH nécessaire pour que la cathédrale apparaisse entièrement dans l’objectif doit être supérieure à 155,5 mètres.

Exercice 8 :

a) Le triangle SAH est rectangle en H.

Donc $\widehat{S}=90-45=45$ °

Donc le triangle SAH est un triangle rectangle et isocèle en H.

BH=BA+AH=BA+HS=BA+x=40+x

b)AH=HS=x

c)Dans le triangle BSH rectangle en H.

$tan(\widehat{SBH})=\frac{SH}{BH}$

$tan(\widehat{SBH})=\frac{x}{40+x}$

$(40+x)tan(\widehat{SBH})=x$

${\color{DarkRed},(40+x)tan(\widehat{25})=x}$

d) $(40+x)tan(\widehat{25})=x$

$40tan(\widehat{25})+xtan(\widehat{25})=x$

$40tan(\widehat{25})+xtan(\widehat{25})=x,\\x(tan(\widehat{25})-1)=-40tan(\widehat{25}),\\x=\frac{-40tan(\widehat{25})}{tan(\widehat{25})-1}$

${\color{DarkRed},x\simeq,35\,\,m}$

La hauteur du donjon est à peu près de 35 mètres.

Exercice 9 :

Dans le pavé droit ci-dessus, on donne EH=69cm, EF=60cm et EA=51cm.
Quelle est la mesure de l’angle AED? (arrondir le résultat a l’unité)

$tan\,\widehat{AED}=\frac{AD}{AE}$

$tan\,\widehat{AED}=\frac{69}{51}$

$\widehat{AED}=tan^{-1}(\frac{69}{51})$

$\widehat{AED}=54^{\circ}$

Exercice 10 :

Aider Lisa à faire ce calcul en s’aidant du schéma ci-dessous :

Nous avons :

$tan\,40=\frac{BD}{BA}$ et $tan\,48=\frac{BD}{BC}$

à l’aide de ces deux égalités

$BD=BA\times tan40=(BC+50)tan40$ et $BD=BC\times tan48$

Déterminons BC :

$(BC+50)tan40=BC\times tan48$

$BC\times tan40+50tan40=BC\times tan48$

$BC\times tan40-BC\times tan48=-50tan40$

$BC=\frac{-50tan40}{tan40-tan48}$

Déterminons BD :

$BD=BC\times tan48\\=\frac{-50tan40}{tan40-tan48}\times tan48\\\simeq 171,62$

L’archange Saint Michel culmine à 171,62 mètres.

Exercice 11 :
1. Construire en vraie grandeur un triangle ABC tel que : AB = 7 cm ; BC = 8 cm et AC = 5 cm.

2. [BC] étant le côté dont la mesure est la plus grande on devrait avoir si le triangle était rectangle en A :

BC² = AB² + AC²
or
8² $\not=$ 7² + 5²
Donc le triangle ABC n’ est pas rectangle.

2- Calcul de l’angle $\hat{BAC}$ : appliquons la formule

8² = 7² + 5² – 2*5*7 cos $\hat{BAC}$

64 = 49 + 25 – 70 cos $\hat{BAC}$

64 – 49 – 25 = -70 cos $\hat{BAC}$

-10 =-70 cos $\hat{BAC}$

soit

cos $\hat{BAC}$ = $\frac{1}{7}$

A l’aide de la calculatrice on trouve :

$\hat{BAC} = 81.79^\circ$

Vous pourrez vérifier ce résultats en utilisant GEOGEBRA

Exercice 12 :

1) Dans le cas d’une pente à 15 %, quel angle fait la route avec l’horizontale?

Dans ce triangle rectangle, notons $\widehat{A}$ l’angle entre la route et l’horizontale.

Nous connaissons le côté adjacent et opposé à l’angle $\widehat{A}$ , la formule à utiliser est donc la tangente.

$tan\widehat{A}=\frac{30}{100}=0,3$

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,3)\simeq 17^{\circ}$

Conclusion : la route fait un angle, à peu près, de 17 ° avec l’horizontale.

2) On considère une descente dangereuse dès que la pente est supérieure à 10 % sur route et supérieure à 4 % sur autoroute.

A partir de quel angle entre chaussée et l’horizontale, considère-t-on qu’une descente est dangereuse sur route?sur autoroute?

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,1)\simeq 6^{\circ}$

$\widehat{B}=tan^{-1}(0,04)\simeq 3^{\circ}$

Conclusion : une descente sur une route est dangereuse dès que l’angle est supérieur à 6° et supérieur à 3 ° pour une autoroute.

3)Est-il plus dangereux de circuler sur une route qui a une pente de 20 % ou de rouler sur une autoroute faisant un angle de 20 degré avec l’horizontale ? Justifier

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,2)\simeq 3^{\circ}\simeq 12^{\circ}$

Conclusion : Sur une autoroute la vitesse est beaucoup plus élevée donc c’est plus dangereux sur une autoroute.

Exercice 13 :
1°) Votre triangle devrait ressembler à celui-ci :

2°) Pour démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle,
on va utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
La démonstration se fait de la sorte :

Dans le triangle IJK, on applique la réciproque du théorème de Pythagore, on a alors :

JK² = 8² = 64 ET IJ² + IK ² = 4.8² + 6.4² = 23.04 + 40.96 = 64

Or JK² = IJ² + IK², donc le triangle JIK est bien rectangle en I.

3°) On veut maintenant savoir quelle est la mesure de l’angle $\widehat{IJK}$ .

Trois possibilités de résolution, on utilise :

Exercice 14 :

1°) On sait que le mur (AB) et que le sol sont perpendiculaires.
On sait aussi que le mur mesure 3.05 m et que l’échelle [AC] mesure 3.20m de long.

Donc pour savoir à quelle distance du pied du mur doit se placer l’échelle
pour que son sommet soit juste au niveau du panier, on va utiliser le théorème de Pythagore.
Mais avant on convertit : AB = 3.05m = 305cm et CA 3.20 m = 320 cm.

Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore, on a :
CB²+AB²=CA²
CB²+305²=320²
CB²+93025=102400
CB²=102400-93025=9375
or CB>0 donc $\fbox{CB=\sqrt{9375}\approx 97 cm}$

2°) L’angle formé par l’échelle et le sol est donc l’angle $\widehat{ACB}$ .

Nous avons les trois mesures des trois cotés du triangle,
ce qui nous offre trois possibilités.

Exercice 15 :

1°) Votre triangle devrais ressembler à celui-ci.

Les angles $\widehat{AHC}$ et $\widehat{AHB}$ forment deux angles droits car (AH) est la hauteur de [BC] issue du sommet A.
Or la hauteur est la droite issue d’un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
On sait aussi que BH = HC = BC/2 car dans un triangle isocèle,
la hauteur issue du somment principal coupe sa base en deux parties égales car c’est également une médiatrice.

2°) Calcul de $\widehat{B}$

On sait que la tangente d’un angle est égale au quotient du coté opposé de celui-ci par le coté adjacent de celui-ci.
Donc :

$Tan\widehat{B} =\frac{AH}{BH}=\frac{7}{8/2}=\frac{7}{4}$

On en déduit $\widehat{B} = Tan^{-1}(\frac{7}{4})\approx 60$ degrés.

Exercice 16 :
1°) Un rectangle avec sa diagonale … pas besoin de correction !!!

2°) Calcul de la mesure de l’angle $\widehat{ACD}$ :
On connait le coté adjacent et le coté opposé de cet angle,
ce qui nous ramène à calculer la tangente de cet angle.

$Tan\widehat{ACD} =\frac{AB}{BC}=\frac{7,2}{5,4}=\frac{4}{3}$

On en déduit $\widehat{ACD} = Tan^{-1}(\frac{4}{3})\approx 53$ degrés.

3°) Démontrez que les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{CAB}$ sont égaux. 1. méthode (la plus simple) Les droites (AB) et (DC) sont parallèles et le segment [AC] coupe $\widehat{BAD}$ et $\widehat{BCD}$ en deux angles chacun.

On peut donc dire que ces deux angle sont alternes internes et donc égaux.

2. méthode (pour les accros !!)
On calcul [AC] avec Pythagore :

Dans le triangle rectangle ACB (ou ADC, se sont les mêmes), on applique le théorème de Pythagore :
AC²=AB²+BC²
AC²=7.2²+5.4²
AC²=51.84+29.16=81 or AC>0,donc

$AC=\sqrt{81}=9$ cm .

Nous avons maintenant toutes les mesures des cotés du rectangle.

Donc, si les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{CAB}$ étaient égaux, le sinus de l’un serait égal au sinus de l’autre et IDEM avec les cosinus.

Vérifions :

En effet les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{CAB}$ sont égaux.

Exercice 18 :

Calculer, pour chaque figure, la mesure de l’angle marqué

(arrondir le résultat au degré près).

1. Dans le triangle rectangle IAB, je connais le côté opposé et adjacent à l’angle $\widehat{ABI}$ .

Formule : tangente.

$tan\widehat{ABI}=\frac{2,1}{2,8}$ donc $\widehat{ABI}=tan^{-1}(\frac{2,1}{2,8})\simeq 37^{\circ}$ .

2. Dans le triangle rectangle DCL, je connais le côté hypoténuse et opposé à l’angle $\widehat{DLC}$ .

Formule : sinus.

$sin (\widehat{DLC})=sin(\frac{8}{9})$ donc $\widehat{DLC}=sin^{-1}(\frac{8}{9})\simeq 63^{\circ}$ .

3. Dans le triangle rectangle EFJ, je connais le côté hypoténuse et opposé à l’angle $\widehat{JEF}$ .

Formule : sinus.

$sin (\widehat{JEF})=\frac{2,7}{4,2}$ donc $\widehat{JEF}=sin^{-1}(\frac{2,7}{4,2})\simeq 40^{\circ}$ .

3. Dans le triangle rectangle GHK, je connais le côté adjacent et opposé à l’angle $\widehat{HKG}$ .

Formule : tangente.

$tan(\widehat{HKG})=\frac{4}{3}$ donc $\widehat{HKG}=tan^{-1}(\frac{4}{3})\simeq 53^{\circ}$

Exercice 20 :

1. Calculer la mesure de $\widehat{IGH}$ .

Dans le triangle rectangle IGH, je connais le côté opposé à $\widehat{IGH}$ et l’ hypoténuse.

Formule : sinus.

$sin(\widehat{IGH})=\frac{3}{6}$ donc $\widehat{IGH}=sin^{-1}(\frac{3}{6})=30^{\circ}$ .

2. En déduire la mesure de l’angle $\widehat{EGF}$ .

Les angles $\widehat{EGF}$ et $\widehat{IGH}$ sont opposés par le sommet, ils ont donc la même mesure : $\widehat{EGF}=30$ °.

3. Calculer les longueurs EF et FG arrondies au dixième .

Dans le triangle GEF rectangle en E.

$cos(\widehat{EGF})=\frac{EG}{FG}$ et $tan(\widehat{EGF})=\frac{EF}{EG}$

$cos(30^{\circ})=\frac{3}{FG}$ et $tan(30^{\circ})=\frac{EF}{3}$

$FG=\frac{3}{cos 30^{\circ}}\simeq 3,5$ cm.

$EF=3tan(30^{\circ})\simeq 1,7$ cm

Voir Corrigés 11 à 20...

Exercice 21 :

Calculer la longueur OM arrondie au millimètre .

Calculons PM :

Dans le triangle rectangle PAM, je connais le côté opposé et l’angle $\widehat{APM}=47^{\circ}$

et je cherche l ‘hypoténuse .

Formule : sinus

$sin(\widehat{APM})=\frac{4,6}{PM}$

$sin(47^{\circ})=\frac{4,6}{PM}$ donc

$PM=\frac{4,6}{sin(47^{\circ})}\simeq 6,29\,cm$

Calculons OM :

Dans le triangle rectangle POM, je connais l’ hypoténuse et l’angle $\widehat{PMO}=23^{\circ}$

et je cherche le côté adjacent à l’angle $\widehat{PMO}$ .

Formule : cosinus.

$cos(\widehat{PMO})=\frac{OM}{PM}$

$cos(23^{\circ})=\frac{OM}{6,29}$

$OM\simeq 6,29\times cos(23^{\circ})\simeq 5,8\,cm$

Exercice 22 :

On donne BD = 4 cm , BA = 6 cm et $\widehat{DBC}=60^{\circ}$ .

1. Montrer que BC= 8 cm.

Dans le triangle DCB rectangle,

$cos60^{\circ}=\frac{DB}{BC}$

$cos60^{\circ}=\frac{4}{BC}$

$BC=\frac{4}{cos60^{\circ}}$

${\color{DarkRed} BC=8\,cm}$

2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième.

$tan60^{\circ}=\frac{CD}{DB}$

$tan60^{\circ}=\frac{CD}{4}$

$CD=4tan60^{\circ}$

${\color{DarkRed} CD\simeq 6,9\,cm}$

3. Calculer AC.

Dans le triangle ABC rectangle en B d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{100}$

${\color{DarkRed} AC=10\,cm}$

4. Quelle est la valeur de $tan\widehat{BAC}$ ?

$tan\widehat{BAC}=\frac{BC}{BA}$

$tan\widehat{BAC}=\frac{8:2}{6:2}$

${\color{DarkRed} tan\widehat{BAC}=\frac{4}{3}}$

5. En déduire la valeur arrondie au degré de $\widehat{BAC}$ .

$\widehat{BAC}=tan^{-1}(\frac{4}{3})$

${\color{DarkRed} \widehat{BAC}=53^{\circ}}$

Voir Corrigés 21 à 22...

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