Calcul littéral : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Exercice 1 (calcul littéral corrigé)

Développer en utilisant les identités remarquables :

\(a=(3x+5)^2\)
\(a=9x^2+30x+25.\)
\(b=(5+x)^2\)
\(b=25+10x+x^2.\)
\(c=(8x+2)^2\)
\(c=64x^2+32x+4.\)
\(d=(x+1)^2\)
\(d=x^2+2x+1.\)
\(e=(2-3x)^2\)
\(e=4-12x+9x^2.\)
\(f=(3x+1)(3x-1)\)
\(f=9x^2-1\)

Exercice 2 :

On donne A = (3x-5) (6-4x)-5(8-6x)

1) Développer et réduire A .

\(A=18x-12x^2-30+20x-40+6x\)

\(A=-12x^2+44x-70\)

2) Calculer la valeur exacte de A si \(x=-5\sqrt{6}\) ; donner ensuite la valeur arrondie au centième .

\(A=-12\times (-5\sqrt{6})^2+44\times (-5\sqrt{6})-70\)

\(A=-12\times 25\times 6-220\sqrt{6}-70\)

\(A=-1800-220\sqrt{6}-70\)

\(A=-1870-220\sqrt{6}\) (valeur exacte)

\(A\approx -2408{,}89\) (valeur arrondie au centième)

Exercice 3 (calcul littéral corrigé)

Développer et réduire les expressions suivantes :

\(A=5(x+2)=5x+10\)
\(B=7(x-3)+2x-1=7x-21+2x-1=9x-23\)
\(C=-4(2x-1)+(x+3)=-8x+4+x+3=-7x+7\)
\(D=(x-5)(2x+1)=2x^2+x-10x-5=2x^2-9x-5\)
\(E=(2x-1)(-3x+7)+4x^2-1\)
\(=-6x^2+14x+3x-7+4x^2-1\)
\(=-2x^2+17x-8\)
\(F=8x+3-4(x-2)(x+2)+3x^2\)
\(=8x+3-4(x^2-4)+3x^2\)
\(=8x+3-4x^2+16+3x^2\)
\(=-x^2+8x+19\)

Exercice 4 :

Développer, puis réduire, si possible, chaque expression :

\(A = 2x(x + 3)=2x^2+6x\)
\(B = -7y^2(-5- 2y^2)=35y^2+14y^4\)
\(C = (x + 5)(x + 1)=x^2+x+5x+5=x^2+6x+5\)
\(D = (2x – 5) (x + 4)=2x^2+8x-5x-20=2x^2+3x-20\)
\(E = 3x^2+2x+3-(4x^2+5x+9)\)
\(=3x^2+2x+3-4x^2-5x-9\)
\(=-x^2-3x-6\)
\(F = (x + 4)(x – 6) + (-1 + x)(x – 7)\)
\(=x^2-6x+4x-24-x+7+x^2-7x\)
\(=2x^2-10x-17\)
\(G = -3(a^2 + 2) -(a -3)(2a + 7)\)
\(=-3a^2-6-(2a^2+7a-6a-21)\)
\(=-3a^2-6-2a^2-7a+6a+21\)
\(=-5a^2-a+15\)
\(H = 4 -(2x + 1)^2\)
\(=4-(4x^2+4x+1)\)
\(=4-4x^2-4x-1\)
\(=-4x^2-4x+3\)

Exercice 5 (calcul littéral corrigé)

Calculer sans calculatrice et sans poser d’opérations :

1. 101²=(100+1)²=100²+2x100x1+1²=10 000+ 200 +1= 10 201

2. 103²=(100+3)²=100²+2x3x100+3²=10 000 + 600 + 9= 10 609

3. 98²=(100-2)²=100²-2x100x2+2²=10 000 – 400 + 4= 9 604

4. 101×99=(100+1)(100-1)=100²-1²= 9 999

Exercice 6 :

Développer les expressions littérales suivantes :

\(A = (x + 5)(x + 2)=x^2+7x+10\)
\(B = (x + 1)(x – 3)=x^2-2x-3\)
\(C = (2x + 3)(x + 4)=2x^2+11x+12\)
\(D = (2x + 1)(3x + 4)=6x^2+11x+4\)
\(E = (3x + 5)(3x -5)=9x^2-25\)
\(F = (5 – 2x)(3 + 4x)=-8x^2+14x+15\)

Exercice 7 (calcul littéral corrigé)

Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes:

a) (x-1)²= x²-2x+1

b) (x+4)²= x²+8x+16

c) (2x+1)²=4x²+4x+1

d) (7x-1)(7x+1)=49x²-1

e) (4x-1)(3x+7)=12x²+28x-3x-7=12x²+25x-7

f) (-x+1)(3x-2)=-3x²+2x+3x-2=-3x²+5x-2

g) (1/2+x)²= \(\frac{1}{4}+x+x^2\)

h) (x-4)²+(x+2)(x+3)=x²-8x+16+x²+3x+2x+6=2x²-3x+22

i) (5x-3)(2x+1)-(x+1)²=10x²+5x-6x-3-(x²+2x+1)=10x²-x-3-x²-2x-1=9x²-3x-4

Exercice 8 :

Développer et réduire les expressions suivantes :

\(A=12x^2+(4x+5)^2\)
\(A=12x^2+(16x^2+40x+25)\)
\(A = 28x^2+40x+25\)

\(B=7x-(6x+2)^2\)
\(B=7x-(36x^2+24x+4)\)
\(B=7x-36x^2-24x-4\)
\(B=-36x^2-17x-4\)

\(C=-16x^2-(4x+1)(4x-1)\)
\(C=-16x^2-(16x^2-1)\)
\(C=-16x^2-16x^2+1\)
\(C=-32x^2+1\)

\(D=(6x-4)^2+(2x-6)^2\)
\(D=(36x^2-48x+16)+(4x^2-24x+36)\)
\(D=40x^2-72x+52\)

Exercice 9 (calcul littéral corrigé)

Développer à l’aide des identités remarquables

et réduire les expressions :

\(A=(y+3)^2=y^2+2\times y\times 3+3^2= y^2+6y+9\)

\(B=(1+t)^2=1^2+2\times 1\times t+t^2=1+2t+t^2\)

\(C=(7-y)^2=7^2-2\times 7\times y+y^2= 49-14y+y^2\)

\(D=(3x-10)^2=(3x)^2-2\times 3x\times 10+10^2= 9x^2-60x+100\)

\(E=(7-2y)(7+2y)=7^2-(2y)^2= 49-4y^2\)

\(F=(7a+4)^2=(7a)^2+2\times 7a\times 4+4^2= 49a^2+56a+16\)

Exercice 10:

Factoriser les expressions littérales suivantes :

\(m = (3x – 5)(2x + 1)-(3x – 5)(x + 4)\)
\(m=(3x-5)[(2x+1)-(x+4)]\)
\(m=(3x-5)(2x+1-x-4)\)
\(m=(3x-5)(x-3)\)
\(n = (5x -2)(2x + 3) + (2x + 3)(7x + 2)\)
\(n=(2x + 3) [(5x-2)+(7x+2)]\)
\(n=(2x+3)(5x-2+7x+2)\)
\(n=(2x+3)(12x)\)
\(n=12x(2x+3)\)
\(p = (3x – 2)^2- (3x – 2)(5 – 2x)\)
\(p=(3x-2)(3x-2-(5-2x))\)
\(p=(3x-2)(3x-2-5+2x)\)
\(p=(3x-2)(5x-7)\)
\(s = (2x – 3)^2 – (5x + 4)^2\)
\(s=(2x-3-5x-4)(2x-3+5x+4)\)
\(s=(-3x-7)(7x+1)\)

\(q=(8-2x)^2+(3-x)(8-2x)=(8-2x)[(8-2x)+(3-x)]=(8-2x)(11-3x)\)

\(r=(5-x)(3x+2)-(5-x)^2=(5-x)[(3x+2)-(5-x)]=(5-x)(4x-3)\)

\(t=(3x-1)^2-(8x+2)^2=[(3x-1)-(8x+2)][(3x-1)+(8x+2)]=(-5x-3)(11x+1)\)

Exercice 11 (calcul littéral corrigé)

Factoriser les expressions suivantes :

\(A =(3x + 2)(5x-2) + (3x + 2)(x – 8)\)
\(A=(3x+2)[(5x-2)+(x-8)]\)
\(A=(3x+2)(5x+x-2-8)\)
\(A=(3x+2)(6x-10)\)
\(B =49x^2 + 56x + 16\)
\(B=(7x)^2+2\times 7x\times 4+4^2\)
\(B=(7x+4)^2\)
\(C =4x^2 – 8x + 4 – (2x – 2)(-3x + 9)\)
\(C=(2x)^2-2\times 2x\times 2+2^2-(2x-2)(-3x+9)\)
\(C=(2x-2)^2-(2x-2)(-3x+9)\)
\(C=(2x-2)[(2x-2)-(-3x+9)]\)
\(C=(2x-2)(2x-2+3x-9)\)
\(C=(2x-2)(5x-11)\)

Exercice 12 :

On considère l’expression :

\(D=(x-2)^2-2(x-2)\)

1. Factoriser D.

\(D=(x-2)[(x-2)-2]\)

\(D=(x-2)(x-4)\)

2. Développer et réduire D.

\(D=(x-2)(x-4)\)

\(D=x^2-4x-2x+8\)

\(D=x^2-6x+8\)

3. Calculer D pour x = 1 .

\(D=1^2-6\times 1+8\)

\(D=1-6+8\)

\(D=3\)

Exercice 13 (calcul littéral corrigé)

On considère l’expression :

\(E=(3x+2)^2-(5-2x)(3x+2)\)

1. Développer et réduire l’expression E.

\(E=(3x+2)^2-(5-2x)(3x+2)\)

\(E=(3x)^2+2\times 3x\times 2+2^2-(5\times 3x+5\times 2-2x\times 3x-2x\times 2)\)

\(E=9x^2+12x+4-(15x+10-6x^2-4x)\)

\(E=9x^2+12x+4-15x-10+6x^2+4x\)

\(E=15x^2+x-6\)

2. Factoriser E.

\(E=(3x+2)^2-(5-2x)(3x+2)\)

\(E=(3x+2)[(3x+2)-(5-2x)]\)

\(E=(3x+2)(3x+2-5+2x)\)

\(E=(3x+2)(5x-3)\)

3. Calculer E pour x = – 2.

\(E=(3\times (-2)+2)(5\times (-2)-3)\)

\(E=(-6+2)(-10-3)\)

\(E=(-4)\times (-13)\)

\(E=52\)

Exercice 14 :

Soit l’expression suivante :

\(B=(4a-3)(4a+3)-(3a-5)^2\)

1. Développer et réduire l’expression B.

\(B=4a\times 4a+3\times 4a-3\times 4a-3\times 3-[(3a)^2-2\times 3a\times 5+5^2]\)

\(B=16a^2+12a-12a-9-(9a^2-30a+25)\)

\(B=16a^2+12a-12a-9-9a^2+30a-25\)

\(B=7a^2+30a-34\)

2. Calculer l’expression B pour :

a. a=1;

\(B=7\times 1^2+30\times 1-34\)

\(B=7+30-34\)

\(B=3\)

b. a=0,75;

\(B=7\times 0{,}75^2+30\times 0{,}75-34\)

\(B=3{,}9375+22{,}5-34\)

\(B=-7{,}5625\)

c. a=0 .

\(B=7\times 0^2+30\times 0-34\)

\(B=-34\)

Exercice 15 (calcul littéral corrigé)

Factoriser les expressions littérales suivantes :

\(K = (x + 1)^2 + (x + 1)(3x + 1)\)
\(K=(x+1)(x+1+3x+1)\)
\(K=(x+1)(4x+2)\)
\(L = (x – 3)^2 – (x -3)(4x + 1)\)
\(L=(x-3) (x-3-4x-1)\)
\(L=(x-3)(-3x-4)\)
\(M = (x + 1)(2x – 5) + (2x- 5)^2\)
\(M=(2x-5)(x+1+2x-5)\)
\(M=(2x-5)(3x-4)\)

Exercice 16 :

Factoriser les expressions littérales suivantes :
\(E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1)\)
\(E=(2x+1)(x-3+7)\)
\(E=(2x+1)(x+4)\)
\(F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2)\)
\(F=(x+2)(x+1-5)\)
\(F=(x+2)(x-4)\)
\(G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1)\)
\(G=(4x+1)(3-x-8)\)
\(G=(4x+1)(-5-x)\)

Exercice 17 (calcul littéral corrigé)

Factoriser les expressions suivantes :
\(A = 13(x + 2) + 5(x + 2)\)
\(A=(x+2)(13+5)\)
\(A=18(x+2)\)
\(B = 3x(x + 2) – 5(x + 2)\)
\(B=(x+2)(3x-5)\)
\(C = 4(x + 3) + 9x(x + 3)\)
\(C=(x+3) (9x+4)\)
\(D = 7x(3x + 1) – 10x(3x + 1)\)
\(D=(3x+1)(7x-10x)\)
\(D=-3x(3x+1)\)

Exercice 18 :

Factoriser les expressions suivantes :

\(A=(2x+4)(x+1)+(x+2)(9x+7)\)

\(A=2(x+2)(x+1)+(x+2)(9x+7)\)
\(A=(x+2)[2(x+1)+(9x+7)]\)
\(A=(x+2)(2x+2+9x+7)\)
\(A=(x+2)(11x+9)\)

\(B=5(1-x)+2x(x-1)\)

\(B=-5(x-1)+2x(x-1)\)
\(=(x-1)(-5+2x)\)

\(C=(x+4)^2-(5+2x)^2\)

\(C=(x+4+5+2x)(x+4-5-2x)\)

\(C=(3x+9)(-x-1)\)

\(C=-(3x+9)(x+1)\)

\(D=3x^2+12x+12\)

\(D=3(x^2+4x+4)=3(x+2)^2\)

\(E=\frac{x^2}{4}-\frac{25}{9}\)

\(E= ( \frac{x}{2} )^2- ( \frac{5}{3} )^2\)

\(E= ( \frac{x}{2} +\frac{5}{3} ) ( \frac{x}{2}-\frac{5}{3} )\)

Exercice 19 (calcul littéral corrigé)

Développer les expressions suivantes :

\(I=25x^2-9+(5x-3)(7x+8)\)

Puis, De même, Puis, \(J=9-48x+64x^2-(6+2x)(3-8x)\)

Ensuite, Également, Ensuite, \(K=100x^2-25-(20x+10)(2x-4)\)

\(L=(2x-3)(4x+2)+(4x+2)(7x-8)\)

puis factoriser-les.

\(I=25x^2-9+(5x-3)(7x+8)\)

\(I=25x^2-9+(35x^2+40x-21x-24)\)

\(I=25x^2-9+(35x^2+19x-24)\)

\(I=25x^2-9+35x^2+19x-24\)

\(I=60x^2+19x-33\)

\(J=9-48x+64x^2-(6+2x)(3-8x)\)

\(J=9-48x+64x^2-(18-48x+6x-16x^2)\)

\(J=9-48x+64x^2-18+48x-6x+16x^2\)

\(J=80x^2-6x-9\)

\(K=100x^2-25-(20x+10)(2x-4)\)

\(K=100x^2-25-(40x^2-80x+20x-40)\)

\(K=100x^2-25-40x^2+80x-20x+40\)

\(K=60x^2+60x+15\)

\(L=(2x-3)(4x+2)+(4x+2)(7x-8)\)

\(L=(8x^2+4x-12x-6)+(28x^2-32x+14x-16)\)

\(L=8x^2+4x-12x-6+28x^2-32x+14x-16\)

\(L=36x^2-26x-22\)

Factorisations :

\(I=(5x-3)(5x+3)+(5x-3)(7x+8)=(5x-3)[(5x+3)+(7x+8)]=(5x-3)(12x+11)\)

\(J=(3-8x)^2-(6+2x)(3-8x)=(3-8x)[(3-8x)-(6+2x)]=(3-8x)(-10x-3)\)

\(K=(10x-5)(10x+5)-2(10x+5)(2x-4)=(10x+5)[(10x-5)-2(2x-4)]=(10x+5)(6x+3)=15(2x+1)^2\)

\(L=(4x+2)[(2x-3)+(7x-8)]=(4x+2)(9x-11)\)

Exercice 20 :

1. Factoriser :

a. 9-12x+4x²=(3-2x)² .

b. (3-2x)²-4 =(3-2x-2)(3-2x+2)=(1-2x)(5-2x).

2. En déduire une factorisation de : E = (9-12x+4x²)-4 =(3-2x)²-4=(1-2x)(5-2x).

Exercice 21 (calcul littéral corrigé)

On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .

a) Calculer E et F pour x = 4.
\(E=4^2-5\times 4+5\)
\(E=16-20+5\)
\(E=1\) \(F=(2\times 4-7)(4-2)-(4-3)^2\)
\(F=1\times 2-1\)
\(F=1\)

b) Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont−ils surprenants ?

\(F=(2x-7)(x-2)-(x-3)^2\)
\(F=2x^2-4x-7x+14-(x^2-6x+9)\)
\(F=2x^2-11x+14-x^2+6x-9\)
\(F=x^2-5x+5\)

Les résultats précédents ne sont pas étonnant puisque E=F pour tout nombre relatif x.

c) Avec un tableur :

On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E pour les valeurs de x inscrites en colonne A.

Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ?
(la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)

Dans la cellule B2, on écrit : =A2*A2-5*A2+5 (ou =A2^2-5*A2+5), qui se recopie ensuite vers le bas.

Exercice 22 :

On considère l’expression \(D=(2x-7)^2-36x^2\).

1) Développer et réduire D.

\(D=4x^2-28x+49-36x^2=-32x^2-28x+49\)

2) Factoriser D.

\(D=(2x-7)^2-(6x)^2=(2x-7-6x)(2x-7+6x)=(-4x-7)(8x-7)\)

3) Résoudre l’équation \((8x-7)(-7-4x)=0\) .

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

\(8x-7=0\,ou\,-7-4x=0\)
\(8x=7\,ou\,-4x=7\)
\(x=\frac{7}{8}\,ou\,x=-\frac{7}{4}\)

4) Calculer la valeur exacte de D quand \(x=\sqrt{2}\) .

Prenons la forme développée et réduite de la question 1.

\(D=-32\times (\sqrt{2})^2-28\times \sqrt{2}+49\)
\(D=-32\times 2-28\sqrt{2}+49\)
\(D=-64+49-28\sqrt{2}\)
\(D=-15-28\sqrt{2}\)

.

Exercice 23 (calcul littéral corrigé)

1. Factoriser ces expressions :

A=36-25x²=(6+5x)(6-5x)

B=100+60x+9x²=(10+3x)²

C=b²-10b+25=b²-2×b×5+5²=(b-5)²

E=(2-x)²+(2-x)(9-x)=(2-x)[(2-x)+(9-x)]=(2-x)(11-2x)

2. Développer les expressions littérales suivantes :

A=(2x-5)²=4x²-20x+25

B=(5x-3)(5x+3)=25x²-9

C=(-3x+5)²=9x²-30x+25

D=(-6x+9)²=36x²-108x+81

Exercice 24 :

\(A\,=\,(2x\,-\,3)(2x\,+\,3)\,-\,(3x\,+\,1)(2x\,-\,3)\)

1. Développer puis réduire A.

\(A\,=\,(2x\,-\,3)(2x\,+\,3)\,-\,(3x\,+\,1)(2x\,-\,3)\)

\(A\,=\,4x^2+6x-6x-9-[6x^2-9x+2x-3]\)

\(A\,=\,4x^2-9-[6x^2-7x-3]\)

\(A\,=\,4x^2-9-6x^2+7x+3\)

\({\color{DarkRed}\,A\,=\,-2x^2+7x-6}\)

2. Factoriser A.

\(A\,=\,(2x-3)(2x+\,3)-(3x\,+1)(2x-\,3)\)

\(A\,=\,(2x-3)[(2x+\,3)-(3x\,+\,1)]\)

\(A\,=\,(2x-3)(2x+3-3x-1)\)

\({\color{DarkRed}\,\,A\,=\,(2x-3)(-x+2)}\)

3. Résoudre l’équation : (2x – 3)(-x + 2) = 0

\((2x-3)(-x+2)=0\)

\(2x-3=0\,\,ou\,\,-x+2=0\)

\({\color{DarkRed}\,x=\frac{3}{2}\,\,ou\,\,x=2}\)

Exercice 25 (calcul littéral corrigé)

On donne : D = (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)².

1. Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s’écrire :

\(D=(2x-3)(5x+4+2x-3)\)

\({\color{DarkRed}\,D=(2x-3)(7x+1)}\)

2. Résoudre l’équation : (2x – 3)(7x + 1) = 0.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si

l’un des facteurs, au moins, est nul.

\(2x-3=0\,\,ou\,\,7x+1=0\)

\(x=\frac{3}{2}\,\,ou\,\,x=-\frac{1}{7}\)

Exercice 26 :

Soit E=(3x+2)²-(3x+2)(x+7) .

a) Dévelloper et réduire E .

E=9x²+12x+4-(3x²+21x+2x+14)=9x²+12x+4-3x²-23x-14= 6x²-11x-10

b) Factoriser E .

E=(3x+2)(3x+2)-(3x+2)(x+7)=(3x+2)[3x+2-(x+7)]=(3x+2)(3x+2-x-7)= (3x+2)(2x-5)

c) Calculer E pour \(x=\frac{1}{2}\) .

E=(3x+2)(2x-5)

\(E=(3\times \frac{1}{2}+2)(2\times \frac{1}{2}-5)\)

\(E=( \frac{3}{2}+\frac{4}{2})(1-5)\)

\(E= \frac{7}{2}\times (-4)\)

\({\color{Red} E=-14}\)

Exercice 27 (calcul littéral corrigé)

Compléter en utilisant les identités remarquables .

A= (3x+5)²=9x²+30x+25

B= (2x-6)²=4x²-24x+36

C=(2y-4)² = 4y²-16y+16

D= 49a²+70a+25 = (7a+5)²

E = 4x²-1= (2x–1)(2x+1)

Exercice 28 :

A = (X + 5) ²
A = X²+2x5xX+5²
A = X²+10X+25

B = (3X – 7) ²
B = (3X)²-2x7x3X+7²
B = 9X²-42X+49

C = (X + 4) (X – 4)
C = X²-4²
C = X²-16

D = (9b + 7) ²
D = (9b)²+2x7x9b+7²
D = 81b²+126b+49

E = (7X + 1) (7X – 1)
E = (7X)²-1²
E = 49X²-1

Exercice 29 (calcul littéral corrigé)

Factoriser à l’aide des identités remarquables.

A = X² + 6X + 9
A= X²+2x3xX+3²
A= (X+3)²

B = 9X² – 12X + 4
B= (3X)²-2x3Xx2+2²
B= (3X-2)²

C = y² – 9
C= y²-3²
C= (y-3)(y+3)

D = 16a² – 81
D= (4a)²-9²
D= (4a-9)(4a+9)

E = 49a² +70a +25
E= (7a)²+2x7ax5+5²
E= (7a+5)²

F = 144 – 121a²
F= 12²-(11a)²
F= (12-11a)(12+11a)

G = (2X + 5)² – 9
G= (2X + 5)² – 3²
G= (2X+5+3)(2X+5-3)
G= (2X+8)(2X+2)

H = (2X + 1)² – (3X + 5)²
H= (2X+1+3X+5)(2X+1-3X-5)
H= (5X+6)(-X-4)

Exercice 30 :

A = 102²
A= (100+2)²
A= 100²+2x100x2+2²
A= 10 000+400+4
A= 10 404

B = 99×101
B= (100-1)(100+1)
B= 100²-1²
B= 10 000-1
B = 9 999

C = 99²
C= (100-1)²
C= 100²-2x100x1+1²
C= 10 000-200+1
C = 9 801

Exercice 31 (calcul littéral corrigé)

1. Exprimer l’aire A en fonction de x .
A=9×4-0,5xXx2X
A=36-X²
A=6²-X²
A=(6-X)(6+X)

2. Exprimer l’aire B en fonction de x .
B = 8×6-0,5x2Xx8
B = 48-8X
B = 8(6-X)

3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux aires sont-elles égales ?
A = B
équivaut à
(6-X)(6+X) = 8(6-X)
(6-X)(6+X)-8(6-X) = 0
(6-X)(6+X-8) = 0
(6-X)(X-2) = 0
C’est une équation produit.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
6-X=0 ou X-2=0
X=6 ou X=2

Conclusion :

Les aires des figures A et B sont égales pour X = 2 m ou X = 6 m.

Exercice 32 :

On donne E = (2X+3)² – 16.
1. E = (2X)²+2x2Xx3+3²-16
E = 4X²+12X+9-16
E = 4X²+12X-7

2.
Pour X = 2 : E = 4×2²+12×2-7=16+24-7 = 33.
Pour X= 1 : E = 4×1²+12×1-7 = 4+12-7 = 16-7= 9.

3.
E = (2X+3-4)(2X+3+4)
E = (2X-1)(2X+7)

4. E = 4X²+14X-2X+7 = 4X²+12X-7
Nous retrouvons le résultat de la question 1. (et heureusement…..)

Exercice 33 (calcul littéral corrigé)

1. Calculer A et B en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles .

\(A=9\times \frac{3}{2}-10=\frac{27}{2}-\frac{20}{2}=\frac{7}{2}\)
\(B=(\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{3})\times (\frac{-5}{2})=\frac{9}{4}+\frac{5}{6}=\frac{27}{12}+\frac{10}{12}=\frac{37}{12}\) .

2. On considère l’expression :

\(C=(2x-5)^2-(2x-5)(3x-7) .\)

a. Développer et réduire C .

\(C=(2x-5)^2-(2x-5)(3x-7)=4x^2-20x+25-[6x^2-14x-15x+35]=4x^2-20x+25-6x^2+14x+15x-35\)
\(=-2x^2+9x-10 .\)

b. Factoriser l’expression C .

\(C=(2x-5)(2x-5-(3x-7))=(2x-5)(2x-5-3x+7)\)
\(=(2x-5)(-x+2) .\)

c. résoudre l’équation : (2x-5)(2-x)=0 .

Les solutions sont \(x=\frac{5}{2}\,\,x=2 .\)

Exercice 34 :

1. a. \(D=(2x+5)(3x-1)=6x^2-2x+15x-5\)

\(D=6x^2+13x-5\)

b. \(E=(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=x^2-2x+1+x^2+x^2+2x+1\)

\(E=3x^2+2\)

Application : on cherche x entier positif tel que \(3x^2+2=4\,802\), soit \(3x^2=4\,800\) et \(x^2=1\,600\). Comme x est positif, \(x=40\).

Vérification : \(39^2+40^2+41^2=1\,521+1\,600+1\,681=4\,802\). Les trois nombres sont 39, 40 et 41.

2. a. Le facteur commun est \((x+3)\) :

\(F=(x+3)[(x+3)-(2x+1)]=(x+3)(x+3-2x-1)\)

\(F=(x+3)(-x+2)\)

b. On reconnaît une différence de deux carrés : \(G=(2x)^2-10^2\).

\(G=(2x-10)(2x+10)\)

Application : on cherche x positif tel que \((2x)^2=100\), c’est-à-dire \(4x^2-100=0\), soit \((2x-10)(2x+10)=0\).

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \(2x-10=0\) ou \(2x+10=0\), donc \(x=5\) ou \(x=-5\). Le nombre positif cherché est 5 (en effet \((2\times 5)^2=100\)).

Exercice 35 (calcul littéral corrigé)

a. \(E=(4x-3)^2+6x(4-x)-(x^2+9)\)

\(E=16x^2-24x+9+24x-6x^2-x^2-9\)

\(E=9x^2\)

Or \((3x)^2=9x^2\), donc \(E=(3x)^2\) : E est bien le carré de 3x.

b. \(E=144\) équivaut à \(9x^2=144\), soit \(9x^2-144=0\), c’est-à-dire \((3x)^2-12^2=0\).

\((3x-12)(3x+12)=0\) donc \(3x-12=0\) ou \(3x+12=0\).

\(x=4\) ou \(x=-4\)

c. \(E=9\times (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2=9\times \dfrac{3}{9}\)

\(E=3\)

Exercice 36 :

On donne un programme de calcul :

1. Choisir un nombre.

2. Lui ajouter 4.

3.Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.

4. Ajouter 4 à ce produit.

5. Ecrire le résultat .

1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme

avec le nombre – 2 alors on obtient 0.

1) -2

2) -2+4=2

3) 2x(-2)=-4

4)-4+4=0

5) 0

2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.

1)5

2)5+4=9

3)9×5=45

4)45+4=49

5) 49

3. On note x le nombre choisi

Quelle est l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme.

1) \(x\)

2)\(x+4\)

3) \(x(x+4)\)

4)\(x(x+4)+4\)

Donner le résultat sous forme développé.

\(x(x+4)+4=x^2+4x+4\)

Exercice 37 (calcul littéral corrigé)

1. En B2, Baptiste a écrit la formule de l’expression initiale, avec la valeur de x lue en A2 : =(2*A2+1)^2-3*(7-5*A2)

2. En C2, il a écrit sa forme développée : =4*A2^2-11*A2-20

3. Si le développement était juste, les colonnes B et C seraient identiques pour toutes les valeurs de x. Or elles ne sont égales que pour \(x=0\) : par exemple, pour \(x=1\), on lit 3 en B3 et \(-27\) en C3. La réponse de Baptiste est donc fausse.

4. \(A=(2x+1)^2-3(7-5x)=4x^2+4x+1-21+15x\)

\(A=4x^2+19x-20\)

Contrôle avec le tableur : pour \(x=1\), \(4+19-20=3\) et pour \(x=2\), \(16+38-20=34\), ce qui correspond à la colonne B.

Exercice 38 :

Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.
On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M au trois côtés du triangle.
En utilisant geogebra, on s’apercoit que MD+ME+MF est constante.

Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimale ?

Démonstration : notons c le côté du triangle et h sa hauteur. Le triangle ABC est partagé en trois triangles MAB, MBC et MCA, de hauteurs MD, ME et MF (base c). Donc :

\(\dfrac{c\times h}{2}=\dfrac{c\times MD}{2}+\dfrac{c\times ME}{2}+\dfrac{c\times MF}{2}=\dfrac{c\times (MD+ME+MF)}{2}\)

d’où \(MD+ME+MF=h\). La somme est toujours égale à la hauteur du triangle : elle est minimale quelle que soit la position de M dans le triangle.

Exercice 39 (calcul littéral corrigé)

Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.

Détaillez votre méthode.

Solutions :

Par le calcul :

L’aire vaut \(a^2\) donc l’aire du carré à construire doit avoir comme valeur \(2a^2\) .

Son côté a donc pour longueur \(\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}\times \sqrt{a^2}=\sqrt{2}a\) .

donc Il suffit de prendre comme côté la longueur de la diagonale du carré de départ .

Géométrique :

soit par découpage ou par construction :

Exercice 40 :

Jacques a fait construire une piscine rectangulaire .

Il a carrelé le bord de cette piscine .

Les longueurs sont exprimées en mètre .

1) Exprimer en fonction de \(x\) l’aire \(A_1\) de la surface de la piscine .

La longueur de la piscine est \(15-2x\) .

La largeur de la piscine est \(10-2x\)

\(A_1=(15-2x)(10-2x)\)

\(A_1=150-30x-20x+4x^2\)

\(A_1=150-50x+4x^2\)

2) Exprimer en fonction de \(x\) l’aire \(A_2\) de la surface carrelée .

\(A_2=15\times 10-A_1=15\times 10-(150-50x+4x^2)\)

\(A_2=150-150+50x-4x^2\)

\(A_2=50x-4x^2\)

4) Calculer les aires \(A_1\) et \(A_2\) pour x=2 m .

\(A_1=150-50\times 2+4\times 2^2\)

\(A_1=150-100+16\)

\(A_1=66\,m^2\)

\(A_2=50\times 2-4\times 2^2\)

\(A_2=100-16\)

\(A_2=84\,m^2\)

Exercice 41 (calcul littéral corrigé)

a) Avec 4, 5 et 6 : \(5^2-4\times 6=25-24=1\).

b) Avec 10, 11 et 12 : \(11^2-10\times 12=121-120=1\).

On constate que le résultat est toujours égal à 1.

c) Notons n le nombre du milieu : les trois entiers consécutifs sont \(n-1\), n et \(n+1\).

\(n^2-(n-1)(n+1)=n^2-(n^2-1)=n^2-n^2+1=1\)

On a utilisé l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Le résultat vaut 1 quel que soit l’entier n : la conjecture est démontrée.

Exercice 42 :

1) Résoudre l’inéquation : \(2x – 3 \geq\,\,\, x + 1\) et représenter les solutions sur une droite graduée.
\(2x-x\geq\,\,\, 3+1\)
\(x\geq\,\,\, 4\)

L’ensemble solution correspond à tous les nombres relatifs supérieurs ou égaux à 4.

2) x désignant un nombre supérieur ou égal à 4,

ABCD est un carré dont le côté mesure 2x – 3.

a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :

\(A = (2x-3)^2 – (2x – 3)(x + 1)\)

L’aire grisée BCEF est égale à l’aire du carré ABCD privée de l’aire du rectangle AFED.

Le carré a pour côté \(2x-3\) et le rectangle AFED a pour dimensions \(AF=DE=x+1\) et \(AD=2x-3\).

\(A=(2x-3)^2-(2x-3)(x+1)\)

b. Développer et réduire A.

\(A=4x^2-12x+9-(2x^2+2x-3x-3)\)

\(A=4x^2-12x+9-2x^2+x+3\)

\(A=2x^2-11x+12\)

c. Factoriser A.

\(A=(2x-3)[(2x-3)-(x+1)]\)

\(A=(2x-3)(2x-3-x-1)\)

\(A=(2x-3)(x-4)\)

d. Résoudre l’équation : (2x – 3)(x – 4) = 0

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

\(2x-3=0\) ou \(x-4=0\)

\(x=\frac{3}{2}\) ou \(x=4\)

e. Pour quelles valeurs de x, l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier .

L’aire de BCEF est \((2x-3)(x-4)\). Elle est nulle pour \(x=\frac{3}{2}\) ou \(x=4\) ; mais x doit être supérieur ou égal à 4, donc la seule valeur possible est \(x=4\) : le point F est alors confondu avec B et le rectangle est « aplati ».

Exercice 43 (calcul littéral corrigé)

On donne le programme de calcul suivant :

– Choisir un nombre.
– Ajouter 1.
– Calculer le carré du résultat obtenu.
– Soustraire le carré du nombre de départ.
– Soustraire 1.

1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.

\(10+1=11\)
\(11^2=121\)
\(121-10^2=121-100=21\)
\(21-1=20\)

b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.

\(-3+1=-2\)
\((-2)^2=4\)
\(4-(-3)^2=4-9=-5\)
\(-5-1=-6\)

c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.

\(1{,}5+1=2{,}5\)
\(2{,}5^2=6{,}25\)
\(6{,}25-1{,}5^2=6{,}25-2{,}25=4\)
\(4-1=3\)

2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?

Le résultat est le double du nombre de départ

Démontrer cette conjecture.

Notons x le nombre de départ.

Le programme de calcul nous donne l’expression littérale suivante :

\((x+1)^2-x^2-1=x^2+2x+1-x^2-1=2x\)

Exercice 44 :

Riyanne affirme :

« Pour tout nombre entier N l’expression de \(n^2-4n+144\) est toujours différente de zero ».

C’est vrai car \(n^2-4n+144=n^2-4n+4+140=(n-2)^2+140\geq\, 140\) ( le carré d’un nombre est toujours positif ou nul)

On peut même affirmer que pour tout nombre relatif, cette expression est supérieure ou égale à 140.

Exercice 45 :

Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à

\(A=\pi(R-r)(R+r)\)

L’aire de la couronne correspond à l’aire du grand disque privée de l’aire du petit disque.

\(A=\pi R^2-\pi r^2\)

\(A=\pi (R^2-r^2)\)

utilisons l’identité remarquable \(X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)\)

\(A=\pi (R-r)(R+r){\color{DarkRed} }\)

Exercice 46:

1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de x .

Figure orange :

\(Aire=(x+1)^2-1^2=x^2+2x+1-1=x^2+2x\)

Figure verte :

\(Aire=x(x+2)=x^2+2x\)

2. Que remarque-t-on ?

Ces deux figures ont exactement la même aire.

Le calcul littéral en 3ème est un chapitre très instructif et essentiel à la progression de l’élève. De plus, il faut savoir que le calcul littéral doit être maîtrisé pour que l’élève puisse développer des compétences nouvelles en 3ème. Ces exercices concernent les enseignants et les élèves désireux de s’exercer davantage sur ce chapitre.

Exercice 47 :

Développer puis réduire chaque expression.

\(A=9x(6-6x)\)
\(=54x-54x^2\)
\(B=3(4x+7)+4(2x-9)\)
\(=12x+21+8x-36\)
\(=20x-15\)
\(C=7x(2x-5)-x(2x-5)\)
\(=14x^2-35x-2x^2+5x\)
\(=12x^2-30x\)
\(D=(x+7)(3-2x)+(5x-2)(4x+1)\)
\(=3x-2x^2+21-14x+20x^2+5x-8x-2\)
\(=18x^2-14x+19\)
\(E=(5x-2)(5x-8)-(3x-5)(x+7)\)
\(=25x^2-40x-10x+16-(3x^2+21x-5x-35)\)
\(=25x^2-50x+16-3x^2-16x+35\)
\(=22x^2-66x+51\)

Exercice 48 :

Développer et réduire l’expression suivante :

\(H=(x+2)^2-(3x-5)^2\)

\(H=(x^2+4x+4)-(9x^2-30x+25)=x^2+4x+4-9x^2+30x-25=-8x^2+34x-21\)

Exercice 49 :

a. \((x+2)(3x-1)=3x^2-x+6x-2=3x^2+5x-2\). La bonne réponse est \(3x^2+5x-2\).

b. \((x-1)^2=x^2-2\times x\times 1+1^2\). La bonne réponse est \(x^2-2x+1\).

c. \((x-1)^2-16=(x-1)^2-4^2=(x-1-4)(x-1+4)=(x-5)(x+3)\). La bonne réponse est \((x+3)(x-5)\) (la troisième proposition est une forme développée, pas une factorisation).

d. \(x^2-36=x^2-6^2\). La bonne réponse est \((x-6)(x+6)\).

Exercice 50 :

a. Avec \(-2\) : \(-2+4=2\) ; \(2\times (-2)=-4\) ; \(-4+4=0\). Résultat : 0.

Avec 5 : \(5+4=9\) ; \(9\times 5=45\) ; \(45+4=49\). Résultat : 49.

Avec 10 : \(10+4=14\) ; \(14\times 10=140\) ; \(140+4=144\). Résultat : 144.

b. Notons n le nombre de départ. Le programme donne :

\(n(n+4)+4=n^2+4n+4=n^2+2\times n\times 2+2^2=(n+2)^2\)

Le résultat est donc toujours le carré de \(n+2\) : si le nombre de départ est entier, le résultat est le carré du nombre entier \(n+2\). On retrouve \(0=0^2\), \(49=7^2\) et \(144=12^2\).

Exercice 51 :

a. Le périmètre de QUAD est la somme des longueurs des quatre côtés :

\(P=(2x+2)+(3x-1)+(x+5)+(4x-4)=10x+2\)

\(10x+2=32\) donc \(10x=30\) et \(x=3\).

b. Pour \(x=3\) : \(QU\), \(UA\), \(AD\) et \(DQ\) valent \(3\times 3-1=8\), \(2\times 3+2=8\), \(4\times 3-4=8\) et \(3+5=8\).

Les quatre côtés mesurent 8 cm : QUAD est un losange (un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur).

Exercice 52 :

a. Un carré a quatre côtés de même longueur : \(AE=56: 4\), donc \(AE=14\text{ cm}\).

b. Notons x la longueur AP en cm. Le triangle PAE est isocèle en P, donc \(PE=AP=x\).

Le périmètre du pentagone PENTA est \(PE+EN+NT+TA+AP=x+14+14+14+x=2x+42\).

\(2x+42=60\) donc \(2x=18\) et \(x=9\).

Le périmètre de PENTA vaut 60 cm lorsque AP = 9 cm.

Exercice 53 :

Développer les expressions littérales suivantes :

\(A=(x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\)

\(B=(2x+1)(3x-3)+2x^2+5x-2=6x^2-6x+3x-3+2x^2+5x-2=8x^2+2x-5\)

\(C=(x+1)^2=x^2+2x+1\)

\(D=(2x-3)^2=4x^2-12x+9\)

\(E=(x-3)(x+3)=x^2-3^2=x^2-9\)

\(F=(2x+1)^2-(2x-3)^2=4x^2+4x+1-(4x^2-12x+9)=4x^2+4x+1-4x^2+12x-9=16x-8\)

\(G=(5x-4)^2-25x^2+2x+9=25x^2-40x+16-25x^2+2x+9=-38x+25\)

Exercice 54 :

1. a. AD = AF + FD, donc \(AD=(x+3)+(x-2)\) et \(AD=2x+1\).

b. ABCD est un carré de côté \(2x+1\) : \(A=(2x+1)^2\).

c. ABEF est un rectangle de dimensions \(AB=2x+1\) et \(AF=x+3\) : \(B=(2x+1)(x+3)\).

d. ECDF est un rectangle de dimensions \(DC=2x+1\) et \(FD=x-2\) : \(C=(2x+1)(x-2)\).

2. a. \(B=2x^2+6x+x+3=2x^2+7x+3\)

\(C=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2\)

\(B+C=2x^2+7x+3+2x^2-3x-2\), donc \(B+C=4x^2+4x+1\).

b. \(A=(2x+1)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 1+1^2=4x^2+4x+1\).

On trouve bien \(B+C=A\), ce qui était prévisible : les deux rectangles recouvrent exactement le carré.

Exercice 55 :

a.

Nombre choisi	Programme A	Programme B
3	\((3-1)^2-1=4-1=3\)	\((3-2)\times 3=3\)
10	\((10-1)^2-1=81-1=80\)	\((10-2)\times 10=80\)
\(-5\)	\((-5-1)^2-1=36-1=35\)	\((-5-2)\times (-5)=35\)
4	\((4-1)^2-1=9-1=8\)	\((4-2)\times 4=8\)

On constate que les deux programmes donnent le même résultat. Conjecture : pour n’importe quel nombre de départ, les programmes A et B donnent le même résultat.

b. Programme A : \((n-1)^2-1=n^2-2n+1-1=n^2-2n\)

Programme B : \((n-2)\times n=n^2-2n\)

Les deux expressions sont égales à \(n^2-2n\) pour tout nombre n : la conjecture est démontrée.

Exercice 56 :

a. La variable l contient \(x+2\) : c’est la largeur du rectangle. La variable L contient \(x+5\) : c’est sa longueur.

b. Le programme calcule \(P=2\times (l+L)\), le périmètre du rectangle, puis \(A=l\times L\), son aire, et les affiche.

c. \(P=2\times [(x+2)+(x+5)]=2\times (2x+7)=4x+14\), et non \(3x+9\) : la formule du périmètre est fausse.

\(A=(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10\) : la formule de l’aire est juste.

Léa n’a donc raison que pour l’aire.

d. Pour \(x=3\) : \(l=5\), \(L=8\), le programme dit P = 26 puis A = 40.

Pour \(x=10\) : \(l=12\), \(L=15\), le programme dit P = 54 puis A = 180.

Contrôle : \(4\times 3+14=26\) et \(3^2+7\times 3+10=40\) ; \(4\times 10+14=54\) et \(10^2+70+10=180\).

Exercice 57 :

On cherche le facteur commun à chaque somme :

\(A=4x+20=4\times x+4\times 5=4(x+5)\) : A est associée à ②.

\(B=7x-35=7\times x-7\times 5=7(x-5)\) : B est associée à ③.

\(C=x^2-5x=x\times x-x\times 5=x(x-5)\) : C est associée à ①.

Exercice 58 :

On considère l’expression \(C=(3x-1)^2-(3x-1)(2x+3)\).

1) Développer et réduire C .
\(C=(3x-1)^2-(3x-1)(2x+3)\)
\(C=9x^2-6x+1-(6x^2+9x-2x-3)\)
\(C=9x^2-6x+1-6x^2-9x+2x+3\)
\(C=3x^2-13x +4\)

2) Factoriser C .
\(c=(3x-1)[(3x-1)-(2x+3)]\)
\(c=(3x-1)(3x-1-2x-3)\)
\(c=(3x-1)(x-4)\)

3) Résoudre l’équation : \((3x-1)(x-4)=0\) .

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

\(3x-1=0\) ou \(x-4=0\)
\(x=\frac{1}{3}\) ou \(x=4\)

4) Calculer C pour \(x=2\) .

\(C=(3\times 2-1)(2-4)=5\times (-2)=-10\)

Exercice 59 :

Carrés d’une somme :

\(A=(t+3)^2=t^2+2\times t\times 3+3^2=t^2+6t+9\)

\(B=(x+10)^2=x^2+2\times x\times 10+10^2=x^2+20x+100\)

\(C=(x+0{,}5)^2=x^2+2\times x\times 0{,}5+0{,}5^2=x^2+x+0{,}25\)

\(D=(8+7y)^2=8^2+2\times 8\times 7y+(7y)^2=64+112y+49y^2\)

Carrés d’une différence :

\(E=(x-4)^2=x^2-2\times x\times 4+4^2=x^2-8x+16\)

\(F=(y-6)^2=y^2-2\times y\times 6+6^2=y^2-12y+36\)

\(G=(t-1)^2=t^2-2\times t\times 1+1^2=t^2-2t+1\)

\(H=(7-y)^2=7^2-2\times 7\times y+y^2=49-14y+y^2\)

Exercice 60 :

\(I=(x+8)(x-8)=x^2-8^2\), donc \(I=x^2-64\).

\(J=(t-5)(t+5)=t^2-5^2\), donc \(J=t^2-25\).

Exercice 61 :

a. \(x^2+2x+1=x^2+2\times x\times 1+1^2\), donc \(x^2+2x+1=(x+1)^2\).

b. \(x^2-10x+25=x^2-2\times x\times 5+5^2\), donc \(x^2-10x+25=(x-5)^2\).

c. \(x^2+12x+36=x^2+2\times x\times 6+6^2\), donc \(x^2+12x+36=(x+6)^2\).

Exercice 62 :

On utilise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

a. \(x^2-81=x^2-9^2\), donc \(x^2-81=(x-9)(x+9)\).

b. \(x^2-1=x^2-1^2\), donc \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).

c. \(9x^2-4=(3x)^2-2^2\), donc \(9x^2-4=(3x-2)(3x+2)\).

Exercice 63 :

1.

\(A=(x+3)^2=x^2+6x+9\)

\(B=(x+8)^2=x^2+16x+64\)

\(C=(x+12)^2=x^2+24x+144\)

\(D=(x-5)^2=x^2-10x+25\)

\(E=(x-2)^2=x^2-4x+4\)

\(F=(x-9)^2=x^2-18x+81\)

\(G=(x+7)(x-7)=x^2-49\)

\(H=(x-6)(x+6)=x^2-36\)

2.

\(A=(x+1)^2=x^2+2x+1\)

\(B=(x+5)(x-5)=x^2-25\)

\(C=(4-x)^2=16-8x+x^2\)

\(D=(x-2{,}5)^2=x^2-5x+6{,}25\)

\(E=(1-x)(1+x)=1-x^2\)

\(F=(6+x)^2=36+12x+x^2\)

\(G=(x-3)(x+3)=x^2-9\)

Exercice 64 :

\(A=(2x+1)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 1+1^2=4x^2+4x+1\)

\(B=(3x+7)^2=9x^2+42x+49\)

\(C=(5x+9)^2=25x^2+90x+81\)

\(D=(3x-5)^2=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=9x^2-30x+25\)

\(E=(4x-3)^2=16x^2-24x+9\)

\(F=(2x-0{,}5)^2=4x^2-2x+0{,}25\)

\(G=(4x+5)(4x-5)=(4x)^2-5^2=16x^2-25\)

\(H=(3x-1)(3x+1)=9x^2-1\)

Exercice 65 :

	Forme factorisée	Forme développée
a.	\((x+5)^2\)	\(x^2+10x+25\)
b.	\((x-6)^2\)	\(x^2-12x+36\)
c.	\((2x+10)^2\)	\(4x^2+40x+100\)
d.	\((x+10)(x-10)\)	\(x^2-100\)
e.	\((x+11)(x-11)\)	\(x^2-121\)
f.	\((7x-1)^2\)	\(49x^2-14x+1\)

Par exemple pour c : \(4x^2=(2x)^2\), \(100=10^2\) et \(2\times 2x\times 10=40x\), donc \(4x^2+40x+100=(2x+10)^2\), que l’on peut aussi écrire \(4(x+5)^2\).

Exercice 66 :

a. \(4x^2+12x+9=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\), donc \(4x^2+12x+9=(2x+3)^2\).

b. \(16x^2-40x+25=(4x)^2-2\times 4x\times 5+5^2\), donc \(16x^2-40x+25=(4x-5)^2\).

c. \(9x^2-64=(3x)^2-8^2\), donc \(9x^2-64=(3x+8)(3x-8)\).

d. \(49-70x+25x^2=7^2-2\times 7\times 5x+(5x)^2\), donc \(49-70x+25x^2=(7-5x)^2\).

Exercice 67 :

76. \(51\times 49=(50+1)(50-1)=50^2-1^2\) : réponse b.

77. \((x+5)^2=x^2+2\times x\times 5+5^2=x^2+10x+25\) : réponse c.

78. \((x-4)^2=x^2-2\times x\times 4+4^2=x^2-8x+16\) : réponse b.

79. \((x-3)(x+3)=x^2-3^2=x^2-9\) : réponse a.

80. \(4x^2-49=(2x)^2-7^2=(2x+7)(2x-7)\) : réponse c.

81. En ajoutant 3 aux deux membres, on obtient \(2x-6=4x\) ; en soustrayant 2x, \(-6=2x\), donc \(x=-3\). Vérification : \(2\times (-3)-9=-15\) et \(-3+4\times (-3)=-15\). Réponse c (dans a, \(6x=6\) est faux ; dans b, \(-2x=6\) donne \(x=-3\) et non 3).

82. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \(3x+3=0\) donne \(x=-1\) et \(2x-8=0\) donne \(x=4\). Réponse a.

83. Pour \(x=1\) : \(5\times 1-4=1\), qui n’est pas supérieur à 6 ; \(-3\times 1+2=-1\geq\, -5\) est vrai ; \(4\times 1+2=6\), qui n’est pas strictement inférieur à 6. Réponse b.

84. \(-3x-7\geq\, 5\) donne \(-3x\geq\, 12\). On divise par \(-3\), nombre négatif, donc on change le sens de l’inégalité : \(x\leq\, -4\). Réponse c.

85. Un multiple de 5 est un produit \(5\times n\) avec n entier. Réponse b : \(5n\).

Exercice 68 :

1. Rappeler les trois identités remarquables.

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2;(a-b)^2=a^2-2ab+b^2;(a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

2. On veut développer \((6x + 5)^2\) :

1. Laquelle va-t-on utiliser ? la première avec a=6x et b=5
2. Quel est le développement de \((6x + 5)^2\) ?

\((6x+5)^2=36x^2+60x+25\)

Exercice 69 :

Compléter et terminer les développements :

a. \((x – 4)^2= x^2 – 2\times x \times 4 +4 ^2 = x^2-8x+16\) ;

b. \((3x+2)^2 =(3x) ^2 + 2\times 3x \times 2+2 ^2 = 9x^2+12x+4\)

Exercice 70 :

Même exercice que le précédent.

a. \((x-\frac{1}{2})^2 = x^2 – 2\times x \times \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\)

\((x-\frac{1}{2})^2 = x^2-x+\frac{1}{4}\)

b. \((\frac{3}{5}x+\frac{7}{3})^2 = ( \frac{3}{5}x ) ^2 + 2\times \frac{3}{5}x \times \frac{7}{3} + ( \frac{7}{3} ) ^2\)

\((\frac{3}{5}x+\frac{7}{3})^2 = \frac{9}{25}x^2+\frac{14}{5}x+\frac{49}{9}\)

Exercice 71 :

Développer :

\(A=(7x-11)^2=49x^2-154x+121\)
\(B=(5x+4) ^2=25x^2+40x+16\)
\(C=(5x-8)(5x+8)=25x^2-64\)

Exercice 72 :

Développer :

\(A=(0{,}3x-9)(0{,}3x+9)=0{,}09x^2-81\)
\(B=(3x+7)^2=9x^2+42x+49\)
\(C=(7x-8)^2=49x^2-112x+64\)

Exercice 73 :

Développer puis réduire :

\(A=(3x+1)^2+(4x+1)(2x-5)=9x^2+6x+1+8x^2-20x+2x-5=17x^2-12x-4\)
\(B=9-(x+4)^2=9-(x^2+8x+16)=9-x^2-8x-16=-x^2-8x-7\)
\(C=3(x+5)^2+(7x+1)^2=3x^2+30x+75+49x^2+14x+1=52x^2+44x+76\)
\(D=5(2x+7)^2-(3x-9)(3x+9)=5(4x^2+28x+49)-(9x^2-81)=20x^2+140x+245-9x^2+81=11x^2+140x+326\)

Exercice 74 :

Indiquer la forme factorisée de ces identités remarquables développées :

a. 64x² – 81=(8x-9)(8x+9) ;

b. 36x² – 12x + 1=(6x-1)² ;

c. 4x² – 4x + 1=(2x-1)² ;

d. 25 – 4x²=(5-2x)(5+2x) ;

e. x² + 2x + 1 =(x+1)²;

f. 25x² – 30x + 9=(5x-3)² ;

g. 81x² + 90x +25=(9x+5)² ;

h. 36x² + 84x+49 =(6x+7)²;

i. 100x² – 64=(10x-8)(10x+8) ;

j. x² -81=(x-9)(x+9) .

Exercice 75 :

Factoriser les expressions suivantes :

\(A=16x^2-25+(4x+5)(3x+1)=(4x+5)(4x-5)+(4x+5)(3x+1)=(4x+5)(7x-4)\)
\(B=25x^2-81-7(5x+9)=(5x+9)(5x-9)-7(5x+9)=(5x+9)(5x-16)\)
\(C=25x^2+70x+49-3(5x+7)=(5x+7)^2-3(5x+7)=(5x+7)(5x+4)\)
\(D=x^2-9-(4x+5)(x+3)=(x+3)(x-3)-(4x+5)(x+3)=(x+3)(-3x-8)\)

Exercice 76 :

1) Développer puis réduire \(D=(a+5)^2-(a-5)^2=a^2+10a+25-(a^2-10a+25)=a^2+10a+25-a^2+10a-25=20a\).

2) et 3) On pose D = 10 005² – 9 995²=20×10 000=200 000 en prenant a=10 000 dans la question 1.

Exercice 77 :

On donne \(E=(3x-5)(2x+1)-(3x-5)^2\).

1) Développer et réduire E.

\(E=(3x-5)(2x+1)-(3x-5)^2=6x^2+3x-10x-5-(9x^2-30x+25)=6x^2-7x-5-9x^2+30x-25=-3x^2+23x-30\)

2) Factoriser E.

\(E=(3x-5)(2x+1)-(3x-5)^2=(3x-5)(-x+6)\)

3) Développer l’expression obtenue à la question 2.

Quel est le résultat

\(E=-3x^2+23x-30\)

Exercice 78 :

On donne \(E=(2x+3)^2-16\).

1)Montrer que E peut s ‘écrire 4x² + 12x – 7.

\(E=(2x+3)^2-16=4x^2+12x+9-16=4x^2+12x-7\)

2)Calculer E pour : \(x\,=\,2\); \(x\,=-3\).

E=33 pour \(x=2\) et \(E=-\,7\) pour \(x\,=\,-\,3\).

3)Factoriser E.

Développer l’expression obtenue.

Quel est le résultat?

\(E=(2x+3)^2-16=(2x+3)^2-4^2=(2x+3-4) (2x+3+4) =(2x-1)(2x+7)\)

et

\(E= 4x^2+12x-7\)

Exercice 79 :

1.

\(A=3x-8+4x+5=7x-3\)

\(B=3x^2+5x-6-2x^2-4x-3=x^2+x-9\)

\(C=5x^2-7-9x^2+x-3x+9=-4x^2-2x+2\)

\(D=4x^2-(5x+x^2-6x)+7x=4x^2-5x-x^2+6x+7x=3x^2+8x\)

\(E=3x-(4+2x)+(x^2+7)=3x-4-2x+x^2+7=x^2+x+3\)

\(F=3x^2-(4x-1)-(x^2+5x)=3x^2-4x+1-x^2-5x=2x^2-9x+1\)

2.

Pour \(x=5\) : \(A=7\times 5-3=35-3\), donc \(A=32\).

De même, pour \(x=-2\) : \(B=(-2)^2+(-2)-9=4-2-9\), donc \(B=-7\).

Pour \(x=-3\) : \(C=-4\times (-3)^2-2\times (-3)+2=-36+6+2\), donc \(C=-28\).

Puis, pour \(x=4\) : \(D=2\times 4-7+3\times 4+1=8-7+12+1\), donc \(D=14\).

Pour \(x=-4\) : \(E=(-4-3)^2=(-7)^2\), donc \(E=49\).

Ensuite, pour \(x=2\) : \(F=(2\times 2-3)(6-2^2)=1\times 2\), donc \(F=2\).

Exercice 80 :

1.

\(A=7(x+4)=7x+28\)

\(B=4(3-2x)=12-8x\)

\(C=-3(x+7)=-3x-21\)

\(D=-5(3x-2)=-15x+10\)

\(E=-2x(5+4x)=-10x-8x^2\)

\(F=3x^2(1-2x)=3x^2-6x^3\)

2.

\(A=(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6\)

\(B=(x-7)(3x-2)=3x^2-2x-21x+14=3x^2-23x+14\)

\(C=(1+2x)(3-x)=3-x+6x-2x^2=-2x^2+5x+3\)

\(D=(-7x+6)(5-x^2)=-35x+7x^3+30-6x^2=7x^3-6x^2-35x+30\)

\(E=(3x+4)(-x+1)=-3x^2+3x-4x+4=-3x^2-x+4\)

\(F=(3x^2-4)(2x+5)=6x^3+15x^2-8x-20\)

3.

\(A=(x+2)^2=(x+2)(x+2)=x^2+2x+2x+4=x^2+4x+4\)

\(B=(1+x)^2=(1+x)(1+x)=1+x+x+x^2=1+2x+x^2\)

\(C=(2x+1)^2=(2x+1)(2x+1)=4x^2+2x+2x+1=4x^2+4x+1\)

\(D=(3+2x)^2=(3+2x)(3+2x)=9+6x+6x+4x^2=9+12x+4x^2\)

\(E=(3x+2)^2=(3x+2)(3x+2)=9x^2+6x+6x+4=9x^2+12x+4\)

\(F=(x^2+5)^2=(x^2+5)(x^2+5)=x^4+5x^2+5x^2+25=x^4+10x^2+25\)

4.

\(A=(x-2)^2=(x-2)(x-2)=x^2-2x-2x+4=x^2-4x+4\)

\(B=(x-7)^2=(x-7)(x-7)=x^2-7x-7x+49=x^2-14x+49\)

\(C=(2x+5)^2=(2x+5)(2x+5)=4x^2+10x+10x+25=4x^2+20x+25\)

\(D=(-4x+3)^2=(-4x+3)(-4x+3)=16x^2-12x-12x+9=16x^2-24x+9\)

\(E=(3x-2)^2=(3x-2)(3x-2)=9x^2-6x-6x+4=9x^2-12x+4\)

\(F=(x^2-3)^2=(x^2-3)(x^2-3)=x^4-3x^2-3x^2+9=x^4-6x^2+9\)

5.

\(A=(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6\)

\(B=(x-7)(x+7)=x^2+7x-7x-49=x^2-49\)

\(C=(2x-5)(2x+5)=4x^2+10x-10x-25=4x^2-25\)

\(D=(3-4x)(3+4x)=9+12x-12x-16x^2=9-16x^2\)

\(E=(x^2-3x)(x^2+3x)=x^4+3x^3-3x^3-9x^2=x^4-9x^2\)

\(F=(2x^2+4)(2x^2-4)=4x^4-8x^2+8x^2-16=4x^4-16\)

Exercice 81 :

\(A=3x+3y=3(x+y)\)

\(B=5x+15=5\times x+5\times 3=5(x+3)\)

\(C=3+3a=3\times 1+3\times a=3(1+a)\)

\(D=(2x+1)(x+4)+(2x+1)(3x+2)=(2x+1)[(x+4)+(3x+2)]\), donc \(D=(2x+1)(4x+6)\), soit aussi \(2(2x+1)(2x+3)\).

\(E=(x+7)^2-(3x-5)(x+7)=(x+7)[(x+7)-(3x-5)]=(x+7)(x+7-3x+5)\), donc \(E=(x+7)(-2x+12)\), soit aussi \(2(x+7)(6-x)\).

Calcul littéral corrigé : nos conseils pour progresser

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, calcul littéral corrigé en troisième demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Calcul littéral sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec les équations et problèmes : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.