Corrigé du contrôle de maths 2de : intervalles, valeur absolue et nombres réels

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(-7\) est un entier négatif : il n’est donc pas dans \(\mathbb{N}\) mais il est dans \(\mathbb{Z}\). Réponse : \(\mathbb{Z}\).
2. \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\). \(\frac{3}{8} = 0{,}375\).
3. \(\sqrt{49} = 7\) : c’est donc un entier naturel. Réponse : \(\mathbb{N}\).
4. \(|-5| + |3 – 8| = 5 + |-5| = 5 + 5 = 10\). Résultat : 10.
5. En effet, \(-2\) est exclu et 3 est inclus. \(]-2\,;3]\).
6. \(0{,}15 \times 80 = 12\). \(15\,\%\) de 80 valent 12.
7. Le crochet en 0 est tourné vers l’extérieur : 0 est donc exclu. Non, \(0 \notin\, ]0\,;1]\).
8. \(\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Résultat : \(\frac{5}{6}\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte, sans justification exigée.

Exercice 2 : Les ensembles de nombres (3 points)

1. \(-4\) est un entier négatif : \(-4 \in \mathbb{Z}\) (et pas dans \(\mathbb{N}\)).

   \(\frac{12}{4} = 3\) est donc un entier naturel : \(\frac{12}{4} \in \mathbb{N}\).

   \(\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35\) : c’est ainsi un nombre décimal non entier. \(\frac{7}{20} \in \mathbb{D}\).

   \(\frac{1}{3}\) est un quotient d’entiers qui n’est pas décimal (question b) : \(\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\).

   En effet, \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel (admis) : \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) seulement.

   \(\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5\) est donc décimal non entier : \(\sqrt{\frac{9}{4}} \in \mathbb{D}\).

2. Si \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\), alors en multipliant les deux membres par \(3 \times 10^n\), on obtient \(10^n = 3a\). Donc \(10^n\) serait un multiple de 3.

   Si \(n = 0\), on aurait \(1 = 3a\), impossible avec \(a\) entier. Si \(n \geq\, 1\), le nombre \(10^n – 1\) s’écrit avec \(n\) chiffres 9 (par exemple \(10^3 – 1 = 999\)). C’est donc un multiple de 9 (par exemple \(999 = 9 \times 111\)), donc un multiple de 3. On peut alors écrire \(10^n – 1 = 3b\) avec \(b\) entier, d’où \(10^n = 3b + 1\).

   Alors \(3a = 3b + 1\), soit \(3(a – b) = 1\), donc \(a – b = \frac{1}{3}\). Or c’est impossible puisque \(a – b\) est un entier.

   Par conséquent, la supposition de départ est fausse : \(\frac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal.

Barème : a) 0,25 point par nombre correctement classé avec sa justification ; b) 0,5 point pour obtenir \(10^n = 3a\), 0,75 point pour l’argument montrant que \(10^n\) n’est pas un multiple de 3, 0,25 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : écrire « \(\frac{1}{3} = 0{,}333\), donc il est décimal ». En effet, l’écriture \(0{,}333\) n’est qu’une valeur approchée : l’écriture décimale de \(\frac{1}{3}\) ne s’arrête jamais.

Exercice 3 : Intervalles sur la droite réelle (4 points)

1. Pour \(I\), le crochet en \(-3\) est tourné vers l’intervalle : \(-3\) est donc inclus. En revanche, celui en 2 est tourné vers l’extérieur (2 exclu). Pour \(J\), 0 est exclu et 5 est inclus. \(I = [-3\,;2[\) et \(J = \,]0\,;5]\).

2. \(I \cap J\) contient les réels qui sont à la fois dans \(I\) et dans \(J\). Ils sont donc strictement supérieurs à 0 et strictement inférieurs à 2. \(I \cap J = \,]0\,;2[\).

   \(I \cup J\) contient les réels qui sont dans \(I\) ou dans \(J\). Ici, les deux intervalles se chevauchent : on va donc de \(-3\) (inclus) à 5 (inclus). \(I \cup J = [-3\,;5]\).

3. \(x \in\, ]-\infty\,;1]\) signifie \(x \leq\, 1\) ; \(x \in\, ]-1{,}5\,;4]\) signifie \(-1{,}5 < x \leq\, 4\).
4. \(0 < 2 \leq\, 5\), donc \(2 \in J\), et par conséquent \(2 \in I \cup J\). En revanche, 2 est exclu de \(I\), donc \(2 \notin I \cap J\).

Barème : a) 0,5 point par intervalle ; b) 0,75 point pour l’intersection, 0,75 point pour la réunion ; c) 0,5 point par traduction ; d) 0,25 point par réponse justifiée.

Erreur fréquente : écrire \(I \cup J = [-3\,;2[ \cup \,]0\,;5]\) sans simplifier. En effet, quand les intervalles se chevauchent, la réunion est un seul intervalle.

Exercice 4 : Valeur absolue et distance (4 points)

1. \(-7{,}2\) est négatif, donc \(|-7{,}2| = 7{,}2\).

   \(\pi \approx 3{,}14\), donc \(3 – \pi < 0\) et \(|3 – \pi| = -(3 – \pi) = \pi – 3\).

   \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\), donc \(\sqrt{2} – 2 < 0\) et \(|\sqrt{2} – 2| = 2 – \sqrt{2}\).

   \(|-7{,}2| = 7{,}2\) ; \(|3 – \pi| = \pi – 3\) ; \(|\sqrt{2} – 2| = 2 – \sqrt{2}\).

2. \(|x – 3| = 5\) signifie que la distance entre \(x\) et 3 vaut 5. Ainsi, les nombres situés à 5 unités de 3 sont \(3 – 5 = -2\) et \(3 + 5 = 8\). Les solutions sont \(-2\) et 8.
3. \(|x – 1| \leq\, 4\) signifie que la distance entre \(x\) et 1 est inférieure ou égale à 4. On a donc \(1 – 4 \leq\, x \leq\, 1 + 4\), c’est-à-dire \(-3 \leq\, x \leq\, 5\). L’ensemble cherché est \([-3\,;5]\).

   

4. Le centre de \([2\,;10]\) est \(a = \frac{2 + 10}{2} = 6\). Son rayon est ensuite \(r = \frac{10 – 2}{2} = 4\). Ainsi, un réel est dans \([2\,;10]\) si et seulement si sa distance à 6 est au plus 4. \(a = 6\) et \(r = 4\) : \(x \in [2\,;10]\) équivaut à \(|x – 6| \leq\, 4\).

Barème : a) 0,25 point pour \(|-7{,}2|\), 0,75 point pour les deux autres (0,5 point pour l’étude du signe, 0,25 point pour les résultats) ; b) 0,5 point par solution ; c) 0,5 point pour l’encadrement, 0,5 point pour l’intervalle ; d) 0,5 point pour le centre, 0,5 point pour le rayon.

Erreur fréquente : écrire \(|3 – \pi| = 3 – \pi\). Or une valeur absolue est toujours positive : il faut donc regarder le signe de \(3 – \pi\) avant d’enlever les barres.

Exercice 5 : Parité et démonstrations (5 points)

1. D’abord, on cherche les couples d’entiers dont le produit vaut 36 : \(1 \times 36\), \(2 \times 18\), \(3 \times 12\), \(4 \times 9\), \(6 \times 6\). Les diviseurs positifs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
2. Soient deux nombres impairs. Il existe alors deux entiers \(k\) et \(m\) tels que ces nombres s’écrivent \(2k + 1\) et \(2m + 1\). Leur somme vaut :

   \((2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)\).

   Comme \(k + m + 1\) est un entier, la somme est donc de la forme \(2 \times \text{entier}\). La somme de deux nombres impairs est paire.

3. Avec les mêmes notations, le produit vaut :

   \((2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1\).

   Comme \(2km + k + m\) est un entier, le produit est donc de la forme \(2 \times \text{entier} + 1\). Le produit de deux nombres impairs est impair.

Question d : la parité de n² + n

4. Cas 1 : \(n\) est pair. Il existe alors un entier \(k\) tel que \(n = 2k\). Donc \(n^2 + n = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)\), qui est pair.

   Cas 2 : \(n\) est impair. Il existe cette fois un entier \(k\) tel que \(n = 2k + 1\). Alors \(n^2 + n = n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(2k + 1)(k + 1)\), qui est pair.

   Ainsi, dans les deux cas, \(n^2 + n\) est pair. L’affirmation de Théo est vraie.

Barème : a) 1 point si la liste est complète (0,5 point s’il manque un ou deux diviseurs) ; b) 0,5 point pour l’écriture des deux impairs avec deux lettres différentes, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la mise sous la forme \(2 \times \text{entier} + 1\) ; d) 0,75 point par cas traité.

Erreur fréquente : écrire les deux impairs \(2k + 1\) et \(2k + 1\) avec la même lettre. On ne démontre alors la propriété que pour un nombre ajouté à lui-même.

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Après le corrigé du contrôle : intervalles, valeur absolue et nombres réels

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