Corrigé du contrôle de maths 1ère : angles associés et fonctions cosinus et sinus

Exercice 1 : Lire les angles associés sur le cercle (4 points)

1. La symétrie par rapport à l’axe des abscisses change le sens de parcours : \(N\) est associé à \(-x\).

   La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées envoie \(I\) sur le point associé à \(\pi\) et inverse le sens : \(P\) est associé à \(\pi – x\).

   La symétrie de centre \(O\) correspond à un demi-tour : \(Q\) est associé à \(\pi + x\).

   La symétrie par rapport à la droite \(y = x\) envoie \(I\) sur \(J\), associé à \(\frac{\pi}{2}\), et inverse le sens : \(R\) est associé à \(\frac{\pi}{2} – x\).

2. \(M\) a pour coordonnées \((\cos x \,;\, \sin x)\).

   \(N\) a la même abscisse que \(M\) : \(\cos(-x) = \cos x\).

   \(P\) a une abscisse opposée à celle de \(M\) : \(\cos(\pi – x) = -\cos x\).

   \(Q\) a des coordonnées opposées à celles de \(M\) : \(\sin(\pi + x) = -\sin x\).

   La symétrie par rapport à \(y = x\) échange abscisse et ordonnée : \(R\) a pour ordonnée l’abscisse de \(M\), donc \(\sin(\frac{\pi}{2} – x) = \cos x\).

Barème : a) 0,5 point par point bien associé ; b) 0,5 point par formule.

Exercice 2 : Valeurs exactes autour de π/5 (4 points)

1. \(\frac{4\pi}{5} = \pi – \frac{\pi}{5}\), donc \(\cos(\frac{4\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5})\). \(\cos(\frac{4\pi}{5}) = -\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).

   \(\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}\), donc \(\cos(\frac{6\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5})\). \(\cos(\frac{6\pi}{5}) = -\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).

   \(\frac{3\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} – \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{5}\), donc \(\sin(\frac{3\pi}{10}) = \cos(\frac{\pi}{5})\). \(\sin(\frac{3\pi}{10}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).

2. D’après la relation \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) :

   \(\sin^2(\frac{\pi}{5}) = 1 – (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})^2 = 1 – \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{16} = \frac{16 – 6 – 2\sqrt{5}}{16} = \frac{10 – 2\sqrt{5}}{16}\).

   Comme \(\frac{\pi}{5} \in [0 ; \pi]\), le point associé est au-dessus de l’axe des abscisses, donc \(\sin(\frac{\pi}{5}) \geq\, 0\).

   \(\sin(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{\frac{10 – 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 – 2\sqrt{5}}}{4}\).

3. \(\frac{5\pi}{7} = \pi – \frac{2\pi}{7}\), donc \(\cos(\frac{5\pi}{7}) = -\cos(\frac{2\pi}{7})\).

   \(\frac{6\pi}{7} = \pi – \frac{\pi}{7}\), donc \(\cos(\frac{6\pi}{7}) = -\cos(\frac{\pi}{7})\).

   Ainsi \(A = \cos(\frac{\pi}{7}) + \cos(\frac{2\pi}{7}) – \cos(\frac{2\pi}{7}) – \cos(\frac{\pi}{7})\). \(A = 0\).

Erreur fréquente : au b), oublier le double produit dans \((1 + \sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5\).

Barème : a) 0,5 point par valeur avec l’angle associé écrit ; b) 0,5 point pour la relation, 0,5 point pour le calcul de \(\sin^2\), 0,5 point pour le signe et la conclusion ; c) 0,5 point pour les deux angles associés, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 3 : Équations trigonométriques (5 points)

1. On sait que \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\). La droite d’équation \(x = \frac{1}{2}\) coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l’axe des abscisses, associés à \(\frac{\pi}{3}\) et à \(-\frac{\pi}{3}\). Dans \([0 ; 2\pi]\), \(-\frac{\pi}{3}\) est remplacé par \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\). \(S = \{\frac{\pi}{3} ; \frac{5\pi}{3}\}\).
2. On sait que \(\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). La droite d’équation \(y = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, associés à \(-\frac{\pi}{4}\) et à \(\pi – (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}\). Dans \(]-\pi ; \pi]\), \(\frac{5\pi}{4}\) est remplacé par \(\frac{5\pi}{4} – 2\pi = -\frac{3\pi}{4}\). \(S = \{-\frac{3\pi}{4} ; -\frac{\pi}{4}\}\).
3. On sait que \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos(\pi – \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). La droite d’équation \(x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) coupe le cercle aux points associés à \(\frac{5\pi}{6}\) et \(-\frac{5\pi}{6}\), qui sont tous deux dans \(]-\pi ; \pi]\).

   

   \(S = \{-\frac{5\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\}\).

4. \(2\cos x + \sqrt{2} = 0\) équivaut à \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Or \(\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi – \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), et l’autre point d’abscisse \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) est associé à \(-\frac{3\pi}{4}\), soit \(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}\) dans \([0 ; 2\pi]\). \(S = \{\frac{3\pi}{4} ; \frac{5\pi}{4}\}\).

Erreur fréquente : donner \(\frac{5\pi}{4}\) au b) alors que l’intervalle demandé est \(]-\pi ; \pi]\) ; il faut retirer \(2\pi\).

Barème : a) 0,5 point par solution ; b) 0,5 point pour la valeur remarquable, 0,5 point par solution dans l’intervalle ; c) 0,5 point pour \(\cos(\frac{5\pi}{6})\), 0,5 point par solution ; d) 0,5 point pour la mise sous la forme \(\cos x = a\), 0,5 point pour les deux solutions.

Exercice 4 : Parité et périodicité (3 points)

1. \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. Pour tout réel \(x\), \(f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)\), car la fonction sinus est impaire. La fonction \(f\) est paire.
2. Pour tout réel \(x\), \(g(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -\sin x \cos x = -g(x)\). La fonction \(g\) est impaire.
3. Pour tout réel \(x\), \(h(x + \pi) = \cos(2(x + \pi)) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x) = h(x)\), car la fonction cosinus est \(2\pi\)-périodique. La fonction \(h\) est périodique de période \(\pi\).

Barème : 1 point par question : 0,5 point pour le calcul de \(f(-x)\), \(g(-x)\) ou \(h(x + \pi)\), 0,5 point pour la propriété utilisée et la conclusion.

Exercice 5 : Les courbes du cosinus et du sinus (4 points)

1. \(\cos 0 = 1\) et \(\sin 0 = 0\). La courbe \(\mathcal{C}_2\) passe par le point de coordonnées \((0 \,;\, 1)\), et \(\mathcal{C}_1\) par l’origine. \(\mathcal{C}_2\) représente la fonction cosinus (et \(\mathcal{C}_1\) la fonction sinus).
2. La droite d’équation \(y = 0{,}5\) coupe \(\mathcal{C}_2\) en 4 points. Comme \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\), par parité et \(2\pi\)-périodicité les solutions sont \(\pm\frac{\pi}{3}\) et \(\pm(2\pi – \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{5\pi}{3}\). L’équation a 4 solutions : \(-\frac{5\pi}{3}\), \(-\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{5\pi}{3}\).
3. On cherche les abscisses des points de \(\mathcal{C}_1\) situés strictement au-dessus de l’axe des abscisses. \(S = ]-2\pi ; -\pi[ \cup ]0 ; \pi[\).
4. La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; celle de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Barème : a) 0,5 point pour la réponse, 0,5 point pour la justification ; b) 0,5 point pour le nombre de solutions, 0,5 point pour les valeurs exactes ; c) 1 point (0,5 point par intervalle, bornes exclues) ; d) 0,5 point par symétrie.

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Après le corrigé du contrôle : angles associés et fonctions cosinus et sinus

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