Fonctions : corrigé des exercices en 3ème en PDF.

Exercice 1 (fonctions 3e corrigé)

a. Nous avons h(0) = – 1.

b. Les nombres 2 et – 2 ont pour image 0 par la fonction h.

c. Par lecture graphique : h(4) ≈ 3,25 et h(-3) ≈ 1,25 .

Exercice 2 :

On lit chaque égalité dans le tableau : la ligne du haut donne les nombres \(x\), la ligne du bas leurs images \(g(x)\).

a. \(g(-0{,}1)=\mathbf{2}\)

b. \(g(\mathbf{0})=1\)

c. \(g(0{,}9)=\mathbf{-4}\)

d. \(g(\mathbf{0{,}9})=-4\)

e. \(g(0{,}7)=\mathbf{-0{,}1}\)

f. \(g(\mathbf{-0{,}5})=5\) et aussi \(g(\mathbf{1{,}1})=5\) : le nombre 5 a deux antécédents, −0,5 et 1,1.

Exercice 3 (fonctions 3e corrigé)

UNE BOITE EST FABRIQUEE DANS UNE PLAQUE DE CARTON CARREE DE 20 CM DE COTE. POUR CELA ON COUPE DES CARRES DE X CM ET ON PLIE LE LONG DES POINTILLES.

1. POURQUOI X EST COMPRIS ENTRE O ET 1O .

car la largeur des deux carrés vaut 2x si x prend la valeur maximale de 10 les deux carrés se toucheront au delà ces deux carrés n’existeront pas.

2. QUELLE EST LA HAUTEUR DE LA BOITE .

La hauteur de la boîte vaut x cm.

3. CALCULER L’AIRE A(x) DU CARRE AU FOND DE LA BOITE EN CM² .

\(A(x)=(20-2x)(20-2x)\)

4. CALCULER LE VOLUME V(x) DE LA BOITE EN CM3 .

\(V(x)=x(20-2x)(20-2x)\)

5. REPRESENTER V(x) SUR UN GRAPHIQUE POUR LES VALEURS PRECEDENTES .

6. CONJECTURER LA VALEUR X POUR LAQUELLE LE VOLUME EST MAXIMUM .

Le volume de la boîte semble être maximal pour x ≈ 3,3 cm (le sommet de la courbe se situe entre 3 et 3,5) ; le volume vaut alors environ 592 cm³. Par exemple \(V(3)=3\times 14^2=588\) et \(V(3{,}5)=3{,}5\times 13^2=591{,}5\).

Exercice 4 :

Dire si les représentations graphiques données sont, oui ou non, des représentations de fonctions :

Tout antécédent pour une fonction possède une unique image : une droite verticale ne doit jamais couper la courbe en plus d’un point.

Le graphique 2 (un cercle) coupe certaines verticales en deux points ; le graphique 5 contient un segment vertical en x = 1, donc le nombre 1 aurait une infinité d’images ; le graphique 6 possède deux points d’abscisse 0 (le nombre 0 aurait deux images).

On en déduit que les courbes représentatives de fonctions sont les graphiques 1, 3 et 4 ; les graphiques 2, 5 et 6 ne représentent pas des fonctions.

Exercice 5 (fonctions 3e corrigé)

Roméo se trouve en R, Juliette en J.

Roméo doit aller cueillir une fleur sur le mur de roses [AB] et la porter à Juliette, le plus rapidement possible, donc par le chemin le plus court.

BR = 5 m , AJ = 3 m et AB = 10 m.

Déterminer la position du point M pour que son chemin emprunté soit le plus court.

Exprimons la longueur parcourue par Roméo :

Notons \(AM=x\) avec \(0\leq\, x\leq\, 10\)

Appliquons le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles JAM et MBR.

\(JM^2=JA^2+AM^2\) et \(MR^2=MB^2+BR^2\)

\(JM^2=3^2+x^2\) et \(MR^2=(10-x)^2+5^2\)

\(JM^2=x^2+9\) et \(MR^2=(10-x)^2+25\)

\(JM=\sqrt{x^2+9}\) et \(MR=\sqrt{(10-x)^2+25}\)

ainsi

\(\text{Longueur}=JM+MR\)

\(\text{Longueur}=\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(10-x)^2+25}\)

Pour la partie mathématique, on utilise Pythagore, les fonctions, les racines carrées, les fractions puis Thalès en utilisant le point J’ symétrique de J par rapport à A.

Comme M est sur la médiatrice de [JJ’], on a MJ = MJ’, donc le chemin RM + MJ est égal à RM + MJ’ : il est le plus court lorsque R, M et J’ sont alignés.

Le point M cherché est donc le point d’intersection des droites (RJ’) et (AB).

Les droites (AJ’) et (BR) sont toutes deux perpendiculaires à (AB), donc parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles MAJ’ et MBR : \(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AJ^{\prime}}{BR}=\dfrac{3}{5}\).

Ainsi \(5\times AM=3\times (10-AM)\), soit \(8\times AM=30\) et AM = 3,75 m.

La longueur minimale est alors \(RJ^{\prime}=\sqrt{10^2+(3+5)^2}=\sqrt{164}\approx 12{,}81\) m.

Voici la courbe lorsque l’on fait varier le point M correspondant aux variations de la longueur

parcourue par Roméo.

La courbe atteint bien son point le plus bas pour x = 3,75, avec une longueur d’environ 12,8 m (la capture ci-dessus affiche 13,4 m pour une autre position de M).

Exercice 6 :

Pour son chien, Aicko, Mr Martin souhaite réaliser un enclos rectangulaire, le long de son mur.

Il dispose de 21 m de grillage.

Il veut utiliser les 21 m de grillage et donner le maximum d’espace pour Aicko. 1) a. Quelle est la longueur de l’enclos si son maître choisit une largeur de 3 m ? de 7 m ?

Puis, \(L=21-2\times 3=15\,\text{ m}\) pour une largeur de 3 m.

\(L=21-2\times 7=7\,\text{ m}\) pour une largeur de 7 m.

b. Quelle est l’aire dont dispose alors Aicko pour se débattre dans ces deux cas ?

\(A=3\times 15=45\,\text{ m}^2\) pour une largeur de 3 m.

\(A=7\times 7=49\,\text{ m}^2\) pour une largeur de 7 m. 2) Mr Martin souhaite que son chien ait le maximum d’espace.

Notons x la largeur de l’enclos.

a. Donner un encadrement de x (quelles sont les largeurs minimales et maximales ? )

D’abord la largeur est un nombre positif donc \(x\geq\, 0\)

de plus la longueur doit être positive

ce qui équivaut à \(21-2x\geq\, 0\)

\(21\geq\, 2x\)

\(\dfrac{21}{2}\geq\, x\)

\(x\leq\, 10{,}5\,\text{ m}\)

Conclusion : x doit être compris entre 0 et 10,5 mètres.

b. Exprimer, en fonction de x, la longueur de l’enclos.

\(L=21-2x\)

c. Prouver alors que l’expression de l’aire de l’enclos en fonction de x est \(21x-2x^2\) .

\(A=l\times L =x\times (21-2x)=21x-2x^2\)

Remarque :

voici les variations de l’aire de la zone du chien lorsque l’on fait varier la largeur du rectangle :

Nous pourrions montrer que l’aire maximale est atteinte lorsque \(x=\dfrac{21}{4}=5{,}25\,\text{ m}\)

et que l’aire maximale de l’enclos est :

\(A_{max}=5{,}25\times (21-2\times 5{,}25)=55{,}125\,\text{ m}^2\)

de plus la longueur vaut

\(L=21-2\times 5{,}25=10{,}5\,\text{ m}\)

Exercice 7 (fonctions 3e corrigé)

a. ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm

donc la hauteur (AH) est également une médiatrice, on en déduit que H est le milieu de [BC] et BH = 2,5 cm.

Dans ABH rectangle en H d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AB^2=BH^2+HA^2\)

\(5^2=2{,}5^2+AH^2\)

\(AH^2=5^2-2{,}5^2\)

\(AH^2=25-6{,}25\)

\(AH^2=18{,}75\)

\(AH=\sqrt{18{,}75}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}33\)

La hauteur mesure \(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\) cm, soit environ 4,33 cm.

Aire du triangle : \(\mathcal{A}=\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{5\times \dfrac{5\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}\approx 10{,}83\)

L’aire vaut \(\dfrac{25\sqrt{3}}{4}\) cm², soit environ 10,83 cm².

b. Pour un côté x, on a \(BH=\dfrac{x}{2}\) et, avec le théorème de Pythagore :

\(AH^2=x^2-(\dfrac{x}{2})^2=x^2-\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{3x^2}{4}\)

\(AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,x\) (car x est positif).

c. L’aire vaut \(\dfrac{x\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}x}{2}\), donc \(f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\).

\(f(5)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 25=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}\approx 10{,}83\) (on retrouve le résultat du a.)

\(f(3)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 9=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\approx 3{,}90\)

\(f(\sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 3=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1{,}30\)

Exercice 8 :

On lit les images sur l’axe des ordonnées et les antécédents sur l’axe des abscisses.

\(x\)	\(-1{,}25\)	0	\(-1\)	−0,75
\(h(x)\)	0	\(1{,}5\)	0,75 (environ)	\(1{,}25\)

Exercice 9 (fonctions 3e corrigé)

Dans le tableau, un antécédent d’un nombre se lit sur la ligne des x, au-dessus de ce nombre.

a. Le nombre 3,5 a un seul antécédent : 5, car f(5) = 3,5.

b. Le nombre – 2 a deux antécédents : −1,5 et 2, car f(−1,5) = −2 et f(2) = −2.

c. Le nombre 2 n’apparaît pas dans la ligne des images : d’après le tableau, 2 n’a aucun antécédent.

Exercice 10 :

On a représenté ci-dessous :

· la droite d’équation y = x,

· la courbe représentative d’une fonction f définie sur [1 ; 8].

Les questions posées seront résolues par lecture graphique .

1. Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes :

		vrai ou faux
1.	1 a pour image 0 par la fonction f	VRAI
2.	0 a pour image 1 par la fonction f	FAUX
3.	7 est un antécédent de 4 par la fonction f	VRAI
4.	3 est un antécédent de 4 par la fonction f	VRAI
5.	f(3) = 4	VRAI
6.	f(2) = 5	FAUX
7.	f(3) > f(5)	VRAI
8.	2,5 a trois antécédents par la fonction f	VRAI
9.	0,5 a un seul antécédent par la fonction f	VRAI
10.	L’équation f(x) = 3 a au moins une solution dans l’intervalle [1 ; 8]	VRAI
11.	L’équation f(x) = x a au moins une solution dans l’intervalle [1 ; 8]	VRAI
12.	f est croissante sur l’intervalle [1 ; 8]	FAUX
13.	Si x appartient à l’intervalle [4 ; 5], alors f(x) > x	FAUX
14.	Si a et b appartiennent à l’intervalle [3 ; 5] et si a < b, alors f(a) < f(b)	FAUX

2. Résoudre graphiquement l’inéquation : f(x) – f(3) > 0. On donnera la solution sous forme d’un intervalle.

équivaut à f(x) > f(3)

équivaut à f(x) > 4

La courbe est strictement au-dessus de la droite horizontale d’ordonnée 4 seulement après x = 7.

L’ensemble solution est l’intervalle ]7 ; 8].

Exercice 11 (fonctions 3e corrigé)

1. a. On trace [FG] de 9 cm, puis on reporte au compas 5,4 cm depuis F et 7,2 cm depuis G : le point d’intersection des deux arcs est E.

b.

\(EM=\dfrac{2}{3}EF=\dfrac{2}{3}\times 5{,}4=3{,}6\,\text{ cm}\)

c. Les points E, M, F et E, N, G sont alignés et les droites (MN) et (FG) sont parallèles. En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

\(EN=EG\times \dfrac{EM}{EF}=7{,}2\times \dfrac{3{,}6}{5{,}4}=4{,}8\,\text{ cm}\)

d. Le plus grand côté est [FG]. On calcule séparément :

\(FG^2=9^2=81\) et \(EF^2+EG^2=5{,}4^2+7{,}2^2=29{,}16+51{,}84=81\)

Comme \(FG^2=EF^2+EG^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.

Le triangle EMN est donc lui aussi rectangle en E (M est sur [EF] et N sur [EG]) :

\(\mathcal{A}_{EMN}=\dfrac{EM\times EN}{2}=\dfrac{3{,}6\times 4{,}8}{2}=8{,}64\)

L’aire du triangle EMN vaut 8,64 cm².

2. a. M est sur le segment [EF], donc x est compris entre 0 et 5,4 : \(0\leq\, x\leq\, 5{,}4\).

b. Le théorème de Thalès donne toujours \(\dfrac{EN}{EG}=\dfrac{EM}{EF}\), soit \(EN=7{,}2\times \dfrac{x}{5{,}4}\), donc \(EN=\dfrac{4}{3}x\).

c. \(A(x)=\dfrac{EM\times EN}{2}=\dfrac{x\times \dfrac{4}{3}x}{2}\), donc \(A(x)=\dfrac{2}{3}x^2\).

d. Par lecture graphique : \(A(3{,}5)\approx 8\) (le calcul donne \(\dfrac{2}{3}\times 3{,}5^2\approx 8{,}17\)).

L’antécédent de 12 se lit en partant de 12 sur l’axe des ordonnées : il vaut environ 4,2 (le calcul donne \(x^2=18\), soit \(x=\sqrt{18}\approx 4{,}24\)).

Exercice 12 :

Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie Française :
. le thon Germon (variété de thon blanc)
. le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)
. le thon Obèse (variété de thon rouge)

1. Le graphique 1, page suivante, représente la taille du thon Germon en fonction de sa masse.
a. Est-ce que la taille du thon germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.

Non, la courbe n’est pas une droite passant par l’origine donc la taille de thon germon n’est pas proportionnelle à sa masse.

b. L’équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg.
Déterminer graphiquement, sa taille.

Sa taille est d’environ 100 cm.

c. L’équipe de Teiki a pris un thon germon de 70 cm. Déterminer graphiquement sa masse.

Sa masse est d’environ 7 kg.

2. La masse du thon Jaune représente en moyenne 17 % de la masse totale des trois espèces de thon
pêché.
Le graphique 2, page suivante, représente la masse de thon Jaune pêché par rapport à la masse totale
de thon pêché.
a. Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à la masse totale de thon pêché ? Justifier.

Oui car la courbe est une droite passant par l’origine du repère.

b. L’équipe de Moana a pêché 400 kg de thon. Calculer la masse de thon Jaune pêché.

\(400\times \dfrac{17}{100}=68\)

La masse de thon jaune pêché est de 68 kg.

Exercice 13 (fonctions 3e corrigé)

a) h(8) = 2 .

b) h(-1)=1 .

c) Les antécédents de 0 sont x = 3 et x = 7 .

d) h(-3) = 4 .

e) Les antécédents de – 2 sont x = 4 et x = 6 .

f ) Les antécédents de 2 sont x = -2 ; x = 0 ; x = 2 ; x = 8 .

Exercice 14 :

1 ) Non la vitesse n’a pas été constante puisque la courbe n’est pas une droite .

2) Oui le coureur s’est arrêté entre la 20e et la 25e minute (la distance reste égale à 3 km), soit pendant 5 minutes.

3 ) L’image de 5 est 1. Cela signifie qu’en 5 minutes, il a parcouru 1 km .

4) L’antécédent de 6 est 35. Cela signifie qu’il a parcouru 6 km en 35 minutes .

5) Cette ascension a débuté à la 10e minute : la courbe devient alors moins pentue, le coureur ralentit. Elle se termine à la 20e minute, quand la distance atteint 3 km. La longueur de cette côte est de 3 − 2 = 1 km.

6) Sur les 10 dernières minutes, la courbe est de plus en plus pentue : le coureur parcourt plus de distance par minute, il va plus vite que sa vitesse de 12 km/h sur terrain plat, ce qui laisse supposer qu’il est en descente.

7) Lors de la descente, en 10 minutes (de la 25e à la 35e minute), il a parcouru 6 − 3 = 3 km.

\(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{3000}{10}\)

\(v=300\text{ m/min}\)

\(v=300\times 60\text{ m/h}\)

\(v=18000\text{ m/h}\)

\(v=18\text{ km/h}\) sur les 10 dernières minutes.

Sur l’ensemble de la course : 6 km en 35 min, soit \(v=\dfrac{6}{35}\times 60=\dfrac{72}{7}\approx 10{,}3\text{ km/h}\).

La vitesse moyenne sur toute la course est d’environ 10,3 km/h.

Exercice 15 (fonctions 3e corrigé)

1) Par lecture graphique, \(V(6)\approx 400\).

2) \(V(6)=18\pi[(1+\dfrac{6}{6})^3-1]\)

\(V(6)=18\pi[2^3-1]\)

\(V(6)=18\pi\times 7\)

\(V(6)=126\pi\)

3) \(V(6)=126\pi\approx 395{,}84\), soit 396 à l’unité près.

4) Par lecture graphique, l’antécédent de 250 est tel que \(4\lt x\lt 5\) (on vérifie : \(V(4)\approx 205\) et \(V(5)\approx 292\)).

La compréhension des fonctions est essentielle pour un élève de 3ème. En effet, le chapitre sur les fonctions englobe des notions intéressantes et des méthodes de calculs pratiques et simples.

Exercice 16 :

Traduire à l’aide d’écritures simples les phrases suivantes (et réciproquement..) :

a. f(2) = 4

L’image de 2 par la fonction f est 4.

b. La courbe de la fonction f passe par le point A(4 ; −1).

L’image de 4 par la fonction f est – 1.

c. L’ordonnée du point d’abscisse 4 de la courbe C de g vaut 2.

L’image de 4 par la fonction g est 2.

d. La représentation graphique de la fonction h coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 3.

L’image de 0 par la fonction h est 3.

e. La courbe représentant la fonction k passe par l’origine.

L’image de 0 par la fonction k est 0.

f. La courbe C représentant la fonction g est au-dessus de l’axe des abscisses entre les points

d’abscisse −4 et 1.

Entre x=-4 et x=1, la fonction g est positive ou nulle.

Exercice 17 (fonctions 3e corrigé)

Dans le repère ci-dessous, on note f la fonction représentée par son graphe.

1.

1. Vérifier, en plaçant le point P (-7 ; -3) dans le repère, que celui-ci appartient bien à la courbe. Compléter alors la colonne du tableau ci-dessous correspondant à ce point.
2. Placer dans le repère le point Q appartenant à la courbe sachant que son abscisse est -2. Compléter la colonne du tableau correspondant à ce point.
3. Placer dans le repère le point R appartenant à la courbe sachant que son ordonnée est 8 et son abscisse négative. Compléter la colonne du tableau correspondant à ce point.
4. Placer dans le repère, deux points S et T de votre choix appartenant à la courbe. Compléter les colonnes du tableau correspondant à ces points.

Points	P	Q	R	S	T
Abscisse	x= -7	x = -2	x= -1	x = 4,5	x= 0
Ordonnée	y = -3	y= 4	y = 8	y= 0	y =12
Relation : f(x) = y	f (-7) =-3	f (-2) = 4	f (-1) = 8	f (4,5) = 0	f (0) = 12

De même, de même, également, 2. Résoudre les questions suivantes graphiquement (on laissera les traits de construction apparents ) .

1. Quelle est l’image de – 2 par f ? f(-2)=4

2. Quelle est la valeur de f (- 1 ) ?f(-1)=8

3. Quel(s) est l’antécédent de – 3 ?x= – 7, ainsi que deux autres antécédents situés environ en x = 5,1 et x = 6,2 (la courbe descend jusqu’à −4,5 environ entre 5 et 6).

4. Résoudre graphiquement f (x) =7 .x=-1,2 et x=3,5 (valeurs approchées)

5. Quel(s) nombre a pour image – 4 ? environ x = −7,1 ; x = 5,3 et x = 6,1 (trois antécédents lus graphiquement)

6. Quelle est la valeur de f ( – 5) ?f(-5)=2

Exercice 18 :

On lit les images sur l’axe des ordonnées et les antécédents sur l’axe des abscisses.

a. Le point de la courbe d’abscisse 0 est l’origine O : l’image de 0 est 0, soit f(0) = 0.

b. Le point de la courbe d’abscisse 4 a pour ordonnée 2 : f(4) = 2.

c. La courbe coupe l’axe des abscisses en quatre points : les antécédents de 0 sont −4 ; −2 ; 0 et 3.

d. On trace la droite horizontale d’ordonnée 1 : elle coupe la courbe en trois points. Les antécédents de 1 sont environ −1,7 ; −0,3 et 3,7.

Exercice 19 (fonctions 3e corrigé)

La courbe de g est une ligne brisée qui relie les points (−5 ; −3), (−3 ; −2), (−1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 1), (4 ; −1) et (6 ; 0).

a. g(0) = 1.

b. La droite horizontale d’ordonnée 1 coupe la courbe aux points d’abscisses 0 et 3 : les antécédents de 1 sont 0 et 3.

La droite d’ordonnée −2 ne coupe la courbe qu’en un point : l’antécédent de −2 est −3.

c. Les ordonnées des points de la courbe sont toutes comprises entre −3 et 2. Par exemple, le nombre 3 n’a pas d’antécédent (tout nombre supérieur à 2 ou inférieur à −3 convient).

d. Il faut une droite horizontale qui coupe trois fois la courbe : c’est le cas pour une ordonnée strictement comprise entre −1 et 0. Par exemple, −0,5 a trois antécédents : −1,5 ; 3,75 et 5.

Exercice 20 :

La machine calcule \(p(x)=(\dfrac{x}{4})^2\).

a. On entre 20 : le quart de 20 est \(20: 4=5\), puis \(5^2=25\). On obtient bien 25.

b. L’écriture \(p(-12)=9\) signifie que si l’on entre −12 dans la machine, on obtient 9 (9 est l’image de −12 par p ; −12 est un antécédent de 9).

Vérification : \((-12): 4=-3\) et \((-3)^2=9\). L’égalité est vraie.

Exercice 21 (fonctions 3e corrigé)

1. Les images se lisent directement dans les égalités :

a. h(−1) = 2 ; b. h(1) = −2 ; c. h(5) = 0.

2. a. h(0) = −2 et h(1) = −2 : 0 (ou 1) est un antécédent de −2.

b. h(−3) = 3 : −3 est un antécédent de 3.

c. h(5) = 0 : 5 est un antécédent de 0.

3. h(−1) = 2 et h(3) = 2 : −1 et 3 ont pour image 2 (un seul suffisait).

Exercice 22 :

On calcule l’image de chaque nombre avec \(g(x)=2x+3\) :

\(g(-1)=2\times (-1)+3=1\) : correct.

\(g(0)=2\times 0+3=3\) : Théo a écrit 5, c’est l’erreur.

\(g(2)=2\times 2+3=7\) : correct.

\(g(3)=2\times 3+3=9\) : correct.

Il faut remplacer 5 par 3 sous le nombre 0 : g(0) = 3.

Exercice 23 (fonctions 3e corrigé)

a. La courbe passe par des nœuds du quadrillage à ces âges : à 2 mois, le tigre mesure 20 cm ; à 9 mois, il mesure 60 cm.

b. La droite horizontale d’ordonnée 45 coupe la courbe vers l’abscisse 5,3 : le tigre mesure 45 cm à environ 5 mois (un peu plus de 5 mois).

La courbe atteint 80 cm tout à la fin du graphique : le tigre mesure 80 cm vers 20 mois (sa taille ne varie presque plus à partir de 14 mois, autour de 78 à 80 cm).

Exercice 24 :

1. a. Lecture exacte (points marqués d’une croix) : f(10) = 2 ; f(6) = 4 ; f(2) = 3.

b. La droite d’ordonnée 3 coupe la courbe en x = 2 et x = 8 : les antécédents de 3 sont 2 et 8.

La courbe ne passe à l’ordonnée 1 qu’au point (0 ; 1) : l’antécédent de 1 est 0.

2. a. Lecture approchée : f(1) ≈ 1,7 et f(5) ≈ 5,4.

b. Les antécédents de 2 sont environ 1,2 et 10 ; les antécédents de 5 sont environ 3,8 et 5,5.

Exercice 25 (fonctions 3e corrigé)

a. On choisit 5 : \(5+3=8\), puis \(8\times 2=16\). On obtient 16.

b. On choisit −4 : \(-4+3=-1\), puis \(-1\times 2=-2\). f(−4) = −2.

On peut aussi écrire \(f(x)=2(x+3)\), d’où \(f(-4)=2\times (-4+3)=-2\).

Exercice 26 :

Plusieurs réponses sont possibles ; en voici une pour chaque situation.

a. Le temps de cuisson dépend de la masse du rôti : la fonction qui, à la masse m (en kg), associe la durée de cuisson \(40\times m\) (en min). Par exemple, un rôti de 1,5 kg cuit 60 min.

b. Le prix payé dépend du volume d’essence : la fonction qui, au volume V (en L), associe le prix \(1{,}279\times V\) (en €).

c. Le coût dépend de la quantité de données consommées : la fonction qui, à la quantité q (en Mo), associe le prix \(0{,}05\times q\) (en €).

Exercice 27 (fonctions 3e corrigé)

a. « Ce graphique définit une fonction p qui, à l’âge de l’enfant (en mois), associe son poids (en kg). »

b. On lit l’ordonnée du point d’abscisse 4 : à 4 mois, l’enfant pesait 6 kg.

c. On lit les abscisses des points d’ordonnées 4 et 9 : l’enfant pesait 4 kg à 1 mois et 9 kg à 10 mois.

d. \(p(0)=3{,}3\) signifie qu’à la naissance (âge 0 mois), l’enfant pesait 3,3 kg.

Exercice 28 :

La courbe relie les points (−1,5 ; 1), (−1 ; 3), (0 ; 3), (0,5 ; 0), (1 ; −1) et (1,5 ; 2) ; sur l’axe des abscisses, un carreau vaut 0,5.

1. a. Les images se lisent sur l’axe des ordonnées.

b. Les antécédents se lisent sur l’axe des abscisses.

2. f(0,5) = 0 ; f(−1,5) = 1 ; f(0) = 3.

3. Les ordonnées des points de la courbe sont comprises entre −1 et 3.

a. 4 n’a aucun antécédent (la courbe ne monte jamais jusqu’à 4).

b. −1 a un seul antécédent : 1 (c’est le point le plus bas).

c. 0 a deux antécédents : 0,5 et un nombre situé entre 1 et 1,5.

d. 1 a trois antécédents : −1,5, un nombre entre 0 et 0,5, et un nombre entre 1 et 1,5.

4. Karim a raison : entre les abscisses −1 et 0, la courbe est un segment horizontal d’ordonnée 3. Tous les nombres compris entre −1 et 0 ont pour image 3, donc 3 a une infinité d’antécédents.

Exercice 29 :

La courbe passe par les points (−4 ; −2), (−2 ; 1), (0 ; 2), (2 ; 1) et (4 ; −2), marqués d’une croix.

a. g(2) = 1 et g(0) = 2.

b. La droite horizontale d’ordonnée −2 coupe la courbe en deux points : les antécédents de −2 sont −4 et 4.

Exercice 30 :

a. On lit la ligne g(x) sous le nombre choisi : g(2) = −2 ; g(−2) = 5 ; g(5) = 10.

b. On cherche le nombre dans la ligne g(x) et on lit au-dessus : −1 est un antécédent de 2 ; 2 est un antécédent de −2 ; −2 est un antécédent de 5.

c. Dans le tableau, g(10) = 12. Léa a tort : elle a lu le tableau à l’envers. En réalité g(−3) = 10, c’est-à-dire que −3 est un antécédent de 10 (et non l’image de 10).

d. On cherche les nombres dont l’image est 10 : a = −3 ou a = 5, car g(−3) = 10 et g(5) = 10.

Exercice 31 :

On calcule l’image de −4 : \(h(-4)=-7\times (-4)=28\).

Donc 28 est l’image de −4 : Justine a raison, et −4 est un antécédent de 28.

Laura se trompe : l’antécédent de −4 est le nombre x tel que \(-7x=-4\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{4}{7}\), et non 28. D’ailleurs \(h(28)=-196\).

Exercice 32 :

1. a. \(2^2=4\) ; \(4\times 5=20\) ; \(20+10=30\). Marc a raison, il obtient bien 30.

b. \(0{,}1^2=0{,}01\) ; \(0{,}01\times 5=0{,}05\) ; \(0{,}05+10=10{,}05\). Robin obtient 10,05.

2. a. On choisit x, son carré est \(x^2\), on multiplie par 5 puis on ajoute 10 : \(p(x)=5x^2+10\).

b. \(p(-1)=5\times (-1)^2+10=5+10=15\)

\(p(3)=5\times 3^2+10=45+10=55\)

\(p(0)=5\times 0^2+10=10\)

p(−1) = 15 ; p(3) = 55 ; p(0) = 10.

c. \(p(0{,}2)=5\times 0{,}2^2+10=5\times 0{,}04+10=0{,}2+10=10{,}2\). Donc 0,2 est bien un antécédent de 10,2.

Exercice 33 :

Les côtés de l’angle droit mesurent x et x + 2 ; l’aire d’un triangle rectangle est le demi-produit des côtés de l’angle droit.

a. \(A(3)=\dfrac{3\times (3+2)}{2}=\dfrac{15}{2}=7{,}5\). A(3) = 7,5 cm².

b. \(A(x)=\dfrac{x(x+2)}{2}\).

c. \(A(5)=\dfrac{5\times 7}{2}=\dfrac{35}{2}=17{,}5\). C’est vrai : 5 est un antécédent de 17,5.

Exercice 34 :

1. La cellule B1 contient le nombre x ; on saisit donc en B2 : =B1/5+1, puis on étend la formule vers la droite (elle devient =C1/5+1, =D1/5+1, …).

2. a. \(g(5)=\dfrac{5}{5}+1=2\) (on le lit aussi en F2). Vrai.

b. \(g(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}: 5+1=\dfrac{1}{10}+1=1{,}1\) et non 11. Faux.

c. \(g(3)=\dfrac{3}{5}+1=\dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{5}=\dfrac{8}{5}\). Vrai.

d. \(g(0)=\dfrac{0}{5}+1=1\) : 0 a pour image 1. Faux.

e. \(g(-2)=\dfrac{-2}{5}+1=0{,}6\), donc −2 est un antécédent de 0,6 et non de 15. Faux (l’antécédent de 15 est 70, car \(\dfrac{70}{5}+1=15\)).

Exercice 35 :

Question 1 : « la somme de 3 et du carré du nombre » s’écrit \(3+x^2\). Réponse b.

Question 2 : la seule abscisse dont l’ordonnée vaut 3 est 0 (point le plus haut), donc 3 a un seul antécédent, 0. Réponse b.

Question 3 : dans le tableau, sous 8 on lit 3, donc f(8) = 3. (La réponse a est fausse car f(12) = 8 : c’est 12 qui a pour image 8 ; la réponse b est fausse car f(4) = 0 : c’est 4 qui est un antécédent de 0.) Réponse c.

Question 4 : \(g(-4)=(-4)^2+2=16+2=18\). Réponse c.

Fonctions 3e corrigé : nos conseils pour progresser

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Fonction (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec les fonctions affines : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.