Les fonctions affines : corrigé des exercices de maths en 3ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (fonctions affines corrigé)

Expliquer ce que signifie les notations suivantes :

a. \(f:x \mapsto 3x+7\) : la fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 3x+7 .
b. \(f(x)=-2x+3\) : la fonction f définie par l’image de tout nombre x est -2x+3

Exercice 2:

Parmi les fonctions données, indiquer celles qui sont affines, celles qui sont linéaires, celles qui ne sont pas affines.

\(f(x)=5x+2\) est affine .

\(g(x)=-4+3x\) est affine.

\(h(x)=2x\) est linéaire (donc aussi affine, avec b = 0).

\(i(x)=8\) est affine, c’est une fonction constante .

\(j(x)=-4x^2-4\) est ni linéaire ni affine.

\(k(x)=-\frac{3x}{7}=-\frac{3}{7}x\) est linéaire .

\(l(x)=3\sqrt{x}+7\) est ni linéaire ni affine.

\(m(x)=3+\frac{1}{x}\) est ni linéaire ni affine.

Exercice 3 (fonctions affines corrigé)

La fonction f est définie par : \(f:x \mapsto -5x+2\).

a. Calculer f(2)=-8 ;f(- 3)=17 ; f(0)=2.
b. Après cela, calculer l’image de 4 : f(4)= -18
c. Calculer le nombre x tel que :
\(f(x)=\frac{5}{3}\).

\(-5x+2=\frac{5}{3}\)

\(-5x=-2+\frac{5}{3}\)

\(-5x=-\frac{6}{3}+\frac{5}{3}\)

\(-5x=-\frac{1}{3}\)

\(x=\frac{1}{15}\)

Exercice 4 :

On donne les images de deux nombres par une fonction affine f.

f(3)=5 et f(7)=13

a. Tracer sa représentation graphique dans un repère.

b. Déterminer l’expression algébrique de cette fonction \(f:x \mapsto ax+b\) (c’est-à-dire déterminer a et b).

\(a=\frac{f(7)-f(3)}{7-3}=\frac{13-5}{4}=\frac{8}{4}=2\)

donc \(f(x)=2x+b\)

\(f(3)=5\Leftrightarrow f(3)=2\times 3+b=5\)

\(6+b=5\)

\(b=5-6\)

\(b=-1\)

Conclusion : \({\color{DarkRed}f(x)=2x-1}\)

Exercice 5 (fonctions affines corrigé)

1. Le prix payé est égal au prix des chocolats plus le prix de l’emballage. Comme 100 g coûtent 3 €, 1 kg (10 fois plus) coûte 30 € : le prix des chocolats est proportionnel à leur masse.

• Sonia : 750 g, c’est 7,5 fois 100 g. \(7{,}5\times 3+1{,}52=22{,}5+1{,}52=24{,}02\). Sonia a payé 24,02 €.
• Samy : 900 g, c’est 9 fois 100 g. \(9\times 3+1{,}52=27+1{,}52=28{,}52\). Samy a payé 28,52 €.

Si x est la masse en grammes, le prix payé est donné par la fonction affine \(x \mapsto 0{,}03x+1{,}52\).

2. Notons p le prix d’une place et a le montant de l’abonnement, en euros. Les deux personnes paient le même abonnement.

• Première personne : \(3p+a=16\).
• Deuxième personne : \(5p+a=22\).

La deuxième personne a payé 2 places de plus que la première, et \(22-16=6\) euros de plus. Donc 2 places coûtent 6 €, soit \(p=6: 2=3\).

Alors \(a=16-3\times 3=16-9=7\). Vérification : \(5\times 3+7=22\).

Une place coûte 3 € et l’abonnement coûte 7 €.

Exercice 6 :

g(x)=3x

u(x)=2

f(x)=x+2,5

h(x)=-2x-2

k(x)=-3,5x+0,5

Exercice 7 (fonctions affines corrigé)

Les droites sont parallèles car le coefficient directeur est le même.

Exercice 8 :

a.Pour le tarif 1, il paiera 100 €.

Pour le tarif 2, il paiera : 40+12×1=52 €

Pour le tarif 3 , il paiera : 12×2= 24 €

Dans ce cas, le tarif 3 est le plus intéressant.

b. On appelle x le nombre de fois où Yéro ira à la piscine.

Exprimer, en fonction de x :

t₁(x)=100

t₂(x)= x+40

t₃(x)= 2x

c. Représenter graphiquement ces trois fonctions dans un même repère orthogonal.

d. Il devra payer 12×4 = 48 entrées.

Et s’il y va deux fois par semaine ?

le double soit 96 entrées .

e. Pour 48 entrées, c’est le tarif 2 (88 € contre 96 € et 100 €) et pour 96 entrées c’est le tarif 1 (100 € contre 136 € et 192 €).

f. A partir de 61 entrées, le tarif 1 est le plus intéressant.

Exercice 9 (fonctions affines corrigé)

1)Sois la fonction affine f définie par f(x)=-2x+3 .

a) calculer f(0) .

f(0)= -2×0+3=3

b) calculer l’antécédent de 5 .

f(x)=5

-2x+3=5

-2x=5-3

-2x=2

x=-1

Donc l’antécédent de 5 par la fonction f est – 1 .

2) Soit la fonction affine g telle que g(-2)=-2 et g(3)=4 .

a) déterminer la fonction g .

\(a=\frac{g(3)-g(-2)}{3-(-2)}=\frac{4-(-2)}{5}=\frac{6}{5}\)

et

\(g(x)=ax+b\)

\(g(-2)=-2a+b\)

\(g(-2)=-2\times \frac{6}{5}+b\)

\(g(-2)=-\frac{12}{5}+b\)

\(-2=-\frac{12}{5}+b\)

\(b=-2+\frac{12}{5}\)

\(b=-\frac{10}{5}+\frac{12}{5}\)

\({\color{DarkRed} b=\frac{2}{5}}\)

Conclusion : la fonction affine g recherchée est

\({\color{DarkRed} g(x)=\frac{6}{5}x+\frac{2}{5}}\)

Vérification : \(g(3)=\frac{18}{5}+\frac{2}{5}=\frac{20}{5}=4\).

b) calculer g(0) et g(3) .

\(g(0)=\frac{6}{5}\times 0+\frac{2}{5}=\frac{2}{5}\)

\(g(3)=\frac{6}{5}\times 3+\frac{2}{5}=\frac{18}{5}+\frac{2}{5}=\frac{20}{5}=4\) (c’est bien la donnée de l’énoncé).

3) dans un même repère (O,I,J).

a) tracer les représentations graphiques de f et de g .

La droite de f passe par (0 ; 3) et (1 ; 1) ; la droite de g passe par (-2 ; -2) et (3 ; 4).

b) calculer les coordonnées du point d’intersection de ces représentations graphiques .

Résolvons f(x) = g(x)

\(-2x+3=\frac{6x+2}{5}\)

\(5(-2x+3)=6x+2\)

\(-10x+15=6x+2\)

\(-10x-6x=2-15\)

\(-16x=-13\)

\(x=\frac{-13}{-16}=\frac{13}{16}\)

et

\(f(\frac{13}{16})=-2\times \frac{13}{16}+3=-\frac{26}{16}+\frac{48}{16}=\frac{22}{16}=\frac{11}{8}\)

Les coordonnées du point d’intersection sont : \(I(\frac{13}{16};\frac{11}{8})\).

Exercice 10 :

Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules.

– Formule A : on paie 40 € pour devenir adhérent pour l’année scolaire puis on

paye 10 € par mois de garderie.

-Formule B : pour les non adhérents, on paye 18 € par mois.

1. On appelle \(x\) le nombre de mois de garderie.

\(A(x)=10x+40\) et \(B(x)=18x\)

2. Représentez graphiquement les fonctions suivantes dans un repère :

\(x \mapsto A(x)=10x+40\) et \(x \mapsto B(x)=18x\) .

On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse et 1 cm pour 10 € en ordonnée.

3.

a) C’est le point d’intersection des deux droites. Pour 5 mois, les prix à payer sont égaux (90 €).

b) Retrouver ce résultat par le calcul.

\(A(x)=B(x)\)

\(18x=10x+40\)

\(8x=40\)

\(x=\frac{40}{8}\)

\({\color{DarkRed}x=5}\)

4. La plus avantageuse si on ne paie que 4 mois dans l’année est la formule B (72 € contre 80 €).

5. On dispose d’un budget de 113 €.

Nous sommes amenés à résoudre cette inéquation :

\(A(x)\leq\, 113\)

\(10x+40\leq\, 113\)

\(10x\leq\, 113-40\)

\(10x\leq\, 73\)

\(x\leq\, \frac{73}{10}\)

\(x\leq\, 7{,}3\)

On pourra payer, au maximum, 7 mois de garderie avec un budget de 113 euros.

Exercice 11 (fonctions affines corrigé)

Dans chacun des cas suivants, écrivez la fonction f sous la forme f(x)=ax+b

et précisez les valeurs de a et b.

1) La représentation graphique de f est une droite de coefficient directeur -3 et telle que f(0)=2.

a= – 3 donc f(x)=-3x+b

de plus f(0)= 2

donc -3×0+b= 2

b= 2

donc f(x)= – 3x + 2 (a = -3 et b = 2).

2)La fonction f est la fonction qui, à un nombre x, lui ajoute 6 et multiplie le résultat par – 4.

f(x)= – 4(x+6) = -4x-24 (a = -4 et b = -24).

3) La fonction f est la fonction qui, à un nombre x, le multiplie par 3, ajoute 4 au résultat,

puis divise le tout par 2.

\(f(x)=\frac{3x+4}{2}=\frac{3}{2}x+\frac{4}{2}={\color{DarkRed}1{,}5x+2}\)

4) La fonction f est définie par f(x)=(x+1)²-x².

\(f(x)=(x+1)^2-x^2\)

\(f(x)=x^2+2x+1-x^2\)

\({\color{DarkRed}f(x)=2x+1}\)

5). La fonction f est telle que si les x augmentent de 3, les « f(x) » augmentent de 12.

De plus, f(0)=1.

\(a=\frac{12}{3}=4\)

et f(x)=4x+b

de plus f(0)=4×0+b=1

donc b=1

d’où f(x) = 4x+1

Exercice 12 :

On désigne par \(x\) la hauteur SK (exprimée en mètres) de la pyramide SABCD.

1) Montrer que le volume (en m³) de la serre est donné par la formule \(V = 144 + 16x\).

Le volume de la serre est celui du pavé droit (8 m, 6 m, 3 m) plus celui de la pyramide de base le rectangle ABCD (8 m sur 6 m) et de hauteur x :

\(V=8\times 6\times 3+\frac{1}{3}\times 8\times 6\times x\)

\({\color{DarkRed}V=144+16x}\)

2) Calculer ce volume pour \(x\) = 1,5.

\(V=144+16x=144+16\times 1{,}5=144+24=168\)

Le volume est de 168 m³.

3) Pour quelle valeur de \(x\) le volume de la serre est-il de 200 m³ ?

\(V=200\)

\(144+16x=200\)

\(16x=200-144\)

\(16x=56\)

\(x=\frac{56}{16}\)

\(x=3{,}5\)

La hauteur de la pyramide doit être de 3,5 m afin que le volume soit de 200 \(\text{m}^3\).

Exercice 13 (fonctions affines corrigé)

1. Tableau complété (prix en magasin : 15x ; prix par Internet : 10x + 40) :

Nombre de cartouches achetées	2	5	11	14
Prix à payer en magasin en euros	30	75	165	210
Prix à payer par Internet en euros	60	90	150	180

2. a. \(P_A=15x\)

b. \(P_B=10x+40\)

3.

4.

a. Pour 6 cartouches, c’est le prix en magasin qui est le plus avantageux (90 € contre 100 € par Internet).

b. Avec 80 euros, Sonia peut acheter 5 cartouches en magasin (\(5\times 15=75\), alors que 6 cartouches coûteraient 90 €) mais seulement 4 cartouches par Internet (\(10\times 4+40=80\)). Il est donc plus intéressant pour elle d’acheter en magasin.

5.

Cherchons pour quel nombre de cartouches les prix sont égaux :

\(15x=10x+40\)

\(15x-10x=40\)

\(5x=40\)

\(x=\frac{40}{5}\)

\(x=8\)

Les prix sont égaux pour 8 cartouches achetées.

Le prix internet est inférieur ou égal à celui du magasin à partir de 8 cartouches.

Exercice 14 :

L’école décide de tester un logiciel pour gérer sa bibliothèque. Elle télécharge ce logiciel sur
Internet.

1. Le fichier a une taille de 3,5 Mo (Mega-octets) et le téléchargement s’effectue en 7 secondes.

Quel est le débit de la connexion Internet ? On donnera le résultat en Mo/s.
c’est une situation de proportionnalité.

\(3{,}5\text{ Mo} \to 7\text{ s}\)
\(x \to 1\text{ s}\)

donc

\(x=\frac{3{,}5\times 1}{7}=0{,}5\text{ Mo/s}\)

Après une période d’essai de 1 mois, l’école décide d’acheter le logiciel.

Il y a trois tarifs :

• Tarif A : 19 €
• Tarif B : 10 centimes par élève
• Tarif C : 8 € + 5 centimes par élève

2. Compléter le tableau suivant :

Nombre d’élèves	100	200	300
Tarif A	19 €	19 €	19 €
Tarif B	10 €	20 €	30 €
Tarif C	13 €	18 €	23 €

3. a. Si x représente le nombre d’élèves, laquelle des expressions suivantes correspond au tarif C ?
C1 = 8 + 5x
C2 = 8 + 0, 05x
C3 = 0, 05 + 8x

b. Est ce une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.
C2 correspond à une fonction affine donc ce n’est pas une situation de proportionnalité, il y aurait fallu une fonction linéaire (c’est le cas du tarif B).

Exercice 15 (fonctions affines corrigé)

1. Tarif A : \(5\times \) nombre de DVD ; tarif B : \(18+2{,}5\times \) nombre de DVD ; tarif C : 70 € quel que soit le nombre de DVD.

	5 DVD	15 DVD	25 DVD
Coût au tarif A	25 €	75 €	125 €
Coût au tarif B	30,50 €	55,50 €	80,50 €
Coût au tarif C	70 €	70 €	70 €

2. \(f(x)=5x\) ; \(g(x)=2{,}5x+18\) ; \(h(x)=70\).

3. f est linéaire : sa droite passe par l’origine et par (10 ; 50). g est affine : sa droite passe par (0 ; 18) et (10 ; 43). h est constante : sa droite est parallèle à l’axe des abscisses, à la hauteur 70.

4. a) \(5x=2{,}5x+18\) donne \(5x-2{,}5x=18\), soit \(2{,}5x=18\) et \(x=\dfrac{18}{2{,}5}=7{,}2\).

b) Les tarifs A et B coûteraient la même somme (36 €) pour 7,2 DVD. Comme on emprunte un nombre entier de DVD : jusqu’à 7 DVD, le tarif A est moins cher (35 € contre 35,50 €) ; à partir de 8 DVD, le tarif B est moins cher (38 € contre 40 €).

5. a) Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la droite du tarif B situés au-dessus de la droite horizontale d’ordonnée 70, ou sur elle : c’est le cas à droite du point d’intersection, dont l’abscisse est environ 21. Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à environ 21.

b) \(70\leq\, 2{,}5x+18\) donne \(52\leq\, 2{,}5x\), soit \(x\geq\, \dfrac{52}{2{,}5}\), c’est-à-dire \(x\geq\, 20{,}8\). À partir de 21 DVD, le tarif C est moins cher que le tarif B.

6. Synthèse (le tarif A et le tarif C coûtent autant pour \(5x=70\), soit 14 DVD, mais le tarif B est alors moins cher que les deux) :

• de 1 à 7 DVD : tarif A ;
• de 8 à 20 DVD : tarif B ;
• à partir de 21 DVD : tarif C.

Exercice 16 :

Sur le graphique, un carreau représente 0,5 unité. La droite \((d_1)\) est la droite croissante qui passe notamment par les points de coordonnées (-3,5 ; -3), (-2,5 ; -0,5) et (-1,5 ; 2).

1. On cherche le point de \((d_1)\) d’ordonnée -3 : son abscisse est -3,5. Un antécédent de -3 par h est -3,5.

2. On cherche le point de \((d_1)\) d’abscisse -2,5 : son ordonnée est -0,5. L’image de -2,5 par h est -0,5.

3. k est une fonction linéaire (\(k(x)=-4x\)) : sa droite \((d_2)\) passe par l’origine O. De plus \(k(1)=-4\) : elle passe par le point (1 ; -4). On trace la droite passant par ces deux points.

4. La droite \((d_3)\) est la droite décroissante. Elle coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; -3) : l’ordonnée à l’origine est b = -3. Elle passe aussi par le point (1 ; -5) : quand x augmente de 1, y diminue de 2, donc le coefficient directeur est a = -2. Vérification avec le point (-4 ; 5) : \(-2\times (-4)-3=5\).

La droite \((d_3)\) représente la fonction \(x \mapsto -2x-3\).

Exercice 17 (fonctions affines corrigé)

a. L’aire totale est :

\(10\times 8-\frac{3\times 10}{2}=80-15=65\text{ m}^2\).

(On retrouve ce résultat avec la formule de l’aire du trapèze : \(\frac{(5+8)\times 10}{2}=65\).)

b. x est compris entre 0 et 5.

c. \(r(x)=10x\)

Le coin lecture est un trapèze de bases \(5-x\) et \(8-x\) et de hauteur 10, ou encore l’aire totale moins l’aire du rayonnage :

\(c(x)=\frac{(5-x+8-x)\times 10}{2}=5(13-2x)=65-10x\)

d.

e. Nous observons graphiquement que les voeux de la documentaliste

seront pris en compte lorsque x = 3,25 (abscisse du point d’intersection des deux droites).

et par le calcul :

10x=65-10x

10x+10x=65

20x=65

\(x=\frac{65}{20}=3{,}25\)

Le rayonnage doit avoir une largeur de 3,25 m ; chaque espace mesure alors 32,5 m².

Exercice 18 :

Par lecture graphique, indiquer pour chaque fonction affine, quelle droite est sa représentation graphique.

Les fonctions \(x \mapsto 2x+b\) ont le même coefficient directeur 2 : leurs droites (d5), (d6), (d7) et (d8) sont parallèles, et on les distingue par leur ordonnée à l’origine. Les autres droites passent par le point (0 ; 5) et se distinguent par leur pente.

Fonction	Droite
\(x \mapsto 2x+1\)	\((d_6)\)
\(x \mapsto \dfrac{1}{2}x+5\)	\((d_2)\)
\(x \mapsto -2x+5\)	\((d_4)\)
\(x \mapsto 5\)	\((d_3)\)
\(x \mapsto 2x-3\)	\((d_7)\)
\(x \mapsto 2x-7\)	\((d_8)\)
\(x \mapsto -\dfrac{1}{2}x+5\)	\((d_1)\)
\(x \mapsto 2x+5\)	\((d_5)\)

Exercice 19 (fonctions affines corrigé)

Déterminer la fonction affine f telle que f(9)=-1 et f(18)= – 8.

Déterminons la valeur du coefficient directeur a :

\(a=\frac{f(18)-f(9)}{18-9}=\frac{-8-(-1)}{9}=-\frac{7}{9}\)

donc la fonction f est définie par \(f(x)=-\frac{7}{9}x+b\)

or f(9)=-1 donc \(-\frac{7}{9}\times 9+b=-1\)

donc \(b=-1+\frac{7}{9}\times 9=-1+7=6\)

Conclusion :

\(f:x \mapsto -\frac{7}{9} x+6\)

Exercice 20 :

a. \(f(-4)=-3\times (-4)+2=12+2=14\). L’image de -4 par f est 14.

b. On résout \(f(x)=5\) : \(-3x+2=5\), donc \(-3x=3\) et \(x=\dfrac{3}{-3}=-1\). Vérification : \(f(-1)=3+2=5\). L’antécédent de 5 par f est -1.

Exercice 21 (fonctions affines corrigé)

1. Images par \(g(x)=4x+3\) :

• a. \(g(2)=4\times 2+3=8+3=\) 11 ;
• b. \(g(0)=4\times 0+3=\) 3 ;
• c. \(g(-8)=4\times (-8)+3=-32+3=\) -29.

2. Antécédents : on résout l’équation \(4x+3=k\).

• a. \(4x+3=0\) donne \(4x=-3\), donc \(x=\) \(-\dfrac{3}{4}\) (soit -0,75) ;
• b. \(4x+3=9\) donne \(4x=6\), donc \(x=\dfrac{6}{4}=\) 1,5 ;
• c. \(4x+3=-1\) donne \(4x=-4\), donc \(x=\) -1.

Exercice 22 :

Pour compléter une case de la ligne \(h(x)\), on calcule une image : \(h(x)=5x-4\). Pour compléter une case de la ligne \(x\), on cherche un antécédent en résolvant \(5x-4=k\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{k+4}{5}\).

• \(h(-1)=-5-4=-9\) ;
• \(5x-4=-6{,}5\) donne \(5x=-2{,}5\), donc \(x=-0{,}5\) ;
• \(h(0)=-4\) ;
• \(5x-4=0\) donne \(5x=4\), donc \(x=0{,}8\) ;
• \(h(1{,}6)=8-4=4\) ;
• \(5x-4=11\) donne \(5x=15\), donc \(x=3\).

\(x\)	\(-1\)	\(-0{,}5\)	\(0\)	\(0{,}8\)	\(1{,}6\)	\(3\)
\(h(x)\)	\(-9\)	\(-6{,}5\)	\(-4\)	\(0\)	\(4\)	\(11\)

Exercice 23 (fonctions affines corrigé)

Amar a tort. Il suffit d’un contre-exemple : \(g(-1)=-2\times (-1)-1=2-1=1\), et 1 est un nombre positif.

Plus précisément, \(g(x)\) est positif ou nul lorsque \(-2x-1\geq\, 0\), c’est-à-dire \(-2x\geq\, 1\), soit \(x\leq\, -\dfrac{1}{2}\) (en divisant par -2, nombre négatif, on change le sens de l’inégalité).

L’image d’un nombre par g n’est négative que si ce nombre est supérieur à -0,5 ; pour tout nombre inférieur ou égal à -0,5, l’image est positive ou nulle.

Exercice 24 :

a. \(f(x)=\dfrac{1}{4}x-6\) : multiplier par \(\dfrac{1}{4}\), c’est diviser par 4, puis on soustrait 6. Pour calculer l’image d’un nombre, on applique le programme 2.

b. Pour trouver l’antécédent d’un nombre y, on résout \(\dfrac{1}{4}x-6=y\) : on ajoute 6, \(\dfrac{1}{4}x=y+6\), puis on multiplie par 4, \(x=4(y+6)\). On « défait » les opérations dans l’ordre inverse : c’est le programme 4 (ajouter 6, puis multiplier par 4).

Exemple : l’image de 8 est \(8: 4-6=-4\), et le programme 4 appliqué à -4 donne bien \((-4+6)\times 4=8\).

Exercice 25 (fonctions affines corrigé)

On écrit chaque fonction sous la forme \(x \mapsto ax+b\) : a est le nombre qui multiplie x, b est le terme constant.

• a. \(x \mapsto 1x+3\) : a = 1 et b = 3 ;
• b. \(x \mapsto 2x-1\) : a = 2 et b = -1 ;
• c. \(x \mapsto -5x+2\) : a = -5 et b = 2 ;
• d. \(x \mapsto 1x+0\) : a = 1 et b = 0 (fonction linéaire) ;
• e. \(x \mapsto 0x+7\) : a = 0 et b = 7 (fonction constante) ;
• f. \(x \mapsto -\dfrac{1}{2}x+0\) : a = \(-\dfrac{1}{2}\) et b = 0 (fonction linéaire) ;
• g. \(x \mapsto \dfrac{1}{3}x-1\) : a = \(\dfrac{1}{3}\) et b = -1 ;
• h. \(x \mapsto -1x-\dfrac{3}{4}\) : a = -1 et b = \(-\dfrac{3}{4}\) ;
• i. \(x \mapsto -0{,}5x+7\) : a = -0,5 et b = 7.

Exercice 26 :

La représentation graphique d’une fonction affine est toujours une droite.

• a. La courbe n’est pas une droite (elle descend puis remonte) : elle ne peut pas représenter une fonction affine.
• b. C’est une droite (décroissante, qui coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 1)) : elle peut représenter une fonction affine, d’ordonnée à l’origine 1 et de coefficient directeur négatif.
• c. C’est une ligne brisée, formée de deux morceaux de droites : elle ne peut pas représenter une fonction affine.

Exercice 27 (fonctions affines corrigé)

1. Après l’installation de la cloison, la partie utilisable du garage est un rectangle de longueur \(10-x\) mètres et de largeur 4 mètres :

\(S(x)=4(10-x)=40-4x\) (x est compris entre 0 et 10).

2. a. \(S(2{,}5)=40-4\times 2{,}5=40-10=\) 30.

Antécédent de 32 : \(40-4x=32\) donne \(-4x=-8\), donc \(x=\) 2.

b. Si le débarras a une profondeur de 2,5 m, il reste 30 m² de garage. Pour garder 32 m² de garage, il faut placer la cloison à 2 m du fond.

Exercice 28 :

Le coefficient directeur se lit en partant d’un point de la droite : quand x augmente de 1, y varie du coefficient directeur. L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

• a. La droite passe par (0 ; 3) puis par (1 ; 1) : y diminue de 2. Coefficient directeur -2, ordonnée à l’origine 3 ; fonction \(x \mapsto -2x+3\).
• b. La droite passe par (0 ; 1) puis par (1 ; 2) : y augmente de 1. Coefficient directeur 1, ordonnée à l’origine 1 ; fonction \(x \mapsto x+1\).
• c. La droite passe par (0 ; -2) puis par (1 ; 1) : y augmente de 3. Coefficient directeur 3, ordonnée à l’origine -2 ; fonction \(x \mapsto 3x-2\).

Exercice 29 (fonctions affines corrigé)

Dans l’énoncé d’origine, la lettre x avait disparu ; les fonctions sont \(f(x)=36\), \(g(x)=1{,}2x+12\) et \(h(x)=2{,}4x\).

1) \(g(5)=1{,}2\times 5+12=6+12=\) 18 et \(h(5)=2{,}4\times 5=\) 12.

2) \(d_1\) est parallèle à l’axe des abscisses, à la hauteur 36. \(d_2\) passe par (0 ; 12) et (5 ; 18). \(d_3\) passe par l’origine et par (5 ; 12).

3) \(g(x) \lt f(x)\) s’écrit \(1{,}2x+12 \lt 36\), soit \(1{,}2x \lt 24\), donc \(x \lt \dfrac{24}{1{,}2}\), c’est-à-dire \(x \lt 20\).

4) M est sur \(d_1\) et \(d_2\) : \(1{,}2x+12=36\) donne \(x=20\), et \(y=36\). Donc M(20 ; 36).

N est sur \(d_2\) et \(d_3\) : \(1{,}2x+12=2{,}4x\) donne \(12=1{,}2x\), donc \(x=10\) et \(y=2{,}4\times 10=24\). Donc N(10 ; 24).

Exercice 30 :

Partie I

1) Deux points pour chaque droite :

• \(D_1\) : \(y=-90x+270\) passe par (0 ; 270) et (3 ; 0) ;
• \(D_2\) : \(y=-40x+150\) passe par (0 ; 150) et (2 ; 70) ;
• \(D_3\) : \(y=-10x+50\) passe par (0 ; 50) et (5 ; 0).

2) M est sur \(D_1\) et \(D_2\) : \(-90x+270=-40x+150\), donc \(-50x=-120\) et \(x=2{,}4\). Alors \(y=-90\times 2{,}4+270=-216+270=54\). Donc M(2,4 ; 54).

Partie II

1) a) Hélène roule à 90 km/h : en x heures, elle parcourt 90x km.

b) De Cherbourg au Mans, il y a \(120+100+50=270\) km. Après x heures, il lui reste \(270-90x\) km à parcourir : \(H(x)=270-90x\).

2) De Caen au Mans, il y a \(100+50=150\) km : \(C(x)=150-40x\). D’Alençon au Mans, il y a 50 km : \(A(x)=50-10x\).

3) M est sur \(D_1\) (Hélène) et \(D_2\) (Clément) : 2,4 h après 8 h, soit 2 h 24 min après, donc à 10 h 24, Hélène et Clément sont tous les deux à 54 km du Mans : c’est le moment où Hélène double Clément.

4) On lit le point d’intersection de \(D_1\) et \(D_3\) : son abscisse est environ 2,75 et son ordonnée environ 22 ou 23. Hélène doublera Adrien à environ 22,5 km du Mans, vers 10 h 45 (le calcul \(270-90x=50-10x\) donne exactement \(x=2{,}75\) et 22,5 km).

5) Clément double Adrien quand \(C(x)=A(x)\) : \(150-40x=50-10x\), donc \(-30x=-100\) et \(x=\dfrac{10}{3}\) h, soit 3 h 20 min. Distance restante : \(50-10\times \dfrac{10}{3}=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}7\) km.

Clément double Adrien à 11 h 20, à environ 16,7 km du Mans (exactement \(\dfrac{50}{3}\) km).

Exercice 31 :

Partie I

1) a) Le motocycliste parcourt 54 km en 60 min, donc 0,9 km par minute. En 10 min : \(0{,}9\times 10=9\) km ; en une demi-heure : 27 km ; en 40 min : 36 km. Il est à 9 km, 27 km et 36 km de A.

b) L’automobiliste parcourt 84 km en 60 min, soit 1,4 km par minute. En 10 min il a fait 14 km, en 30 min 42 km, en 40 min 56 km. Comme il part de B, à 92 km de A, il se trouve à \(92-14=78\) km, \(92-42=50\) km et \(92-56=36\) km de A : 78 km, 50 km et 36 km.

2) \(54\text{ km/h}=\dfrac{54\text{ km}}{60\text{ min}}=0{,}9\text{ km/min}\) et \(84\text{ km/h}=\dfrac{84\text{ km}}{60\text{ min}}=\) 1,4 km/min.

3) a) Après x minutes, le motocycliste est à 0,9x km de A.

b) Après x minutes, l’automobiliste a parcouru 1,4x km depuis B ; sa distance à A est donc \(92-1{,}4x\) km.

c) Ils se croisent quand ils sont à la même distance de A : \(0{,}9x=92-1{,}4x\), soit \(2{,}3x=92\) et \(x=\dfrac{92}{2{,}3}=40\). Ils se croisent 40 minutes après le départ, à 36 km de A (ce que confirment les réponses du 1).

Partie II

1) \((D_1)\) passe par l’origine et par (40 ; 36) ; \((D_2)\) passe par (0 ; 92) et (40 ; 36).

2) D’après la partie I, \(x=40\) et \(y=0{,}9\times 40=36\) : P(40 ; 36). Les coordonnées de P indiquent que les deux véhicules se croisent 40 minutes après leur départ, à 36 km de la ville A.

3) On lit une abscisse d’environ 66. Par le calcul, \(-1{,}4x+92=0\) donne \(x=\dfrac{92}{1{,}4}\approx 65{,}7\). Ce nombre représente la durée, en minutes, dont l’automobiliste a besoin pour arriver en A : environ 66 minutes, soit à peu près 1 h 06 min.

Exercice 32 :

Cet exercice reprend l’exercice 24 avec la même fonction \(f(x)=\dfrac{1}{4}x-6\).

a. Multiplier par \(\dfrac{1}{4}\) revient à diviser par 4, puis on soustrait 6 : on applique le programme 2.

b. Pour l’antécédent d’un nombre y, on résout \(\dfrac{1}{4}x-6=y\) : on ajoute 6 puis on multiplie par 4, \(x=4(y+6)\). C’est le programme 4.

Exercice 33 :

Mêmes graphiques que dans l’exercice 26 : seule une droite représente une fonction affine.

• a. La courbe n’est pas une droite : non.
• b. C’est une seule droite, qui coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 1) : oui.
• c. C’est une ligne brisée, pas une seule droite : non.

Exercice 34 :

Lectures sur le graphique : \((d_1)\) est horizontale à la hauteur 2, donc \(f_1(x)=2\). \((d_2)\) passe par (0 ; 3) et (1 ; 1), donc \(f_2(x)=-2x+3\). \((d_3)\) passe par l’origine et par (1 ; 3), donc \(f_3(x)=3x\).

1. La fonction linéaire est \(f_3\) (sa droite passe par l’origine). La fonction constante est \(f_1\) (sa droite est parallèle à l’axe des abscisses).

2. a. Images de 1 : \(f_1(1)=2\), \(f_2(1)=1\), \(f_3(1)=3\).

b. Antécédents de 3 :

• \(f_1\) prend toujours la valeur 2 : 3 n’a pas d’antécédent ;
• \(f_2\) : \(-2x+3=3\) donne \(x=0\) ; l’antécédent de 3 est 0 ;
• \(f_3\) : \(3x=3\) donne \(x=1\) ; l’antécédent de 3 est 1.

Exercice 35 :

a. Pour x gigaoctets, on paie 0,05 € par Go et 5 € de frais de dossier : \(f(x)=0{,}05x+5\). Cette expression est de la forme \(ax+b\) avec a = 0,05 et b = 5 : f est une fonction affine.

b. \(f(400)=0{,}05\times 400+5=20+5=\) 25. Une commande de 400 Go coûte 25 €.

c. \(0{,}05x+5=15\) donne \(0{,}05x=10\), donc \(x=\dfrac{10}{0{,}05}=\) 200. Avec 15 €, on peut commander 200 Go de stockage.

Exercice 36 :

1. Le coût comprend un montant fixe de 900 € et 40 € par mètre carré : \(C(x)=40x+900\).

2. a. \(C(120)=40\times 120+900=4\,800+900=\) 5 700.

Antécédent de 4 500 : \(40x+900=4\,500\) donne \(40x=3\,600\), donc \(x=\dfrac{3\,600}{40}=\) 90.

b. Refaire une toiture de 120 m² coûte 5 700 €. Avec un budget de 4 500 €, on peut refaire une toiture de 90 m².

Exercice 37 :

1. Une fonction affine s’écrit \(x \mapsto ax+b\). \(3x^2+1\) contient un carré et \(\dfrac{3}{x}+1\) une division par x ; en revanche \(3-x=-x+3\). Réponse b.
2. \(-2\times (-4)+3=8+3=11\). Réponse c.
3. \(2x-5=1\) donne \(2x=6\), donc \(x=3\). Réponse a.
4. Pour \(x=-3\) : \(\dfrac{4}{3}\times (-3)+3=-4+3=-1\), donc A appartient à la droite. (Pour \(x=1\) on obtient \(\dfrac{13}{3}\) et pour \(x=-1\) on obtient \(\dfrac{5}{3}\) : B et C n’y sont pas.) Réponse a.
5. La droite (d) coupe l’axe des ordonnées en -1 et passe par le point (3 ; 0) : quand x augmente de 3, y augmente de 1, donc le coefficient directeur est \(\dfrac{1}{3}\). \(g(x)=\dfrac{1}{3}x-1\). Réponse b.

Bien travailler avec fonctions affines corrigé

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur fonctions affines corrigé vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Fonction affine sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec théorème de Thalès : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.