Fonctions linéaires : corrigé des exercices de maths en 3ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (corrigé fonctions linéaires)

Soit la fonction linéaire \(f : x \mapsto 1{,}2x\).

a. Calculer f(5) ; f(- 1,2) ; f(0) ; f(100).

f(5)=1,2×5=6 ; f(-1,2)=- 1,44 ; f(0)= 0 ; f(100 ) = 120

b. Calculer les nombres x dont les images sont 2 400 ; – 45.

\(x=\dfrac{2\,400}{1{,}2}=2\,000\)

\(x=\dfrac{-45}{1{,}2}=-37{,}5\)

Le nombre dont l’image est 2 400 est 2 000 ; celui dont l’image est -45 est -37,5.

Exercice 2 :

Soit g la fonction linéaire telle que \(g : x \mapsto -0{,}4x\).

a. Quel est le coefficient de la fonction g ?

a = – 0,4

b. Calculer les images de 10 ; – 5 et 1.

g(10) = – 4 ; g(-5)=2 ; g(1) = -0,4

c. Compléter les égalités : g(10) = -4 ; g(-5) = 2 et g(……) = -0,4.

On cherche x tel que \(-0{,}4x=-0{,}4\), donc \(x=1\) (d’après la question b, g(1) = -0,4).

g(10) = -4 ; g(-5) = 2 ; g(1) = -0,4.

Exercice 3 (corrigé fonctions linéaires)

On sait que 18 a pour image 23 par la fonction f et que 12 a pour image 14 par f.

f est-elle une fonction linéaire ?Pourquoi ?

Comparons   \(\frac{23}{18}\) et \(\frac{14}{12}\) :

\(23\times 12=276\,\,14\times 18=252\)

Les fractions ne sont pas égales donc ce n’est pas une fonction linéaire .

Exercice 4 :

Exprimer la fonction linéaire f sous la forme \(x\mapsto \,\,\,ax\)  ( le nombre a est à déterminer), puis calculer f(0) ; f(1) et f( – 2).

1. Lorsque l’image de 10 est – 3.

Nous avons \(a=-\frac{3}{10}=-0,3\) donc f est telle que \(f(x)=-0,3x\).

\(f(0)=0\) ; \(f(1)=-0{,}3\) ; \(f(-2)=-0{,}3\times (-2)=0{,}6\).

2. Lorsque f (- 100)= – 46.
Nous avons \(a=\frac{-46}{-100}=0,46\) donc f est telle que \(f(x)=0,46x\).

\(f(0)=0\) ; \(f(1)=0{,}46\) ; \(f(-2)=0{,}46\times (-2)=-0{,}92\).

3. Lorsque le coefficient de f est 2,5.
Nous avons f qui est définie par \(f(x)=2,5x\).

\(f(0)=0\) ; \(f(1)=2{,}5\) ; \(f(-2)=2{,}5\times (-2)=-5\).

Exercice 5 (corrigé fonctions linéaires)

Dans un repère, il suffit de connaître les coordonnées d’un seul point ( dont l’abscisse est non nul) appartenant à la courbe d’une fonction linéaire pour la tracer.

a. Pour  \(f:x\,\mapsto \,\,\,2,5x\).

Nous avons f(2)=2,5×2 = 5 donc la courbe passe par le point A(2;5).

b. Tracer la droite d d’équation y = 1,2x, nous noterons cette fonction h.
Nous avons h(5)=1,2×5=6 donc la courbe passe par le point B ( 5 ; 6).

c. Tracer la droite d’ représentant la fonction linéaire g de coefficient a = – 2.

Nous avons g(1)= – 2 donc la courbe passe par C(1;- 2).

Voici les courbes de ces trois fonctions linéaires :

Exercice 6 :

Chaque droite passe par l’origine : le volume écoulé est proportionnel à la durée. Ensuite, le débit d’un robinet est le coefficient de la fonction linéaire, c’est-à-dire le volume écoulé en une seconde. Par ailleurs, on lit un point de chaque droite puis on divise le volume par la durée.

• \(R_1\) passe par le point \((1\,;\,100)\) : débit \(= \dfrac{100}{1} = 100\) cm³/s.
• \(R_2\) passe par le point \((\dfrac{1}{2}\,;\,100)\) : débit \(= 100 : \dfrac{1}{2} = 100 \times 2 = 200\) cm³/s.
• \(R_3\) passe par le point \((\dfrac{1}{2}\,;\,200)\) : débit \(= 200 \times 2 = 400\) cm³/s.
• \(R_4\) passe par le point \((\dfrac{1}{2}\,;\,300)\) : débit \(= 300 \times 2 = 600\) cm³/s.

Conversion en L/min : en une minute il s’écoule 60 fois plus d’eau qu’en une seconde, et \(1 \text{ L} = 1\,000 \text{ cm}^3\). Donc \(1 \text{ cm}^3/\text{s} = \dfrac{60}{1\,000} \text{ L/min} = 0{,}06 \text{ L/min}\).

• \(R_1\) : \(100 \times 0{,}06 = 6\), soit 100 cm³/s = 6 L/min.
• \(R_2\) : \(200 \times 0{,}06 = 12\), soit 200 cm³/s = 12 L/min.
• \(R_3\) : \(400 \times 0{,}06 = 24\), soit 400 cm³/s = 24 L/min.
• \(R_4\) : \(600 \times 0{,}06 = 36\), soit 600 cm³/s = 36 L/min.

Exercice 7 (corrigé fonctions linéaires)

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine O du repère. Puis il suffit donc de placer un second point, d’abscisse non nulle, choisie pour obtenir des calculs simples.

• \(f(x) = -4x\) : \(f(1) = -4 \times 1 = -4\). La droite passe par O et par A(1 ; -4).
• \(g(x) = 0{,}25x\) : \(g(4) = 0{,}25 \times 4 = 1\). La droite passe par O et par B(4 ; 1).
• \(h(x) = \dfrac{2}{3}x\) : \(h(3) = \dfrac{2}{3} \times 3 = 2\). La droite passe par O et par C(3 ; 2).

On remarque que la droite de f « descend » (coefficient négatif) alors que celles de g et de h « montent » (coefficients positifs).

Exercice 8 :

Dans chaque quadrillage, un carreau représente une unité (la graduation 3 est à trois carreaux de l’origine). Chaque droite passe par l’origine ; on repère un point de la droite situé sur un nœud du quadrillage, puis on calcule le coefficient \(a = \dfrac{y}{x}\).

• 1^re droite : elle passe par le point (4 ; 5), donc \(a = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\). Fonction \(x \mapsto 1{,}25x\).
• 2^e droite : elle passe par le point (4 ; -2), donc \(a = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5\). Fonction \(x \mapsto -0{,}5x\).
• 3^e droite : elle passe par le point (4 ; 3), donc \(a = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\). Fonction \(x \mapsto 0{,}75x\).
• 4^e droite : elle passe par le point (3 ; -2), donc \(a = -\dfrac{2}{3}\). Fonction \(x \mapsto -\dfrac{2}{3}x\).

Exercice 9 (corrigé fonctions linéaires)

La vitesse est constante : la distance parcourue est proportionnelle à la durée. Ensuite, en x heures, l’avion parcourt \(900 \times x\) km, donc \(f(x) = 900x\) : f est une fonction linéaire de coefficient 900.

a. Puis la durée est positive : la représentation de f est une demi-droite d’origine O. De plus, pour la tracer, on calcule par exemple \(f(2) = 900 \times 2 = 1\,800\). Avec les unités imposées, le point (2 ; 1 800) est placé à 2 cm à droite de l’origine et à \(1\,800 : 500 = 3{,}6\) cm vers le haut. Ensuite, on trace la demi-droite d’origine O passant par ce point.

b. Sur le graphique, on part de l’abscisse 10 (à 10 cm de l’origine), on monte jusqu’à la demi-droite puis on lit l’ordonnée : on trouve 9 000 km (18 cm sur l’axe vertical).

Vérification par le calcul : \(f(10) = 900 \times 10 = 9\,000\). En 10 heures, l’avion parcourt 9 000 km.

Exercice 10 :

Voici les courbes de ces cinq fonctions linéaires.

y=2,5x est (d1)

y= – 3x est (d5)

\(y=-\frac{1}{3}x\) est (d3)

\(y=\frac{1}{3}x\) est (d2)

\(y=-\frac{5}{4}x\) est (d4)

L’équation \(y=3x\) ne correspond à aucune des cinq droites.

Exercice 11 (corrigé fonctions linéaires)

a. Par ailleurs, le coefficient de f est -3, donc \(f(x) = -3x\).

\(f(2) = -3 \times 2 = -6\) et \(f(-4) = -3 \times (-4) = 12\).

L’image de 2 est -6 et l’image de -4 est 12.

b. g est linéaire, donc \(g(x) = ax\). Comme \(g(3) = 6\), on a \(a \times 3 = 6\), d’où \(a = \dfrac{6}{3} = 2\).

Le coefficient de g est 2 : \(g(x) = 2x\).

c. Puis les deux représentations sont des droites passant par l’origine O.

• La droite de f passe par O et par le point (2 ; -6) (on peut aussi utiliser (-4 ; 12)).
• La droite de g passe par O et par le point (3 ; 6).

Exercice 12 :

a. Ensuite, on calcule le quotient volume ÷ durée pour chaque colonne :

\(\dfrac{400}{10} = 40\) ; \(\dfrac{600}{15} = 40\) ; \(\dfrac{2\,000}{50} = 40\).

Les quotients sont égaux : la durée de remplissage et le volume d’eau sont proportionnels. Puis la citerne se remplit à raison de 40 litres par minute.

b. De plus, pour un volume de x litres, la durée de remplissage en minutes est \(t(x) = \dfrac{x}{40} = \dfrac{1}{40}x = 0{,}025x\).

La durée est une fonction linéaire du volume, de coefficient \(\dfrac{1}{40} = 0{,}025\).

c. Ensuite, la représentation est un segment de droite d’origine O. Par ailleurs, pour x = 3 000, \(t(3\,000) = \dfrac{3\,000}{40} = 75\) : le segment va de O(0 ; 0) au point (3 000 ; 75).

d. Lectures graphiques (traits en pointillés) :

• pour 1 300 litres, on lit une durée d’environ 32 à 33 minutes ;
• pour 26 minutes, on lit un volume d’environ 1 000 à 1 050 litres.

e. Par le calcul :

• \(t(1\,300) = \dfrac{1\,300}{40} = 32{,}5\) : il faut 32,5 minutes, soit 32 min 30 s, pour 1 300 litres.
• on cherche x tel que \(\dfrac{x}{40} = 26\), soit \(x = 26 \times 40 = 1\,040\) : au bout de 26 minutes, la citerne contient 1 040 litres.

Exercice 13 (corrigé fonctions linéaires)

Augmenter une quantité de 2 %, c’est lui ajouter 2 % d’elle-même :

\(x + \dfrac{2}{100}x = (1 + \dfrac{2}{100})x = 1{,}02x\).

La population de l’année suivante est donnée par la fonction linéaire \(p : x \mapsto 1{,}02x\), de coefficient 1,02.

Chaque année, on multiplie donc la population par 1,02. Puis en partant de 100 000 habitants :

• après 1 an : \(100\,000 \times 1{,}02 = 102\,000\) ;
• après 2 ans : \(102\,000 \times 1{,}02 = 104\,040\) ;
• après 3 ans : \(104\,040 \times 1{,}02 = 106\,120{,}8\) ;
• après 4 ans : \(106\,120{,}8 \times 1{,}02 = 108\,243{,}216\) ;
• après 5 ans : \(108\,243{,}216 \times 1{,}02 \approx 110\,408{,}08\).

Autrement dit, \(100\,000 \times 1{,}02^5 \approx 110\,408{,}08\). Au bout de 5 ans, la ville comptera environ 110 408 habitants. Remarque : ce n’est pas \(100\,000 \times 1{,}10 = 110\,000\), car chaque augmentation de 2 % porte sur la population de l’année précédente, qui a déjà augmenté.

Exercice 14 :

f est une fonction linéaire . Déterminer l’expression de f(x)

\(f(\frac{12}{5})=\frac{8}{5}\)

f est du type \(f(x)=ax\) .

\(f(\frac{12}{5})=a\times \frac{12}{5}=\frac{8}{5}\)

\(a=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{8}{5}\times \frac{5}{12}=\frac{8:4}{12:4} =\frac{2}{3}\)

Conclusion :    \({\color{DarkRed} f(x)=\frac{2}{3}x}\)

Exercice 15 (corrigé fonctions linéaires)

a) Soit : x le prix initial d’un article et : y son prix final après une augmentation ou une baisse. Quel est le pourcentage d’augmentation ou de baisse dans chacun des cas suivants ?  (1): y = 1.4x

\(1,4=1+0,4=1+\frac{40}{100}\)

C’est une augmentation de 40 % .

(2): y = 0.5x

\(0,5=1-0,5=1-\frac{50}{100}\)

C’est une réduction de 50 % .

(3): y = 0.9x

\(0,9=1-0,1=1-\frac{10}{100}\)

C’est une réduction de 10 % .

(4): y = 1.05x

\(1,05=1+0,05=1+\frac{5}{100}\)

C’est une augmentation de 5 % .

Exercice 16 :

1. Un objet A coûte 65 euros. Son prix augmente de 5%.

Combien coûte-t-il après cette augmentation?

Le coefficient multiplicateur est  \(k=1+\frac{5}{100}=1,05\).

\(65\times 1,05=68,25\)

Le prix final est de 68,25 euros .

2.Un objet B coûte 88 euros après une augmentation de 10%.

Quel était son prix avant cette augmentation?

Le coefficient multiplicateur est  \(k=1+\frac{10}{100}=1,1\) .

\(\frac{88}{1,1}=80\)

Le prix avant augmentation est de 80 euros .

3.Un objet C coûte 45 euros. Après une augmentation son prix est de 50,40 euros.

Quel est le pourcentage de cette augmentation?

Le coefficient multiplicateur est   \(k=\frac{50,40}{45}=1,12=1+0,12=1+\frac{12}{100}\)

L’augmentation était de 12 % .

Exercice 17 (corrigé fonctions linéaires)

Un gérant de magasin de vêtements décide de baisser ses prix de 15 % .

a) Quelle est la fonction linéaire modélisant cette baisse ?

La fonction linéaire modélisant une baisse de 15 % est f(x)=0,85x .

b) Quelle est le nouveau prix d’un pantalon qui coûtait 70 e avant cette baisse ?

f(70)=0,85×70=59,5 €

c) Quel est l’ancien prix d’un pull qui coûte 50,12 € après cette baisse ?

On cherche x tel que f(x)=50,12

d’où 0,85x=50,12

\(x=\frac{50,12}{0,85}\)

soit

\(x\approx 58{,}96\)

Conclusion : l’ancien prix du pull était d’environ 58,96 € (vérification : \(0{,}85\times 58{,}96\approx 50{,}12\)).

Exercice 18 :

On considère la fonction linéaire f de coefficient – 5.

Nous avons donc f(x)= – 5x

Calculer l’image par f des nombres suivants :

a) 0

f(0)=0 (f est une fonction linéaire).

b) 3

\(f(3)=-5\times 3=-15\)

c) – 2

\(f(-2)=-5\times (-2)=10\)

d) \(\frac{3}{7}\)

\(f(\frac{3}{7})=-5\times (\frac{3}{7})=-\frac{15}{7}\)

e) \(-\sqrt{3}\)

\(f(-\sqrt{3})=-5\times (-\sqrt{3})=5\sqrt{3}\)

Exercice 19 (corrigé fonctions linéaires)

Pour chaque fonction, préciser si elle est linéaire et, dans ce cas, son coefficient.

a) \(f:x \mapsto 3,5x\)

Elle est linéaire de coefficient a= 3,5 .

b)\(g:x \mapsto 2+x\)

elle n’est pas linéaire, c’est une fonction affine.

c) \(h:x \mapsto 7x^2\)

elle n’est pas linéaire, c’est une fonction carrée.

d) \(i:x \mapsto -x\)

elle est linéaire de coefficient a= – 1 .

e) \(j:x \mapsto 5\)

elle n’est pas linéaire , c’est une fonction constante .

f) \(k:x \mapsto \frac{5x}{3}\)

elle est linéaire de coefficient \(a=\frac{5}{3}\) .

Exercice 20 :

a.

\(V_1(x)=40x\)

\(V_2(x)=10x^2\)

b.

c. \(10x^2=40x\)

\(10x^2-40x=0\)

\(10x(x-4)=0\)

\(x(x-4)=0\)

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul.

\(x=0\,\,ou\,\,x-4=0\)

\(x=0\,\,ou\,\,x=4\)

Conclusion : Les nombres 0 et 4 ont la même image par V1 et V2 .

Exercice 21 (corrigé fonctions linéaires)

Soit f la fonction linéaire définie par :  \(f: x \mapsto -2x\) .

1. Calculer f(3), f( – 2), f(7).

\(f(3)=-2\times 3=-6\)

\(f(-2)=-2\times (-2)=4\)

\(f(7)=-2\times 7=-14\)

2. Quelles sont les images par f de  – 1, 6,  \(\frac{3}{2}\)  ?

\(f(-1)=-2\times (-1)=2\)

\(f(6)=-2\times 6=-12\)

\(f(\frac{3}{2})=-2\times \frac{3}{2}=-3\)

3. Trouver le nombre qui a pour image 7.

\(f(x)=7\)

\(-2x=7\)

\(x=-\frac{7}{2}\)

\({\color{DarkRed} x=-3,5}\)

Les fonctions linéaires sont très utiles et intéressantes car elles vous permettent de développer des compétences.

Exercice 22 :

Compléter le tableau suivant donnant les images des nombres –1,5 , – \(\frac{1}{2}\) , 0 , 1, \(\frac{3}{4}\) , et 2 par chacune des applications linéaires proposées.

	–1,5	– \(\frac{1}{2}\)	0	1	\(\frac{3}{4}\)	2
x   \(\mapsto \)   3x	-4,5	-1,5	0	3	2,25	6
X   \(\mapsto \)  -2x	3	1	0	-2	-1,5	-4
X   \(\mapsto \)  \(\frac{1}{4}\)x	-0,375	-0,125	0	0,25	0,1875	0,5
X    \(\mapsto \)     – \(\frac{3}{4}\) x	1,125	0,375	0	-0,75	-0,5625	-1,5
X   \(\mapsto \)    0,3x	-0,45	-0,15	0	0,3	0,225	0,6

Exercice 23 (corrigé fonctions linéaires)

Indiquer pour chacun des tableaux, s’il s’agit d’un tableau de proportionnalité et, si c’est le cas, exprimer l’application linéaire associée, traduisant la correspondance entre la première et la seconde ligne.

Tableau 1 : NON car \(\frac{10}{5}\neq \frac{15}{10}\).

Également, tableau 2 : Oui le coefficient de proportionnalité est \(a=\frac{1}{3}\).

Tableau 3 : Oui le coefficient de proportionnalité est \(a=3\).

Tableau 4 : Non car \(4\times 7=28\neq 35\) .

Tableau 1					Tableau 3
5	10	15	20		1,5	2	2,5	3
10	15	20	25		4,5	6	7,5	9
Tableau 2					Tableau 4
30	33	36	39		7	14	21	35
10	11	12	13		1	2	3	4

Exercice 24 :

Dans chacun des cas, on connaît un nombre et son image par une application linéaire. Déterminer son coefficient et l’exprimer sous la forme la plus simple possible.

8   \(\mapsto \)   – 64 \(a=-\frac{64}{8}=-8\)	9   \(\mapsto \)  6 \(a=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)	7  \(\mapsto \)   4,9 \(a=\frac{4,9}{7}=0,7\)	11   \(\mapsto \)   -32 \(a=-\frac{32}{11}\)
0,3  \(\mapsto \)  12 \(a=\frac{12}{0,3}=40\)	1,2  \(\mapsto \)   0,4 \(a=\frac{0,4}{1,2}=\frac{1}{3}\)	– 2,5 \(\mapsto \) – 8 \(a=\frac{-8}{-2,5}=3,2\)	25 \(\mapsto \)   – 5 \(a=\frac{-5}{25}=-\frac{1}{5}\)

Exercice 25 (corrigé fonctions linéaires)

Compléter les tableaux de valeurs des applications linéaires en utilisant les propriétés de la linéarité.

Application 1						Application 2
3	36	18	4	-2		2	4	-4	10	-12
10,5	126	63	14	-7		2,5	5	-5	12,5	-15

Exercice 26 :

Donner les applications linéaires associées aux situations suivantes utilisant des pourcentages :

1. Augmenter de 25%          \(f:x\,\mapsto \,(1+\frac{25}{100})x=1,25x\)
2. Diminuer de 20%            \(f:x \mapsto 0,8x\)
3. Diminuer de 4%             \(f:x\,\mapsto \,0,96x\)
4. Augmenter de 10%       \(f:x\,\mapsto \,1,1x\)
5. Diminuer de 75%           \(f:x\,\mapsto \,0,25x\)

Exercice 27 (corrigé fonctions linéaires)

Traduire chacune de ces applications linéaires par une variation en pourcentage :

x       \(\mapsto \)        1,35x (+35%)	x        \(\mapsto \)      0,98x (- 2%)	x     \(\mapsto \)        3/2 x (+ 50%)	x     \(\mapsto \)        ¾ x (-25%)	x     \(\mapsto \)         1,01 x (+ 1%)
x        \(\mapsto \)     0,86x (-14 %)	x         \(\mapsto \)      1,31x (+ 31 %)	x        \(\mapsto \)    4/9 x (environ -55,6 %)	x      \(\mapsto \)        5/8 x (-37,5 %)	x        \(\mapsto \)     1,002x (+ 0,2 %)

Exercice 28 :

Les points suivants dont on donne les cordonnées sont-ils situés sur la droite représentant graphiquement l’application linéaire x    \(\mapsto \)   – 0,75x ?

A (-1 ; 0,75)                B (-2 ; \(\frac{3}{2}\))                  C (-0,2 ; – 0,15)                      D (- \(\frac{4}{3}\) ; 1)

\(f(-1)=-0,75\times \,(-1)=0,75\)   Oui pour A.

Puis, \(f(-2)=-0,75\times \,(-2)=1,5=\frac{3}{2}\)  Oui pour B.

\(f(-0,2)=-0,75\times \,(-0,2)=0,15\)  Non  pour C.

Également, \(f(-\frac{4}{3})=-0,75\times \,(-\frac{4}{3})=-\frac{3}{4}\times \,(-\frac{4}{3})=1\) Oui pour D.

Exercice 29 (corrigé fonctions linéaires)

Dans un même repère représenter graphiquement les applications linéaires définies par :

x         \(\mapsto \)     x     ;             x     \(\mapsto \)          – x        ;       x     \(\mapsto \)          – 3x       ;      x     \(\mapsto \)          – \(\frac{3}{2}\)x

Exercice 30 :

Associer chacune des droites représentées à l’une des applications linéaires proposées.

Les droites passent toutes par l’origine. Plus le coefficient est grand en valeur absolue, plus la droite est « raide » ; un coefficient positif donne une droite qui monte, un coefficient négatif une droite qui descend.

• \(y=3x\) : (D1), la droite qui monte le plus.
• \(y=\dfrac{9}{4}x\) : (D2).
• \(y=1{,}4x\) : (D5).
• \(y=\dfrac{2}{5}x\) : (D4), la droite qui monte le moins.
• \(y=-0{,}8x\) : (D3), la droite qui descend le plus.
• \(y=-\dfrac{1}{3}x\) : (D6).

Exercice 31 (corrigé fonctions linéaires)

Une fonction linéaire \(x \mapsto ax\) est représentée par la droite d’équation \(y = ax\), qui passe par l’origine. Ensuite, pour chaque droite, on place un deuxième point.

• \(f_1 : x \mapsto 3x\) : \(f_1(1) = 3\), la droite passe par (1 ; 3). Équation : \(y = 3x\).
• \(f_2 : x \mapsto -3x\) : \(f_2(1) = -3\), la droite passe par (1 ; -3). Équation : \(y = -3x\).
• \(f_3 : x \mapsto 2{,}5x\) : \(f_3(2) = 5\), la droite passe par (2 ; 5). Équation : \(y = 2{,}5x\).
• \(f_4 : x \mapsto -x\) : \(f_4(1) = -1\), la droite passe par (1 ; -1). Équation : \(y = -x\).

La droite d’équation \(y = \dfrac{5}{3}x\) représente la fonction linéaire \(x \mapsto \dfrac{5}{3}x\). Puis pour x = 3, on obtient \(y = \dfrac{5}{3} \times 3 = 5\) : on la trace en joignant O au point (3 ; 5).

Exercice 32 :

Le repère a pour unité un carreau (OI = OJ = 1 carreau). Chaque droite passe par l’origine ; on lit un point de la droite situé sur un nœud du quadrillage, puis on calcule \(a = \dfrac{y}{x}\).

• \(d_1\) passe par le point (3 ; 2), donc \(a = \dfrac{2}{3}\) et \(f_1(x) = \dfrac{2}{3}x\).
• \(d_2\) passe par le point (4 ; -3), donc \(a = -\dfrac{3}{4}\) et \(f_2(x) = -\dfrac{3}{4}x\).
• \(d_3\) passe par le point (4 ; 1), donc \(a = \dfrac{1}{4}\) et \(f_3(x) = \dfrac{1}{4}x\).
• \(d_4\) passe par le point (1 ; 2), donc \(a = 2\) et \(f_4(x) = 2x\).

Contrôle : \(d_2\) est la seule droite qui « descend », c’est bien la seule dont le coefficient est négatif.

Exercice 33 (corrigé fonctions linéaires)

Sur ce graphique, l’unité (graduation 1) correspond à deux carreaux : un carreau vaut donc 0,5. De plus, pour chaque droite, on relève les coordonnées du point marqué d’une croix, puis le coefficient est \(a = \dfrac{\text{ordonnée}}{\text{abscisse}}\).

Droite	Point marqué	Coefficient	Expression
\(d_1\)	(2 ; 3)	\(a = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\)	\(f(x) = 1{,}5x\)
\(d_2\)	(3 ; 2)	\(a = \dfrac{2}{3}\)	\(f(x) = \dfrac{2}{3}x\)
\(d_3\)	(2,5 ; 0,5)	\(a = \dfrac{0{,}5}{2{,}5} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\)	\(f(x) = 0{,}2x\)
\(d_4\)	(-3,5 ; 1,5)	\(a = \dfrac{1{,}5}{-3{,}5} = -\dfrac{3}{7}\)	\(f(x) = -\dfrac{3}{7}x\)
\(d_5\)	(2 ; -2)	\(a = \dfrac{-2}{2} = -1\)	\(f(x) = -x\)
\(d_6\)	(0,5 ; -3)	\(a = \dfrac{-3}{0{,}5} = -6\)	\(f(x) = -6x\)

Les six fonctions sont : \(x \mapsto 1{,}5x\) ; \(x \mapsto \dfrac{2}{3}x\) ; \(x \mapsto 0{,}2x\) ; \(x \mapsto -\dfrac{3}{7}x\) ; \(x \mapsto -x\) ; \(x \mapsto -6x\).

Exercice 34 :

Une fonction \(x \mapsto A(x)\) est linéaire si l’on peut écrire \(A(x) = ax\) avec un nombre a fixe.

Figure 1 (le carré). La surface coloriée est le grand carré de côté \(x + 0{,}5\) privé du carré blanc de côté x :

\(A(x) = (x + 0{,}5)^2 – x^2 = x^2 + x + 0{,}25 – x^2 = x + 0{,}25\).

On peut aussi découper la surface en un rectangle de \(x \times 0{,}5\), un rectangle de \(0{,}5 \times x\) et un petit carré de \(0{,}5 \times 0{,}5\) : \(0{,}5x + 0{,}5x + 0{,}25 = x + 0{,}25\).

\(A(x) = x + 0{,}25\) : ce n’est pas une fonction linéaire (à cause du terme 0,25 ; par exemple \(A(0) = 0{,}25 \neq 0\)). C’est une fonction affine.

Figure 2 (le triangle). Le triangle colorié a pour base 2,2 (sur le côté horizontal) et pour hauteur x (le côté vertical est perpendiculaire à cette base) :

\(A(x) = \dfrac{2{,}2 \times x}{2} = 1{,}1x\).

\(A(x) = 1{,}1x\) : c’est une fonction linéaire de coefficient 1,1.

Figure 3 (le rectangle). Le triangle colorié a pour sommet le coin supérieur droit du rectangle ; sa base est posée sur le côté inférieur et mesure \(3{,}5 – x\), et sa hauteur est la largeur du rectangle, 1,6 :

\(A(x) = \dfrac{(3{,}5 – x) \times 1{,}6}{2} = 0{,}8 \times (3{,}5 – x) = 2{,}8 – 0{,}8x\).

\(A(x) = 2{,}8 – 0{,}8x\) : ce n’est pas une fonction linéaire (terme constant 2,8). C’est une fonction affine.

Exercice 35 :

Proportionnalité.

1. Ensuite, le prix payé s’obtient toujours en multipliant la masse par le même nombre, le prix au kilo : 1 kg coûte 2 €, 2 kg coûtent 4 €, 3 kg coûtent 6 €… Le quotient \(\dfrac{y}{x}\) vaut toujours 2, donc le prix payé y est proportionnel à la masse x.

2. \(y = 2x\).

3. Le coefficient de proportionnalité est a = 2 (c’est le prix d’un kilogramme, en €).

Étude de la fonction linéaire.

1. \(f(x) = 2x\).

2. f est de la forme \(x \mapsto ax\) avec a = 2 : f est une fonction linéaire de coefficient 2.

3. \(f(3) = 2 \times 3 = 6\) ; \(f(0) = 2 \times 0 = 0\) ; \(f(5) = 2 \times 5 = 10\).

4. \(f(7) = 2 \times 7 = 14\). L’image de 7 est 14.

5. Signification : 7 kg de tomates coûtent 14 €.

6. Par ailleurs, on cherche x tel que \(2x = 5\), donc \(x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\). Le nombre qui a pour image 5 est 2,5 (avec 5 €, on achète 2,5 kg).

7. Puis on cherche x tel que \(2x = 6{,}5\), donc \(x = \dfrac{6{,}5}{2} = 3{,}25\). Le nombre qui a pour image 6,5 est 3,25.

8. Tableau complété :

x	0	2,5	3	3,25	5	7
f(x)	0	5	6	6,5	10	14
Points	O		A		B	C

9. Ensuite, la représentation de f est la demi-droite d’origine O passant par A(3 ; 6), B(5 ; 10) et C(7 ; 14) (la masse est positive). Avec les unités imposées, A est à 3 cm à droite de O et à 3 cm au-dessus.

Exercice 35 : (suite)

Lectures graphiques (traits de construction en pointillés) :

• on part de 3,5 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la droite et on lit 7 sur l’axe des ordonnées : 3,5 kg de tomates coûtent 7 € (vérification : \(2 \times 3{,}5 = 7\)) ;
• on part de 8 sur l’axe des ordonnées, on va jusqu’à la droite et on lit 4 sur l’axe des abscisses : avec 8 €, on achète 4 kg de tomates (vérification : \(8 : 2 = 4\)).

Exercice 36 :

a. \(f(3) = -0{,}8 \times 3 = -2{,}4\). L’image de 3 par f est -2,4.

b. Puis on cherche x tel que \(f(x) = -4\), c’est-à-dire \(-0{,}8x = -4\). Donc \(x = \dfrac{-4}{-0{,}8} = 5\).

Vérification : \(-0{,}8 \times 5 = -4\). L’antécédent de -4 par f est 5.

2. f est linéaire : sa représentation est la droite (d) passant par l’origine O. D’après la question b, elle passe aussi par le point (5 ; -4) ; on trace la droite passant par O et par ce point (le point (3 ; -2,4) permet de contrôler le tracé).

Exercice 37 :

a. \(t(14) = 0{,}95 \times 14 = 13{,}3\). \(t(14) = 13{,}3\).

b. De plus, on cherche x tel que \(0{,}95x = 19\). Donc \(x = \dfrac{19}{0{,}95} = \dfrac{1\,900}{95} = 20\).

Vérification : \(0{,}95 \times 20 = 19\). L’antécédent de 19 par t est 20.

c. t est linéaire : sa représentation est la droite (d) passant par l’origine O et, d’après la question b, par le point (20 ; 19). Ensuite, le point (14 ; 13,3) permet de vérifier le tracé.

Exercice 38 :

Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l’origine du repère. Par ailleurs, on examine chaque graphique.

• Graphique 1 : non. La courbe passe bien par l’origine, mais ce n’est pas une droite : elle est formée de deux segments (elle « rebondit » au point (1 ; -1)).
• Graphique 2 : oui. C’est une droite passant par l’origine. Elle passe par le point (2 ; 1), donc son coefficient est \(a = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\) : c’est la fonction \(x \mapsto 0{,}5x\).
• Graphique 3 : non. C’est une droite, mais elle ne passe pas par l’origine : elle coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 1). L’image de 0 vaut 1 et non 0 (c’est la fonction affine \(x \mapsto -x + 1\)).

Seul le graphique 2 représente une fonction linéaire, de coefficient 0,5.

Exercice 39 :

a. Puis le tarif n’est pas proportionnel à la durée. Ensuite, le graphique n’est pas une seule droite passant par l’origine : de 0 à 4 h, c’est un segment passant par l’origine, mais au-delà de 4 h la courbe devient horizontale. Par exemple, 4 h coûtent 20 € et 8 h coûtent aussi 20 € : la durée double mais le tarif ne double pas.

Le tarif n’est donc pas proportionnel à la durée. (Il ne l’est que pour les durées comprises entre 0 et 4 h, avec 5 € par heure.)

b. Les communications sont facturées 5 € par heure ; au-delà de 4 heures, le prix reste bloqué à 20 € : le forfait est plafonné à 20 €.

Exercice 40 :

On a \(h(x) = -3{,}2x\).

• Pour calculer une image, on multiplie par -3,2 : \(h(-3) = -3{,}2 \times (-3) = 9{,}6\) ; \(h(-1{,}5) = -3{,}2 \times (-1{,}5) = 4{,}8\) ; \(h(0) = 0\).
• Pour trouver un antécédent, on divise par -3,2 : \(\dfrac{8}{-3{,}2} = -2{,}5\) ; \(\dfrac{2{,}4}{-3{,}2} = -0{,}75\) ; \(\dfrac{-16}{-3{,}2} = 5\).

x	-3	-2,5	-1,5	-0,75	0	5
h(x)	9,6	8	4,8	2,4	0	-16

Exercice 41 :

f peut être linéaire si le tableau est un tableau de proportionnalité, c’est-à-dire si tous les quotients \(\dfrac{f(x)}{x}\) (pour x non nul) sont égaux ; ce quotient commun est alors le coefficient.

a. \(\dfrac{9}{7} \approx 1{,}29\) et \(\dfrac{10}{8} = 1{,}25\) : les quotients sont différents. f ne peut pas être linéaire. (On remarque d’ailleurs que \(f(x) = x + 2\).)

b. \(\dfrac{4}{-3} = -\dfrac{4}{3}\) ; \(\dfrac{-4}{3} = -\dfrac{4}{3}\) ; \(\dfrac{-12}{9} = -\dfrac{4}{3}\). f peut être linéaire, de coefficient \(-\dfrac{4}{3}\).

c. \(\dfrac{-11}{-10} = 1{,}1\) ; \(\dfrac{-5{,}5}{-5} = 1{,}1\) ; \(\dfrac{-1{,}1}{-1} = 1{,}1\) ; \(f(0) = 0\) ; \(\dfrac{2{,}2}{2} = 1{,}1\) ; \(\dfrac{11}{10} = 1{,}1\) ; mais \(1{,}1 \times 21 = 23{,}1 \neq 23\). f ne peut pas être linéaire : la dernière colonne ne respecte pas la proportionnalité.

Exercice 42 :

On note x le nombre choisi et on écrit le résultat du programme en fonction de x.

• P₁ : \(7x + 2\). Ce n’est pas de la forme ax (l’image de 0 est 2) : pas de fonction linéaire.
• P₂ : \(\dfrac{7x}{2} = 3{,}5x\) : fonction linéaire de coefficient 3,5.
• P₃ : \(x + 4\). L’image de 0 est 4 : pas de fonction linéaire.
• P₄ : \(\dfrac{x}{2} = 0{,}5x\) : fonction linéaire de coefficient 0,5.

Corrigé fonctions linéaires : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, corrigé fonctions linéaires en troisième demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction linéaire de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec les fonctions affines : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.