L’essentiel : Cette fiche réunit 19 exercices de maths en Première sur « Angles orientés et repérage polaire », du plus simple au plus difficile. Le corrigé détaillé est sur une page séparée ; fiche gratuite à imprimer en PDF.
Exercice :
Exprimer en fonction de sin x et cos x les réels suivants :
Exercice 2 – Degrés et radians
1. Convertir en radians, sous la forme d’une fraction de \(\pi\) simplifiée : \(30^\circ\) ; \(135^\circ\) ; \(210^\circ\) ; \(300^\circ\).
2. Convertir en degrés : \(\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(\dfrac{7\pi}{4}\) ; \(\dfrac{\pi}{5}\) ; \(\dfrac{11\pi}{12}\).
3. Un angle mesure 3 radians. Donner sa mesure en degrés, arrondie au dixième.
Exercice 3 – Mesure principale d’un angle
La mesure principale d’un angle est sa mesure appartenant à l’intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\).
Déterminer la mesure principale des angles dont une mesure est :
a) \(\dfrac{19\pi}{3}\) ; b) \(-\dfrac{25\pi}{4}\) ; c) \(\dfrac{47\pi}{6}\) ; d) \(\dfrac{2023\pi}{2}\) ; e) \(-\dfrac{31\pi}{3}\).
Exercice 4 – Lire des angles sur le cercle trigonométrique
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\,I,J)\). Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, les points A, B, C et D se trouvent sur des rayons tracés en pointillés tous les \(30^\circ\) ou \(45^\circ\).
1. Donner pour chaque point M la mesure principale, en radians, de l’angle orienté \((\vec{OI},\vec{OM})\).
2. En déduire les coordonnées exactes de A, B, C et D.
Exercice 5 – Valeurs exactes de cosinus et de sinus
Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, sans calculatrice :
a) \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) ; b) \(\sin\dfrac{7\pi}{4}\) ; c) \(\cos(-\dfrac{2\pi}{3})\) ; d) \(\sin\dfrac{11\pi}{6}\) ; e) \(\cos\dfrac{13\pi}{3}\) ; f) \(\sin(-\dfrac{5\pi}{4})\).
Exercice 6 – Simplifier des expressions trigonométriques
Pour tout réel \(x\), simplifier :
\(A(x)=\sin(\pi-x)+\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)\)
\(B(x)=\cos(\pi+x)-\sin(\dfrac{\pi}{2}+x)\)
\(C(x)=\sin(x+\pi)+\cos(x-\dfrac{\pi}{2})\)
\(E(x)=\cos x+\cos(\pi-x)+\cos(\pi+x)\)
Exercice 7 – Utiliser la relation fondamentale
1. Soit \(x\in]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi[\) tel que \(\sin x=\dfrac{3}{5}\). Calculer \(\cos x\), puis \(\cos(\pi-x)\) et \(\sin(x+\dfrac{\pi}{2})\).
2. Soit \(x\in]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0[\) tel que \(\cos x=\dfrac{5}{13}\). Calculer \(\sin x\), puis \(\sin(\pi-x)\) et \(\cos(x+\dfrac{\pi}{2})\).
3. Existe-t-il un réel \(x\) tel que \(\cos x=0{,}6\) et \(\sin x=0{,}7\) ?
Exercice 8 – Équations trigonométriques simples
Résoudre dans l’intervalle indiqué :
a) \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) ;
b) \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) dans \([0\,;\,2\pi[\) ;
c) \(\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) dans \(\mathbb{R}\).
Exercice 9 – Deux équations à résoudre
1. Résoudre dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) l’équation \(\cos(2x)=\cos(x+\dfrac{\pi}{3})\).
2. Résoudre dans \([0\,;\,\pi]\) l’équation \(\sin(2x)=\dfrac{1}{2}\).
Exercice 10 – Inéquations trigonométriques
Résoudre dans l’intervalle indiqué :
a) \(\cos x\geq\,\dfrac{1}{2}\) dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) ;
b) \(\sin x<-\dfrac{1}{2}\) dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) ; c) \(2\sin x-\sqrt{3}>0\) dans \([0\,;\,2\pi]\).
Exercice 11 – Des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. Les points A, B, C et D sont repérés par leurs coordonnées polaires \([r\,;\,\theta]\) :
\(A[2\,;\,\dfrac{\pi}{3}]\), \(B[4\,;\,\dfrac{3\pi}{4}]\), \(C[3\,;\,-\dfrac{\pi}{2}]\), \(D[\sqrt{2}\,;\,\dfrac{5\pi}{4}]\).
Donner les coordonnées cartésiennes exactes de chacun de ces points.
Exercice 12 – Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires
Déterminer des coordonnées polaires \([r\,;\,\theta]\), avec \(r>0\) et \(\theta\in]-\pi\,;\,\pi]\), des points suivants, donnés par leurs coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé direct :
\(A(1\,;\,1)\), \(B(-\sqrt{3}\,;\,1)\), \(C(-2\,;\,-2\sqrt{3})\), \(D(0\,;\,-5)\), \(E(3\,;\,-3)\).
Exercice 13 – Angles orientés dans un carré
ABCD est un carré direct de côté 1. ABE est un triangle équilatéral direct, avec E à l’intérieur du carré.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
a) \((\vec{AB},\vec{AE})\) ; b) \((\vec{AE},\vec{AD})\) ; c) \((\vec{BE},\vec{BC})\) ; d) \((\vec{DA},\vec{DE})\).
Exercice 14 – Relation de Chasles
Déterminer la mesure principale des angles suivants :
a) \((\vec{u},\vec{w})\) ; b) \((\vec{w},\vec{u})\) ; c) \((-\vec{u},\vec{v})\) ; d) \((\vec{u},-\vec{w})\).
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont-ils colinéaires ?
Exercice 15 – Colinéarité et orthogonalité
Pour chaque couple de vecteurs non nuls \((\vec{u},\vec{v})\), on donne une mesure de l’angle orienté \((\vec{u},\vec{v})\). Indiquer s’ils sont colinéaires de même sens, colinéaires de sens contraires, orthogonaux, ou dans aucun de ces cas. Justifier.
a) \(4\pi\) ; b) \(-5\pi\) ; c) \(\dfrac{9\pi}{2}\) ; d) \(-\dfrac{7\pi}{2}\) ; e) \(\dfrac{2023\pi}{3}\).
Exercice 16 – Les aiguilles d’une horloge
On mesure les angles en radians, dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre). Le centre de l’horloge est O.
1. À 4 h 20, donner la mesure principale de l’angle orienté entre l’aiguille des heures et l’aiguille des minutes (de la première vers la seconde).
2. On compte le temps \(t\) en heures à partir de midi. L’aiguille des minutes tourne de \(-2\pi\) radian par heure et l’aiguille des heures de \(-\dfrac{\pi}{6}\) radian par heure. À quel instant (à la seconde près) les deux aiguilles sont-elles superposées pour la première fois après midi ?
Exercice 17 – Un triangle en coordonnées polaires
Dans un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points A et B de coordonnées polaires \(A[4\,;\,\dfrac{\pi}{6}]\) et \(B[4\,;\,\dfrac{2\pi}{3}]\).
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes de A et de B.
2. Calculer la mesure principale de \((\vec{OA},\vec{OB})\). Quelle est la nature du triangle OAB ?
3. Calculer la longueur AB et l’aire du triangle OAB.
4. Soit I le milieu de [AB]. Déterminer ses coordonnées cartésiennes, puis ses coordonnées polaires.
Exercice 18 – Image d’un point par une rotation
Dans un repère orthonormé direct d’origine O, le point M a pour coordonnées polaires \([6\,;\,\dfrac{\pi}{4}]\).
1. Donner les coordonnées cartésiennes de M.
2. Soit \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) les images de M par les rotations de centre O et d’angles respectifs \(\dfrac{\pi}{2}\), \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\pi\). Donner leurs coordonnées polaires, puis leurs coordonnées cartésiennes exactes.
Exercice 19 – Hexagone régulier
ABCDEF est un hexagone régulier de centre O, dont les sommets sont nommés dans le sens direct.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
a) \((\vec{OA},\vec{OC})\) ; b) \((\vec{OA},\vec{OE})\) ; c) \((\vec{AB},\vec{AC})\) ; d) \((\vec{AB},\vec{AD})\) ; e) \((\vec{AB},\vec{DE})\) ; f) \((\vec{AB},\vec{CD})\).
Exercice 20 – La grande roue
Une grande roue a un rayon de 20 m et son centre est situé à 22 m au-dessus du sol. Elle effectue un tour complet en 12 minutes, dans le sens direct. À l’instant \(t=0\) (en minutes), une nacelle se trouve au point le plus bas.
1. Montrer que la hauteur de la nacelle au-dessus du sol, en mètres, est \(h(t)=22-20\cos(\dfrac{\pi t}{6})\).
2. Calculer \(h(0)\), \(h(2)\), \(h(3)\), \(h(4)\) et \(h(6)\).
3. À quels instants de l’intervalle \([0\,;\,12]\) la nacelle est-elle à 12 m du sol ?
4. Pendant combien de minutes, au cours d’un tour, la nacelle est-elle à plus de 32 m du sol ?
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