Exercice 1:
Développer en utilisant les identités remarquables :
Exercice 2 :
On donne A = (3x-5) (6-4x)-5(8-6x)
1) Développer et réduire A .
2) Calculer la valeur exacte de A si ; donner ensuite la valeur arrondie au centième .
Exercice 3 :
Développer et réduire les expressions suivantes :
Exercice 4 :
Développer, puis réduire, si possible, chaque expression :
Exercice 5 :
Calculer sans calculatrice et sans poser d’opérations :
1. 101²=(100+1)²=100²+2x100x1+1²=10 000+ 200 +1= 10 201
2. 103²=(100+3)²=100²+2x3x100+3²=10 000 + 600 + 9= 10 609
3. 98²=(100-2)²=100²-2x100x2+2²=10 000 – 400 + 4= 9 604
4. 101×99=(100+1)(100-1)=100²-1²= 9 999
Exercice 6 :
Développer les expressions littérales suivantes :
Exercice 7 :
Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes:
a) (x-1)²= x²-2x+1
b) (x+4)²= x²+8x+16
c) (2x+1)²=4x²+4x+1
d) (7x-1)(7x+1)=49x²-1
e) (4x-1)(3x+7)=12x²+28x-3x-7=12x²+25x-7
f) (-x+1)(3x-2)=-3x²+2x+3x-2=-3x²+5x-2
g) (1/2+x)²=
h) (x-4)²+(x+2)(x+3)=x²-8x+16+x²+3x+2x+6=2x²-3x+22
i) (5x-3)(2x+1)-(x+1)²= ?
Exercice 8 :
Développer et réduire les expressions suivantes :
Exercice 9:
Développer à l’aide des identités remarquables
et réduire les expressions :
Exercice 10:
Factoriser les expressions littérales suivantes :
Exercice 11 :
Factoriser les expressions suivantes :
Exercice 12 :
On considère l’expression :
1. Factoriser D.
2. Développer et réduire D.
3. Calculer D pour x = – 1 .
Exercice 13 :
On considère l’expression :
1. Développer et réduire l’expression E.
2. Factoriser E.
3. Calculer E pour x = – 2.
Exercice 14 :
Soit l’expression suivante :
1. Développer et réduire l’expression B.
2. Calculer l’expression B pour :
a. a=1;
b. a=0,75;
c. a=0 .
Exercice 15 :
Factoriser les expressions littérales suivantes :
Exercice 16 :
Factoriser les expressions littérales suivantes :
Exercice 17:
Factoriser les expressions suivantes :
Exercice 18 :
Factoriser les expressions suivantes :
Exercice 19 :
Développer les expressions suivantes :
puis factoriser-les.
Exercice 20 :
1. Factoriser :
a. 9-12x+4x²=(3-2x)² .
b. (3-2x)²-4 =(3-2x-2)(3-2x+2)=(1-2x)(5-2x).
2. En déduire une factorisation de : E = (9-12x+4x²)-4 =(3-2x)²-4=(1-2x)(5-2x).
Exercice 21 :
On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .
a) Calculer E et F pour x = 4.
b) Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont−ils surprenants ?
Les résultats précédents ne sont pas étonnant puisque E=F pour tout nombre relatif x.
c) Avec un tableur :
On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E pour les valeurs de x inscrites en colonne A.
Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ?
(la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)
Exercice 22 :
On considère l’expression .
1) Développer et réduire D.
2) Factoriser D.
3) Résoudre l’équation .
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
4) Calculer la valeur exacte de D quand .
Prenons la forme développée et réduite de la question 1.
.
Exercice 23 :
1. Factoriser ces expressions :
A=36-25x²=(6+5x)(6-5x)
B=100+60x+9x²=(10+3x)²
C=b²-10b²+25=25-9b²=(5-3b)(5+3b)
E=(2-x)²+(2-x)(9-x)=4-4x+x²+18-2x-9x+x²=2x²-15x+22
2. Développer les expressions littérales suivantes :
A=(2x-5)²=4x²-20x+25
B=(5x-3)(5x+3)=25x²-9
C=(-3x+5)²=9x²-30x+25
D=(-6x+9)²=36x²-108x+81
Exercice 24 :
1. Développer puis réduire A.
2. Factoriser A.
3. Résoudre l’équation : (2x – 3)(-x + 2) = 0
Exercice 25 :
On donne : D = (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)².
1. Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s’écrire :
2. Résoudre l’équation : (2x – 3)(7x + 1) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si
l’un des facteurs, au moins, est nul.
Exercice 26 :
Soit E=(3x+2)²-(3x+2)(x+7) .
a) Dévelloper et réduire E .
E=9x²+12x+4-(3x²+21x+2x+14)=9x²+12x+4-3x²-23x-14= 6x²-11x-10
b) Factoriser E .
E=(3x+2)(3x+2)-(3x+2)(x+7)=(3x+2)[3x+2-(x+7)]=(3x+2)(3x+2-x-7)= (3x+2)(2x-5)
c) Calculer E pour .
E=(3x+2)(2x-5)
Exercice 27 :
Compléter en utilisant les identités remarquables .
A= (3x+5)²=9x²+30x+25
B= (2x-6)²=4x²-24x+36
C=(2x-4)² = 4x²-16y+16
D= 49a²+70a+25 = (7a+5)²
E = 4x²-1= (2x–1)(2x+1)
Exercice 28 :
A = (X + 5) ²
A = X²+2x5xX+5²
A = X²+10X+25
B = (3X – 7) ²
B = (3X)²-2x7x3X+7²
B = 9X²-42X+49
C = (X + 4) (X – 4)
C = X²-4²
C = X²-16
D = (9b + 7) ²
D = (9b)²+2x7x9b+7²
D = 81b²+126b+49
E = (7X + 1) (7X – 1)
E = (7X)²-1²
E = 49X²-1
Exercice 29 :
Factoriser à l’aide des identités remarquables.
A = X² + 6X + 9
A= X²+2x3xX+3²
A= (X+3)²
B = 9X² – 12X + 4
B= (3X)²-2x3Xx2+2²
B= (3X-2)²
C = y² – 9
C= y²-3²
C= (y-3)(y+3)
D = 16a² – 81
D= (4a)²-9²
D= (4a-9)(4a+9)
E = 49a² +70x +25
E= (7a)²+2x7ax5+5²
E= (7a+5)²
F = 144 – 121a²
F= 12²-(11a)²
F= (12-11a)(12+11a)
G = (2X + 5)² – 9
G= (2X + 5)² – 3²
G= (2X+5+3)(2X+5-3)
G= (2X+8)(2X+2)
H = (2X + 1)² – (3X + 5)²
H= (2X+1+3X+5)(2X+1-3X-5)
H= (5X+6)(-X-4)
Exercice 30 :
A = 102²
A= (100+2)²
A= 100²+2x100x2+2²
A= 10 000+400+4
A= 10 404
B = 99×101
B= (100-1)(100+1)
B= 100²-1²
B= 10 000-1
B = 9 999
C = 99²
C= (100-1)²
C= 100²-2x100x1+1²
C= 10 000-200+1
C = 9 801
Exercice 31 :
1. Exprimer l’aire A en fonction de x .
A=9×4-0,5xXx2X
A=36-X²
A=6²-X²
A=(6-X)(6+X)
2. Exprimer l’aire B en fonction de x .
B = 8×6-0,5x2Xx8
B = 48-8X
B = 8(6-X)
3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux aires sont-elles égales ?
A = B
équivaut à
(6-X)(6+X) = 8(6-X)
(6-X)(6+X)-8(6-X) = 0
(6-X)(6+X-8) = 0
(6-X)(X-2) = 0
C’est une équation produit.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
6-X=0 ou X-2=0
X=6 ou X=2
Conclusion :
Les aires des figures A et B sont égales pour X = 2 m ou X = 6 m.
Exercice 32 :
On donne E = (2X+3)² – 16.
1. E = (2X)²+2x2Xx3+3²-16
E = 4X²+12X+9-16
E = 4X²+12X-7
2.
Pour X = 2 : E = 4×2²+12×2-7=16+24-7 = 33.
Pour X= 1 : E = 4×1²+12×1-7 = 4+12-7 = 16-7= 9.
3.
E = (2X+3-4)(2X+3+4)
E = (2X-1)(2X+7)
4. E = 4X²+14X-2X+7 = 4X²+12X-7
Nous retrouvons le résultat de la question 1. (et heureusement…..)
Exercice 33 :
1. Calculer A et B en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles .
.
2. On considère l’expression :
a. Développer et réduire C .
b. Factoriser l’expression C .
c. résoudre l’équation : (2x-5)(2-x)=0 .
Les solutions sont
Exercice 36 :
On donne un programme de calcul :
1. Choisir un nombre.
2. Lui ajouter 4.
3.Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.
4. Ajouter 4 à ce produit.
5. Ecrire le résultat .
1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme
avec le nombre – 2 alors on obtient 0.
1) -2
2) -2+4=2
3) 2x(-2)=-4
4)-4+4=0
5) 0
2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
1)5
2)5+4=9
3)9×5=45
4)45+4=49
5) 49
3. On note x le nombre choisi
Quelle est l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme.
1)
2)
3)
4)
Donner le résultat sous forme développé.
Exercice 38 :
Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.
On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M au trois côtés du triangle.
En utilisant geogebra, on s’apercoit que MD+ME+MF est constante.
Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimale ?
Exercice 39 :
Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.
Détaillez votre méthode.
Solutions :
Par le calcul :
L’aire vaut donc l’aire du carré à construire doit avoir comme valeur .
Son côté a donc pour longueur .
donc Il suffit de prendre comme côté la longueur de la diagonale du carré de départ .
Géométrique :
soit par découpage ou par construction :
Exercice 40 :
Jacques a fait construire une piscine rectangulaire .
Il a carrelé le bord de cette piscine .
Les longueurs sont exprimées en mètre .
1) Exprimer en fonction de l’aire de la surface de la piscine .
La longueur de la piscine est .
La largeur de la piscine est
2) Exprimer en fonction de l’aire de la surface carrelée .
4) Calculer les aires et pour x=2 m .
Exercice 42 :
1) Résoudre l’inéquation : et représenter les solutions sur une droite graduée.
L’ensemble solution correspond à tous les nombres relatifs supérieurs ou égaux à 4.
2) x désignant un nombre supérieur ou égal à 4,
ABCD est un carré dont le côté mesure 2x – 3.
a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :
L’aire grisée correspond à l’aire du carré ABCD privée de l’aire du rectangle AFED.
b. Développer et réduire A.
c. Factoriser A.
d. Résoudre l’équation : (2x – 3)(x – 4) = 0
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
ou
ou
e. Pour quelles valeurs de x, l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier .
L’aire de BCFE est nulle pour ou .
Exercice 43 :
On donne le programme de calcul suivant :
– Choisir un nombre.
– Ajouter 1.
– Calculer le carré du résultat obtenu.
– Soustraire le carré du nombre de départ.
– Soustraire 1.
1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.
b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.
c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.
2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?
Le résultat est le double du nombre de départ
Démontrer cette conjecture.
Notons x le nombre de départ.
Le programme de calcul nous donne l’expression littérale suivante :
Exercice 44 :
Riyanne affirme :
« Pour tout nombre entier N l’expression de est toujours différente de zero ».
C’est vrai car ( le carré d’un nombre est toujours positif ou nul)
On peut même affirmer que pour tout nombre relatif, cette expression est supérieure ou égale à 140.
Exercice 45 :
Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à
L’aire de la couronne correspond à l’aire du grand disque privée de l’aire du petit disque.
utilisons l’identité remarquable
Exercice 46:
1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de x .
Figure orange :
Figure verte :
2. Que remarque-t-on ?
Ces deux figures ont exactement la même aire.
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