Corrigé du contrôle de maths 1ère : propriétés algébriques de l’exponentielle à télécharger en PDF

Exercice 1 : Simplifier des expressions (5 points)

1. \(A = e^{3 + (-5)} = e^{-2}\). \(A = e^{-2}\).
2. \((e^{2x})^3 = e^{6x}\), donc \(B = e^{6x} \times e^{-x} = e^{6x – x} = e^{5x}\). \(B = e^{5x}\).
3. \(C = e^{(x+1) – (1-x)} = e^{x + 1 – 1 + x} = e^{2x}\). \(C = e^{2x}\).
4. On pose \(a = e^x\) et \(b = e^{-x}\) ; on a \(ab = e^{x} \times e^{-x} = e^{0} = 1\).

   \((a + b)^2 – (a – b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + 2ab – b^2 = 4ab\).

   Donc \(D = 4 \times e^{x} \times e^{-x} = 4 \times 1\). \(D = 4\).

5. \(e^{2x} = (e^{x})^2\), donc \(e^{2x} – 1 = (e^x)^2 – 1^2 = (e^x – 1)(e^x + 1)\).

   Pour \(x \neq 0\), \(e^x \neq e^0 = 1\), donc \(e^x – 1 \neq 0\) et on peut simplifier : \(E = e^{x} + 1\).

Erreur fréquente : écrire \(e^{a} \times e^{b} = e^{a \times b}\). La relation fonctionnelle transforme un produit d’exponentielles en exponentielle d’une somme.

Barème : a), b), c) 0,5 point pour la règle utilisée, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour le développement (ou l’identité \(a^2 – b^2\)), 0,5 point pour \(e^{x} \times e^{-x} = 1\) ; e) 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour la simplification justifiée.

Exercice 2 : La courbe de l’exponentielle (3 points)

1. La fonction exponentielle est l’unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f^{\prime} = f\) et \(f(0) = 1\).

   L’équation de la tangente en 0 est \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\). Or \(f(0) = e^0 = 1\) et \(f^{\prime}(0) = f(0) = 1\).

   \(T\) a pour équation \(y = 1 \times x + 1\), soit \(y = x + 1\).

2. \(e = e^1\) est l’ordonnée du point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse 1 : \(e \approx 2{,}7\).

   La solution de \(e^x = 2\) est l’abscisse du point de \(\mathcal{C}\) d’ordonnée 2 : \(x \approx 0{,}7\).

3. Pour tout réel \(x\), \(e^{x} = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = (e^{\frac{x}{2}})^2 \geq\, 0\). De plus \(e^{x} \times e^{-x} = e^{0} = 1\), donc \(e^x \neq 0\). Ainsi \(e^x > 0\) pour tout réel \(x\).

   La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même, strictement positive sur \(\mathbb{R}\). La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Barème : a) 0,5 point pour la définition, 0,5 point pour l’équation de \(T\) justifiée ; b) 0,5 point par lecture (tolérance d’un dixième) ; c) 0,5 point pour le signe justifié, 0,5 point pour la croissance.

Exercice 3 : Équations avec l’exponentielle (4 points)

1. La fonction exponentielle est strictement croissante, donc \(e^{u} = e^{v}\) équivaut à \(u = v\).

   \(e^{2x-1} = e^{x+3}\) équivaut à \(2x – 1 = x + 3\), soit \(x = 4\). \(S = \{4\}\).

2. \(e^{x^2} = e^{3x-2}\) équivaut à \(x^2 = 3x – 2\), soit \(x^2 – 3x + 2 = 0\).

   \(\Delta = (-3)^2 – 4 \times 1 \times 2 = 9 – 8 = 1 > 0\), d’où \(x_1 = \frac{3 – 1}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\). \(S = \{1 ; 2\}\).

3. On pose \(X = e^x\) ; alors \(e^{2x} = X^2\) et l’équation devient \(X^2 + X – 2 = 0\).

   \(\Delta = 1^2 – 4 \times 1 \times (-2) = 9\), d’où \(X_1 = \frac{-1 – 3}{2} = -2\) et \(X_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\).

   \(e^x = -2\) n’a pas de solution, car \(e^x > 0\). \(e^x = 1 = e^0\) équivaut à \(x = 0\). \(S = \{0\}\).

4. \(e^{x} \times e^{x+2} = e^{2x+2}\), donc l’équation équivaut à \(2x + 2 = 4\), soit \(x = 1\). \(S = \{1\}\).

Erreur fréquente : au c), garder la solution \(X = -2\) sans revenir à \(x\) ; il faut toujours résoudre \(e^x = X\), ce qui est impossible pour \(X \leq\, 0\).

Barème : a) 0,5 point pour l’équivalence justifiée, 0,5 point pour la solution ; b) 0,5 point pour l’équation du second degré, 0,5 point pour les deux solutions ; c) 0,5 point pour le changement de variable, 0,5 point pour les racines \(X\), 0,5 point pour le retour à \(x\) ; d) 0,5 point.

Exercice 4 : Inéquations et signe (4 points)

1. La fonction exponentielle étant strictement croissante, \(e^{3x} < e^{x+4}\) équivaut à \(3x < x + 4\), soit \(2x < 4\) et \(x < 2\). \(S = ]-\infty ; 2[\).
2. \(e^{-x^2} \geq\, e^{-4}\) équivaut à \(-x^2 \geq\, -4\), soit \(x^2 \leq\, 4\), c’est-à-dire \(-2 \leq\, x \leq\, 2\). \(S = [-2 ; 2]\).
3. Pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\), donc \(f(x)\) a le signe de \(2x – 6\). Or \(2x – 6 > 0\) équivaut à \(x > 3\).
   

   \(x\)	\(-\infty\)		\(3\)		\(+\infty\)
   \(2x – 6\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
   \(e^x\)		\(+\)		\(+\)
   \(f(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)

   \(f(x) < 0\) sur \(]-\infty ; 3[\), \(f(3) = 0\) et \(f(x) > 0\) sur \(]3 ; +\infty[\).

4. \(e^{2x} – e \geq\, 0\) équivaut à \(e^{2x} \geq\, e^{1}\), soit \(2x \geq\, 1\) et \(x \geq\, \frac{1}{2}\). \(S = [\frac{1}{2} ; +\infty[\).

Erreur fréquente : au b), écrire \(x \leq\, 2\) seulement, en oubliant que \(x^2 \leq\, 4\) impose aussi \(x \geq\, -2\).

Barème : a) 0,5 point pour l’équivalence, 0,5 point pour l’intervalle ; b) 0,5 point pour \(x^2 \leq\, 4\), 0,5 point pour l’intervalle ; c) 0,5 point pour l’argument \(e^x > 0\), 0,5 point pour le tableau ou la conclusion ; d) 0,5 point pour \(e = e^1\), 0,5 point pour l’intervalle.

Exercice 5 : Une suite géométrique (4 points)

1. \(u_0 = e^{1} = e\) et \(u_1 = e^{1-2} = e^{-1}\).
2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = e^{1 – 2(n+1)} = e^{1 – 2n – 2} = e^{1 – 2n} \times e^{-2} = e^{-2} \times u_n\).

   La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = e^{-2}\) et de premier terme \(u_0 = e\).

3. Le premier terme \(u_0 = e\) est strictement positif et la raison vérifie \(0 < e^{-2} < 1\), car \(-2 < 0\) et la fonction exponentielle est strictement croissante (\(e^{-2} < e^{0} = 1\)). La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
4. \(S = e + e^{-1} + e^{-3}\). En développant l’expression proposée :

   \(e^{-3}(e^{4} + e^{2} + 1) = e^{-3+4} + e^{-3+2} + e^{-3} = e^{1} + e^{-1} + e^{-3}\).

   On retrouve bien \(S = e^{-3}(e^{4} + e^{2} + 1)\).

Barème : a) 0,25 point par terme ; b) 0,5 point pour l’écriture de \(u_{n+1}\), 0,5 point pour la relation fonctionnelle, 0,5 point pour la raison et le premier terme ; c) 0,5 point pour \(0 < q < 1\) justifié, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour \(u_2 = e^{-3}\), 0,5 point pour la vérification.

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