Fonctions et généralités : corrigé des exercices en 3ème en PDF.

Lecture d’image et d’antécédent à partir de la courbe représentative d’une fonction. Exercices de maths en troisième (3ème) sur les généralités sur les fonctions.

Exercice 1 :

a. Nous avons h(0)= – 1.

b. Les nombres 2 et – 2 ont pour image 0 par la fonction f.

c. h(4)=3,5 et h(-3)=1,2 .

Exercice 2 :

Exercice 3 :

UNE BOITE EST FABRIQUEE DANS UNE PLAQUE DE CARTON CARREE DE 20 CM DE COTE. POUR CELA ON COUPE DES CARRES DE X CM ET ON PLIE LE LONG DES POINTILLES.

1. POURQUOI X EST COMPRIS ENTRE O ET 1O .

car la largeur des deux carrés vaut 2x si x prend la valeur maximale de 10 les deux carrés se toucheront au delà ces deux carrés n’existeront pas.

2. QUELLE EST LA HAUTEUR DE LA BOITE .

La hauteur de la boîte vaut x cm.

3. CALCULER L’AIRE A(x) DU CARRE AU FOND DE LA BOITE EN CM² .

4. CALCULER LE VOLUME V(x) DE LA BOITE EN CM3 .

5. REPRESENTER V(x) SUR UN GRAPHIQUE POUR LES VALEURS PRECEDENTES .

6. CONJECTURER LA VALEUR X POUR LAQUELLE LE VOLUME EST MAXIMUM .

Le volume de la boîte semble être maximal pour x = 3 cm .

Exercice 4 :

Dire si les représentations graphiques données sont, oui ou non, des représentations de fonctions :

Tout antécédent pour une fonction possède une unique image.

On en déduit que les courbes représentatives de fonctions sont les graphiques 1, 3,4 et 5.

Exercice 5 :

Roméo se trouve en R, Juliette en J.

Roméo doit aller cueillir une fleur sur le mur de roses [AB] et la porter à Juliette, le plus rapidement possible, donc par le chemin le plus court.

BR = 5 m , AJ = 3 m et AB=10 .

Déterminer la position du point M pour que son chemin empreinté soit le plus court.

Exprimons la longueur parcourue par Roméo :

Notons avec $0\leq\, x\leq\, 10$

Appliquons le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles JAM et MBR.

$JM^2=3^2+x^2\\$ et

$JM=\sqrt{x^2+9}$ et $MR=\sqrt{(10-x)^2+25}$

ainsi

$Longueur=\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(10-x)^2+25}$

Pour la partie mathématique, on utilise Pythagore, les fonctions, les racines carrées, les fractions puis Thalès en utilisant le point J’ symétrique de J par rapport à A.

(RJ’) $\cap$ (AB) donne tout de suite la position recherchée.

Voici la courbe lorsque l’on fait varier le point M correspondant aux variations de la longueur

parcourue par Roméo.

Exercice 6 :

Pour son chien, Aicko, Mr Martin souhaite réaliser un enclos rectangulaire, le long de son mur.

Il dispose de 21 m de grillage.

Il veut utiliser les 21 m de grillage et donner le maximum d’espace pour Aicko. 1) a. Quelle est la longueur de l’enclos si son maître choisit une largeur de 3m ? de 7m ?

$L=21-2\times 3=15\,m$ pour une largeur de 3 m.

$L=21-2\times 7=7\,m$ pour une largeur de 7 m.

b. Quelle est l’aire dont dispose alors Aicko pour se débattre dans ces deux cas ?

$A=3\times 15=45\, m^2$ pour une largeur de 3 m.

$A=7\times 7=49\, m^2$ pour une largeur de 7 m. 2) Mr Martin souhaite que son chien ait le maximum d’espace.

Notons x la largueur de l’enclos.

a. Donner un encadrement de x (quelles sont les largeurs minimales et maximales ? )

D’abord la largeur est un nombre positif donc $x\geq\, 0$

de plus la longueur doit être positive

ce qui équivaut à $21-2x\geq\, 0$

$21\geq\,2x$

$\frac{21}{2}\geq\, x$

$x\leq\, 10,5\,m$

Conclusion : x doit être compris entre 0 et 10,5 mètres.

b. Exprimer, en fonction de x, la longueur de l’enclos.

c. Prouver alors l’expression de l’aire de l’enclos en fonction de x, est .

$A=l\times L =x\times (21-2x)=21x-2x^2$

Remarque :

voici les variations de l’aire de la zone du chien lorsque l’on fait varier la largeur du rectangle :

Nous pourrions montrer que l’aire maximale est atteinte lorsque $x=\frac{-21}{-4}=5,25\,m$

et que l’aire maximale de l’enclos est :

$A_{max}=5,25\times (21-2\times 5,25)=55,125\,m^2$

de plus la longueur vaut

$L=21-2\times 5,25=10,5\,m$

Exercice 7 :

a. ABC est un triangle équilatéral

donc la hauteur (AH) est également une médiatrice, on en déduit que H est le milieu de [BC].

Dans ABH rectangle en H d’après la partie directe du théorème de pythagore :

${\color{DarkRed} BH=\sqrt{18,75}}$

Exercice 8 :

Exercice 9 :

Le nombre 3,5 a deux antécédents.

Le nombre – 2 a deux antécédents.

Le nombre 2 a trois antécédents.

Exercice 10 :

On a représenté ci-dessous :

· la droite d’équation y = x,

· la courbe représentative d’une fonction f définie sur [1 ; 8].

Les questions posées seront résolues par lecture graphique .

1. Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes :

		vrai ou faux
1.	1 a pour image 0 par la fonction f	VRAI
2.	0 a pour image 1 par la fonction f	FAUX
3.	7 est un antécédent de 4 par la fonction f	VRAI
4.	3 est un antécédent de 4 par la fonction f	VRAI
5.	f(3) = 4	VRAI
6.	f(2) = 5	FAUX
7.	f(3) > f(5)	VRAI
8.	2,5 a trois antécédents par la fonction f	VRAI
9.	0,5 a un seul antécédent par la fonction f	VRAI
10.	L’équation f(x) = 3 a au moins une solution dans l’intervalle [1 ; 8]	VRAI
11.	L’équation f(x) = x a au moins une solution dans l’intervalle [1 ; 8]	VRAI
12.	f est croissante sur l’intervalle [1 ; 8]	FAUX
13.	Si x appartient à l’intervalle [4 ; 5], alors f(x) > x	FAUX
14.	Si a et b appartiennent à l’intervalle [3 ; 5] et si a < b, alors f(a) < f(b)	FAUX

2. Résoudre graphiquement l’inéquation : f(x) – f(3) > 0. On donnera la solution sous forme d’un intervalle.

équivaut à f(x) > f(3)

équivaut à f(x) > 4

L’ensemble solution est l’intervalle ]7;8].

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Exercice 11 :

$EM=\frac{2}{3}EF=\frac{2}{3}\times 5,4=3,6\,cm$

c. En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

$EN=EG\times \frac{EM}{EF}=7,2\times \frac{3,6}{5,4}=4,8\,cm$

Exercice 12 :

Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie ançaise :
. le thon Germon (variété de thon blanc)
. le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)
. le thon Obèse (variété de thon rouge)

1. Le graphique 1, page suivante, représente la taille du thon Germon en fonction de Sa masse’
a. Est-ce que la taille du thon germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.

Non, la courbe n’est pas une droite passant par l’origine donc la taille de thon germon n’est pas proportionnelle à sa masse.

b. L’équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg.
Déterminer graphiquement, sa taille.

Sa taille est de 100 cm.

c. L’équipe de Teiki a pris un thon germon de 70 cm. Déterminer graphiquement sa masse.

Sa masse est de 7 kg.

2. La masse du thon Jaune représente en moyenne 17 % de la masse totale des trois espèces de thon
pêché.
Le graphique 2, page suivante, représente la masse de thon Jaune pêché par rapport à la masse totale
de thon pêché.
a. Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à la masse totale de thon pêché ? Justifier.

Oui car la courbe est une droite passant par l’origine du repère.

b. L’équipe de Moana a pêché 400 kg de thon. Calculer la masse de thon Jaune pêché.

La masse de thon jaune pêché est de 69 kg.

Exercice 13 :

a) h(8) = 2 .

b) h(-1)=1 .

c) Les antécédents de 0 sont x = 3 et x = 7 .

d) h(-3) = 4 .

e) Les antécédents de – 2 sont x = 4 et x = 6 .

f ) Les antécédentes sont x = -2 ; x = 0 ; x = 2 ; x = 8 .

Exercice 14 :

1 ) Non la vitesse n’a pas été constante puisque la courbe n’est pas une droite .

2) Oui le coureur s’est arrêté entre la 20 et 25ème minute .

3 ) L’image de 5 est 1.Cela signifie qu’en 5 minutes, il a parcouru 1 km .

4) L’antécédent de 6 est 35.Cela signifie qu’il a parcouru 6 km en 35 minutes .

5) Cette ascension a débuté à la 10ème minute .La longueur de cette côté est de 2 km.

6) Car la courbe est de plus en plus verticale dont il parcourt plus de distance.

7) Lors de la descente, en 10 minutes, il a parcouru 3 km

Exercice 15 :

2) $v(6)=18\pi[(1+\frac{6}{6})-1]$

$v(6)=18\pi[(\frac{6}{6}+\frac{6}{6})-1]$

$v(6)=18\pi[2-1]$

${\color{DarkRed} v(6)=18\pi}$

3) $v(6)=18\pi\simeq 57$

4) L’antécédent de 250 est tel que 4< x< 5 .

$v=\frac{d}{t}=\frac{3000}{10}$

$v=300\times 60\,m/h$

$v=18000\,m/h$

${\color{DarkRed} v=18\,km/h}$

Voir Corrigés 11 à 14...

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