Corrigé des exercices de maths

Fonctions : corrigé des exercices en 3ème en PDF.


Lecture d’image et d’antécédent à partir de la courbe représentative d’une fonction. Exercices de maths en troisième (3ème) sur les généralités sur les fonctions.

Exercice 1 :

a. Nous avons h(0)= – 1.

b. Les nombres 2 et – 2 ont pour image 0 par la fonction f.

c. h(4)=3,5 et h(-3)=1,2 .

Parabole.

Exercice 2 :

Tableau de valeurs.

Exercice 3 :

UNE BOITE EST FABRIQUEE DANS UNE PLAQUE DE CARTON CARREE DE 20 CM DE COTE. POUR CELA ON COUPE DES CARRES DE X CM ET ON PLIE LE LONG DES POINTILLES.

1. POURQUOI X EST COMPRIS ENTRE O ET 1O .

car la largeur des deux carrés vaut 2x si x prend la valeur maximale de 10 les deux carrés se toucheront au delà ces deux carrés n’existeront pas.

Carré

2. QUELLE EST LA HAUTEUR DE LA BOITE .

La hauteur de la boîte vaut x cm.

3. CALCULER L’AIRE A(x) DU CARRE AU FOND DE LA BOITE EN CM² .

A(x)=(20-2x)(20-2x)

4. CALCULER LE VOLUME V(x) DE LA BOITE EN CM3 .

V(x)=x(20-2x)(20-2x)

5. REPRESENTER V(x) SUR UN GRAPHIQUE POUR LES VALEURS PRECEDENTES .

6. CONJECTURER LA VALEUR X POUR LAQUELLE LE VOLUME EST MAXIMUM .

Le volume de la boîte semble être maximal pour x = 3 cm .

Exercice 4 :

Dire si les représentations graphiques données sont, oui ou non, des représentations de fonctions :

Courbes.

Tout antécédent pour une fonction possède une unique image.

On en déduit que les courbes représentatives de fonctions sont les graphiques 1, 3,4 et 5.

Exercice 5 :

Roméo se trouve en R, Juliette en J.

Roméo doit aller cueillir une fleur sur le mur de roses [AB] et la porter à Juliette, le plus rapidement possible, donc par le chemin le plus court.

BR = 5 m , AJ = 3 m et  AB=10 .

Déterminer la position du point M pour que son chemin empreinté soit le plus court.

Exprimons la longueur parcourue par Roméo :

Notons AM=x avec 0\leq\, x\leq\, 10

Appliquons le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles JAM et MBR.

JM^2=JA^2+AM^2   et  MR^2=MB^2+BR^2

JM^2=3^2+x^2\\   et   MR^2=(10-x)^2+5^2

JM^2=x^2+9   et  MR^2=(10-x)^2+25

JM=\sqrt{x^2+9}  et  MR=\sqrt{(10-x)^2+25}

ainsi

Longueur=JM+MR

Longueur=\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(10-x)^2+25}

Pour la partie mathématique, on utilise Pythagore, les fonctions, les racines carrées, les fractions puis Thalès en utilisant le point J’ symétrique de J par rapport à A.

 (RJ’) \cap(AB)  donne tout de suite la position recherchée.

Voici la courbe lorsque l’on fait varier le point M correspondant aux variations de la longueur

parcourue par Roméo.

Roméo et Juliette.

Exercice 6 :

Pour son chien, Aicko, Mr Martin souhaite réaliser un enclos rectangulaire, le long de son mur.

Il dispose de 21 m de grillage.

Il veut utiliser les 21 m de grillage et donner le maximum d’espace pour Aicko. 1) a. Quelle est la longueur de l’enclos si son maître choisit une largeur de 3m ? de 7m ? 

L=21-2\times   3=15\,m pour une largeur de 3 m.

L=21-2\times   7=7\,m pour une largeur de 7 m.

  b. Quelle est l’aire dont dispose alors Aicko pour se débattre dans ces deux cas ? 

A=3\times   15=45\, m^2 pour une largeur de 3 m.

A=7\times   7=49\, m^2  pour une largeur de 7 m. 2) Mr Martin souhaite que son chien ait le maximum d’espace.

Notons x la largueur de l’enclos.

a. Donner un encadrement de x (quelles sont les largeurs minimales et maximales ? )

D’abord la largeur est un nombre positif donc  x\geq\, 0

de plus la longueur doit être positive

ce qui équivaut à 21-2x\geq\, 0

21\geq\,2x

\frac{21}{2}\geq\, x

x\leq\, 10,5\,m

Conclusion : x doit être compris entre 0 et 10,5 mètres.

b. Exprimer, en fonction de x, la longueur de l’enclos.

L=21-2x

c. Prouver alors l’expression de l’aire de l’enclos en fonction de x, est  21x-2x^2 .

A=l\times   L =x\times   (21-2x)=21x-2x^2

Remarque :

voici les variations de l’aire de la zone du chien lorsque l’on fait varier la largeur du rectangle :

Nous pourrions montrer que l’aire maximale est atteinte lorsque x=\frac{-21}{-4}=5,25\,m

et que l’aire maximale de l’enclos est :

A_{max}=5,25\times   (21-2\times   5,25)=55,125\,m^2

de plus la longueur vaut

L=21-2\times   5,25=10,5\,m

Exercice 7 :

Triangle.

a. ABC est un triangle équilatéral

donc la hauteur (AH) est également une médiatrice, on en déduit que H est le milieu de [BC].

Dans ABH rectangle en H d’après la partie directe du théorème de pythagore :

AB^2=BH^2+HA^2

5^2=BH^2+2,5^2

BH^2=5^2-2,5^2

BH^2=25-6,25

BH^2=18,75

{\color{DarkRed} BH=\sqrt{18,75}}

Exercice 8 :

Exercice 9 :

Le nombre 3,5 a deux antécédents.

Le nombre – 2 a deux antécédents.

Le nombre 2 a trois antécédents.

Tableau de valeurs.

Exercice 10 :

On a représenté ci-dessous :

·  la droite d’équation y = x,

·  la courbe représentative d’une fonction  f définie sur [1 ; 8].

Les questions posées seront résolues par   lecture graphique .

Courbe d'une fonction.

1.  Répondre par vrai ou faux  aux questions suivantes :

vrai ou faux

1. 1 a pour image 0 par la fonction  f     VRAI
2. 0 a pour image 1 par la fonction  f        FAUX
3. 7 est un antécédent de 4 par la fonction  f       VRAI
4. 3 est un antécédent de 4 par la fonction  f       VRAI
5. f(3) = 4     VRAI
6. f(2) = 5     FAUX
7. f(3) > f(5)     VRAI
8. 2,5 a trois antécédents par la fonction  f    VRAI
9. 0,5 a un seul antécédent par la fonction  f    VRAI
10. L’équation  f(x) = 3 a au moins une solution

dans l’intervalle [1 ; 8]

   VRAI
11. L’équation  f(x) = x a au moins une solution

dans l’intervalle [1 ; 8]

   VRAI
12. f est croissante sur l’intervalle [1 ; 8]    FAUX
13. Si x appartient à l’intervalle [4 ; 5], alors  f(x) > x     FAUX
14. Si a et b appartiennent à l’intervalle [3 ; 5] et si  a < b, alors  f(a) < f(b)    FAUX

2. Résoudre graphiquement l’inéquation : f(x) – f(3) > 0. On donnera la solution sous forme d’un intervalle.

équivaut à f(x) > f(3)

équivaut à   f(x) > 4

L’ensemble solution est l’intervalle ]7;8]

Exercice 11 :

1.

Figure géométrique.

b.

EM=\frac{2}{3}EF=\frac{2}{3}\times   5,4=3,6\,cm

c. En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

EN=EG\times   \frac{EM}{EF}=7,2\times   \frac{3,6}{5,4}=4,8\,cm

Exercice 12 :

Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie ançaise :
. le thon Germon (variété de thon blanc)
. le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)
. le thon Obèse (variété de thon rouge)

1. Le graphique 1, page suivante, représente la taille du thon Germon en fonction de Sa masse’
a. Est-ce que la taille du thon germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.

Non, la courbe n’est pas une droite passant par l’origine donc la taille de thon germon n’est pas proportionnelle à sa masse.

b. L’équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg.
Déterminer graphiquement, sa taille.

Sa taille est de 100 cm.

c. L’équipe de Teiki a pris un thon germon de 70 cm. Déterminer graphiquement sa masse.

Sa masse est de 7 kg.

2. La masse du thon Jaune représente en moyenne 17 %  de la masse totale des trois espèces de thon
pêché.
Le graphique 2, page suivante, représente la masse de thon Jaune pêché par rapport à la masse totale
de thon pêché.
a. Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à la masse totale de thon pêché ? Justifier.

Oui car la courbe est une droite passant par l’origine du repère.

b. L’équipe de Moana a pêché 400 kg de thon. Calculer la masse de thon Jaune pêché.

La masse de thon jaune pêché est de 69 kg.

Exercice 13 :

a) h(8) = 2 .

b) h(-1)=1 .

c) Les antécédents de 0 sont x = 3 et x = 7 .

d) h(-3) = 4 .

e) Les antécédents de – 2 sont x = 4 et x = 6 .

f ) Les antécédentes sont x = -2 ; x = 0 ; x = 2 ;  x = 8  .

Courbe de fonctions.

Exercice 14 :

1 ) Non la vitesse n’a pas été constante puisque la courbe n’est pas une droite .

2) Oui le coureur s’est arrêté entre la 20 et 25ème minute .

3 ) L’image de 5 est 1.Cela signifie qu’en 5 minutes, il a parcouru 1 km .

4) L’antécédent de 6 est 35.Cela signifie qu’il a parcouru 6 km en 35 minutes .

5) Cette ascension a débuté à la 10ème minute .La longueur de cette côté est de 2 km.

6) Car la courbe est de plus en plus verticale dont il parcourt plus de distance.

7) Lors de la descente, en 10 minutes, il a parcouru 3 km

Exercice 15 :

1) v(6)=400

2) v(6)=18\pi[(1+\frac{6}{6})-1]

v(6)=18\pi[(\frac{6}{6}+\frac{6}{6})-1]

v(6)=18\pi[2-1]

{\color{DarkRed} v(6)=18\pi}

3)v(6)=18\pi\simeq 57

4) L’antécédent de 250 est tel que 4< x< 5 .

v=\frac{d}{t}=\frac{3000}{10}

v=300m/min

v=300\times   60\,m/h

v=18000\,m/h

{\color{DarkRed} v=18\,km/h}

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