Cette série propose 37 exercices de maths pour s’entraîner sur les puissances en 4e. De plus, les premiers énoncés installent les réflexes de base : passer d’une puissance de 10 à son écriture décimale et inversement, puis appliquer les règles de calcul sur les produits, les quotients et les puissances de puissances, avec des exposants positifs ou négatifs, pour 10 comme pour un nombre quelconque.
Viennent ensuite l’écriture scientifique d’un nombre, les ordres de grandeur et de nombreux problèmes concrets : pile de pièces, octets d’un disque dur, rumeur qui se propage, bactéries qui doublent, virus informatique, taille d’un cheveu ou d’un acarien, production d’électricité. Ensuite, les préfixes du système international (nano, micro, méga, téra) sont également travaillés, avant un QCM final pour faire le point sur ses acquis.
Chaque élève de quatrième peut chercher seul, sans calculatrice quand c’est demandé, puis contrôler sa démarche à l’aide du corrigé détaillé de ces exercices. Par ailleurs, les énoncés s’impriment aussi en PDF pour travailler sur papier.
Exercice 1 (puissances 4e exercices)
Donner l’écriture décimale de chaque nombre.
1.
a. \(10^8\) b. \(10^3\) c. \(10^0\) d. \(10^6\)
2.
a. \(10^{-4}\) b. \(10^{-2}\) c. \(10^{-8}\) d. \(10^{-1}\) .
Exercice 2 (puissances 4e exercices)
Ecrire dans chacun de ces cas, à l’aide d’une puissance de 10.
a. 100 000
b. 10
c. 1
d. 0,000 001
e. -0,000 1
f. \(\dfrac{1}{10\,000}\)
Exercice 3 (puissances 4e exercices)
Donner le résultat sous la forme \(a\times 10^p\) (avec a un nombre relatif et p un entier relatif).
a. \(3{,}2\times 10^{15}+571\times 10^{13}\)
b. \(934\times 10^{-17}-6{,}34\times 10^{-15}\)
c. \((0{,}0157\times 10^{-8}): (8\times 10^{-3})\)
Exercice 4 (puissances 4e exercices)
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
a. 57
b. 358,4
c. 1 235
d. 0,49
e. 0,004
f. 0,000 018
Exercice 5 (puissances 4e exercices)
Dans chaque cas, calculer puis donner le résultat sous la forme \(a\times 10^p\) (avec a un nombre relatif et p un entier relatif).
\(A = \dfrac{0{,}25\times 10^9\times 8\times 10^{-3}}{5\times 10^{-5}}\)
\(B = 5{,}7\times 10^{-7}+1\,200\times 10^{-10}\)
Exercice 6 (puissances 4e exercices)
Un million de pièces de 1€ formerait une pile de 2 km de haut.
Utiliser les puissances de 10 pour trouver l’épaisseur d’une pièce de 1€ en mm.
Exercice 7 (puissances 4e exercices)
Ecrire sous la forme \(10^n\) où \(n\) est un entier relatif .
\(A=10^3\times 10^{-7}\)
\(B=(10^4)^{-2}\)
\(C=\dfrac{10^{-5}}{10^{-2}}\)
\(D=\dfrac{10^3 \times 10^{-5}}{(10^{2})^{-1}}\)
\(E=10^3\times (10^{-2})^3\)
Exercice 8 (puissances 4e exercices)
Ecrire sous forme \(a\times 10^n\) où a est un nombre relatif et n un entier relatif .
\(F=5\times 10^4\times 2\times 10^2\)
\(G=3\times 10^{-1}\times 4\times (10^3)^{-2}\)
Exercice 9 (puissances 4e exercices)
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
\(A=7\,234\,782{,}36\)
\(B=0{,}000\,187\,92\)
\(C=537\times 10^{-3}\)
Exercice 10 – Puissances et technologie (puissances 4e exercices)
1 ko = 2 puissance 10 octets ; 1 Mo = 2 puissance 10 ko et 1 Go = 2 puissance 10 Mo.
1a : Exprimer 1 Go en octets, en utilisant une puissance de 2.
1b : Indiquer en écriture décimale le nombre exact d’octets qui correspond à 1 Go.
2a : Écrire 2 puissance 10 sous forme scientifique.
2b : Quelle puissance de 10 est la plus proche de 2 puissance 10 ?
De plus, dans le commerce, on considère que 1 Go correspond à 1 milliard d’octets.
3a : Quelle est la capacité réelle en octets d’un disque dur de 150 gigaoctets commerciaux ?
3b : Combien de gigaoctets ne sont pas pris en compte pour ce disque ?
3c : Quel pourcentage de la capacité commerciale représente cette différence ?
Exercice 11 -Puissances de 10 (puissances 4e exercices)
Puissances de 10
Exprimer sous la forme d’une puissance de 10 :
\(A=(10^2)^3\) ; \(B=(10^{-2})^3\) ; \(C=(10^{-5})^{-1}\) ; \(D=10\times \dfrac{10^3}{10^2}\) ; \(E=\dfrac{10^3\times 10^{-4}}{10^{-2}\times 10^5}\)
\(F=(\dfrac{10^5}{10^3})^3\) ; \(G=\dfrac{(10^{-2})^3}{10^{-4}}\) ; \(H=\dfrac{10^4\times (10^{-1})^3}{10^3}\)
Encadrements
1) Encadrer entre deux puissances de 10 consécutives le nombre de secondes contenues dans une année de 365 jours.
2) Quelle puissance de 10 donne le meilleur ordre de grandeur de ce nombre ?
Exercice 12 – Calculs avec des puissances
1. Ensuite, calculer \(54^5\).
2. Également, déterminer l’écriture scientifique de 587 402 000 .
3. Par ailleurs, calculer \(B=\dfrac{87\times 10^5+7{,}7\times 10^6}{8\times 10^{-9}}\).
Exercice 13 – Ecriture scientifique (puissances 4e exercices)
1. Puis calculer \(5^{8}\) .
2. Ensuite, déterminer l’écriture scientifique de 0,000 548 4 .
3. Ensuite, calculer \(A=124\times 10^{17}+0{,}89\times 10^{19}\) .
Exercice 14 – Calculs avec des puissances quelconques
Donner le résultat de chaque nombre sous la forme d’une puissance.
\(A=3^5\times 3^3\)
\(B=4^{-5}\times 4^{-3}\)
\(C=(-2)^{-5}\times (2)^{-1}\)
\(D=3^5\times 4^5\)
\(E=9^{-6}\times (-7)^{-6}\)
\(F=(-7)^2\times 6^2\)
\(G=\dfrac{11^7}{11^2}\)
\(H=\dfrac{7^6}{7^{-2}}\)
\(I=\dfrac{(-2)^{-4}}{(-2)^5}\)
Exercice 15 – Ecriture scientifique
Donner l’écriture scientifique de chaque nombre.
\(A=12\times 10^8\times 5\times 10^{-2}\)
\(B=8\times 10^{-5}\times 4\times (10^8)^2\)
\(C=5\times (10^5)^{-3}\times 8\times 10^2\)
Exercice 16 -La consommation d’eau
Si 6,8 milliards de personnes boivent 1,5 L d’eau par jour, quelle sera la quantité d’eau bue par jour en litres ?
Puis donner le résultat en écriture scientifique .
Exercice 17 – Problème sur les moustiques et les éléphants
Un moustique pèse en moyenne \(1{,}5\times 10^{-6}\) kg.
Combien faut-il de moustiques pour obtenir le poids d’un éléphant pesant \(6\times 10^{3}\) kg ?
De plus, donner le résultat en notation scientifique .
Exercice 18 – Calculs complexes sur les puissances de 10
Ecrire chaque nombre sous la forme d’une puissance de 10 .
\(G=\dfrac{(10^{-7})^4}{10^4\times 10^2}\)
\(H=\dfrac{10^4\times 10^{11}}{(10^{-1})^{-8}}\)
\(I=\dfrac{10^{-12}\times 10^2}{(10^8)^3\times 10^8}\)
Exercice 19 – Calculs simples et puissances de 10
Ecrire chaque nombre sous la forme d’une puissance de 10.
\(A=10^2\times 10^8\)
\(B=10\times 10^{17}\)
\(C=10^{-3}\times 10^{8}\)
\(D=\dfrac{10^7}{10^3}\)
\(E=\dfrac{10^4}{10^{12}}\)
Exercice 20 – Propagation d’une rumeur
Le premier mars, Laura lance une rumeur :
le collège sera fermé le 1er avril.
Elle prévient 3 personnes.
Ensuite, le 2 mars chacune des trois personnes prévenues la veille propage à son tour cette rumeur en prévenant trois nouvelles personnes.
Ainsi, chaque jour, une personne prévenue la veille prévient trois nouvelles personnes.
1) De plus, exprimer, sous la forme 3 exposant n, où n est un entier, le nombre de personnes qui auraient appris la rumeur :
a) le jour du 2 mars :
b) le jour du 3 mars :
c) le jour du 4 mars :
d) le jour du 10 mars :
2) a) Exprimer sous la forme 3 exposant n, où n est un entier, le nombre de personnes qui auraient appris la rumeur le jour du 15 mars.
b) Commenter le résultat.
Exercice 21 – Ecriture scientifique d’un nombre.
Donner l’écriture scientifique de chacun de ces nombres :
\(A=274{,}274\times 10^4\) ; \(B=52\,000\,000\) ; \(C=0{,}0023\times 10^4\) ; \(D=7\,824\times 10^3\)
Exercice 22 :
Calculer, sans calculatrice, en détaillant toutes les étapes :
\(A=2^5\) ; \(B=(-3)^3\) ; \(C=2^0\times 6^2\) ; \(D=5^3\times 100^1\) ; \(E=2{,}3^3\) ; \(F=10^{-4}\)
Exercice 23 :
Ecrire sous forme de puissance d’un nombre entier :
\(A=(2^2)^3\) ; \(B=5^4\times 3^4\) ; \(C=(10^3)^2\times 10^{-2}\) ; \(D=\dfrac{2^6}{2^{-2}}\) ; \(E=\dfrac{3^9\times 3^{-4}}{3^3}\)
Exercice 24 :
Ecrire avec une puissance de 10.
\(A=10^3\times 10^4\) ; \(B=10^{-3}\times 10^2\) ; \(C=10^{-5}\times 10\) ; \(D=\dfrac{1}{10^5}\)
\(E=\dfrac{1}{10^{-3}}\times 10^5\times 10^{-4}\) ; \(F=\dfrac{10^{-3}}{10^5}\) ; \(G=\dfrac{10^{-3}\times 10^5}{10^3\times 10^{-5}}\)
Exercice 25 :
Calculer et donner l’écriture scientifique des nombres suivants.
\(A=2{,}7\times 10^3\times 6{,}4\times 10^{-5}\)
\(B=2{,}3\times 10^6\times 0{,}17\times 10^{7}\)
\(C=5\times 10^{-3}\times 9\times 10^{12}\times 25\times 10^{-9}\)
\(D=\dfrac{2\times 10^{-3}}{8}\)
\(E=\dfrac{4\times 10^{-5}\times 10^8}{12\times 10^{-3}}\)
Exercice 26 :
Le papyrus Rhind, écrit par le scribe Ahmès vers 1650 av. J.-C., contient le problème suivant :
Dans chacune des 7 cabanes, il y a 7 chats.
Chaque chat surveille 7 souris.
Ensuite, chaque souris a 7 épis de blé.
Enfin, chaque épi de blé est composé de 7 graines.
Exprimer sous forme d’une puissance de 7 :
a. le nombre de chats,
b. le nombre de souris,
c. le nombre d’épis de blé,
d. le nombre de graines de blé.
Exercice 27 :
A l’air libre, la croissance du nombre de bactéries Escherichia coli est ralentie : la quantité de bactéries double toutes les 4 h.
Par ailleurs, une bactérie est mise en culture.
Puis exprimer sous forme d’une puissance de 2, puis calculer le nombre de bactéries obtenues au bout de :
a. 12h
b. 1 jour
c. 2 jours
Exercice 28 :
Un virus informatique infecte un fichier du disque dur d’un ordinateur et le rend inutilisable.
Ensuite, la quantité totale de fichiers infectés décuple (c’est-à-dire est multipliée par 10) toutes les heures.
Puis exprimer sous la forme d’une puissance de 10 le nombre total de fichiers infectés au bout de :
a. trois heures,
b. cinq heures,
c. douze heures,
d. une journée.
Exercice 29 :
Associer chaque expression de la colonne de gauche à son expression égale dans la colonne de droite.
| Colonne de gauche | Colonne de droite |
| \(I=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}\) | \(L=(-2)^3\) |
| \(J=(-2)\times (-2)\times (-2)\) | \(M=3^{-2}\) |
| \(K=\dfrac{1}{3\times 3}\) | \(N=2^{-3}\) |
Exercice 30 :
Lire en complétant par une puissance de dix.
a. 1 km = … m
b. Par ailleurs, après cela, 1 mg = … g
c. 1 m³ = … m
d. Ensuite, 1 µs = … s
e. 1 m³ = … cm³
f. 1 cL = … L
Exercice 31 :
Qui a raison ? De plus, justifier.
Zoé affirme : « \(5^{-3}\) est plus petit que 1. »
William affirme : « \(5^{-3}\) est un nombre négatif. »
Exercice 32 :
Le sprinter Usain Bolt parcourt 1 m en \(9{,}6\times 10^{-2}\) s.
Ensuite, la fusée Apollo 10 parcourt 1 m en 90 µs.
Lino affirme : « La fusée Apollo 10 va 1 000 fois plus vite qu’Usain Bolt. »
A-t-il raison ? Par ailleurs, justifier.
Exercice 33 :
Le diamètre d’un cheveu est environ 50 µm.
a. Puis, exprimer ce diamètre en m.
b. Combien de cheveux sont-ils nécessaires pour obtenir une épaisseur de 1 mm ?
c. Également, malvina possède environ 150 000 cheveux.
Si elle parvenait à « empiler » tous ses cheveux, quelle épaisseur obtiendrait-elle ?
Exercice 34 :
Le diamètre du virus de la varicelle est 175 nm.
Puis le diamètre de la bactérie du tétanos est 4 µm.
Ensuite, la taille d’un acarien est 0,012 5 mm.
a. Puis exprimer chaque longueur en m en utilisant une puissance de 10.
b. Ensuite, donner l’écriture décimale de ces trois nombres.
Exercice 35 :
L’unité de production d’énergie électrique est le wattheure (Wh).
De plus, en France, en 2014 :
Ensuite, le nucléaire a produit 416 TWh.
(1 térawattheure = 1 TWh = \(10^{12}\) Wh)
De même, l’hydraulique a produit 68 200 GWh.
Également, l’éolien a produit 17 000 000 MWh.
a. Ensuite, exprimer chacune de ces trois productions électriques en wattheures.
b. Aymeric affirme : « La production d’électricité hydraulique est inférieure à celle de l’éolien. »
A-t-il raison ? Par ailleurs, justifier.
c. De plus, calculer la production totale provenant de ces trois sources d’énergie électrique.
Exercice 36 :
Réécrire les phrases suivantes en utilisant un préfixe.
a. Puis la France a produit 39 millions de tonnes de blé en 2014.
b. Mis en service le 8 octobre 2015, le barrage de Lom Pangar au Cameroun produit une puissance électrique de 3 000 000 000 watts.
Exercice 37 :
Effectuer ce QCM sur les puissances.
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
| Question | a | b | c |
| 1. \(6^3\) est égal à… | 9 | \(6\times 6\times 6\) | 18 |
| 2. \(10^5\) est égal à… | 50 | 1 000 000 | 100 000 |
| 3. \(3^{-2}\) est égal à… | \(-6\) | \(\dfrac{1}{3^2}\) | \(-\dfrac{1}{3^2}\) |
| 4. \(10^{-4}\) est égal à… | 0,000 01 | 0,000 1 | −0,000 1 |
| 5. \(1{,}5\times 10^{-3}\) est égal à… | 0,001 5 | 0,000 15 | 1 500 |
| 6. 1 µm est égal à… | \(10^6\) m | \(10^{-9}\) m | \(10^{-6}\) m |
| 7. Le préfixe méga multiplie une unité par… | \(10^6\) | \(10^9\) | \(10^{-6}\) |
| 8. Une nanoseconde est égale à… | 0,1 µs | 1 000 000 ms | 0,001 µs |
Puissances 4e exercices : méthode de travail
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Puis en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec théorème de Pythagore : exercices de maths en 4ème corrigés en PDF.
