Corrigé des exercices de maths

Les fonctions affines : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.


Le corrigé des exercices de maths en 3ème sur les fonctions affines en PDF. Savoir tracer la courbe d’une fonction affine et déterminer, par le calcul, la valeur du coefficient directeur bet de l’ordonnée à l’origine en troisième.

Exercice 1 :

Expliquer ce que signifie les notations suivantes :

a. f : x 3x+7 : la fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 3x+7 .
b. f(x)= -2x+3 : la fonction f définie par l’image de tout nombre x est  -2x+3

Exercice 2:
Parmi les fonctions données, indiquer celles qui sont affines, celles qui sont linéaires, celles qui ne sont pas affines.

f(x)=5x+2 est affine .

g(x)=-4+3x est affine.

h(x)=2x est linéaire

i(x)=8 est affine, c’est une fonction constante .

j(x)=-4x^2-4 est ni linéaire ni affine.

k(x)=-\frac{3x}{7}=-\frac{3}{7}x est linéaire .

l(x)=3\sqrt{x} est ni linéaire ni affine.

m(x)=3+\frac{1}{x} est ni linéaire ni affine.

Exercice 3 :

La fonction f est définie par : x -5x+2.

a. Calculer f(2)=-8 ;f(- 3)=17 ; f(0)=2.
b. Calculer l’image de 4 : f(4)= -18
c. Calculer le nombre x tel que :
f(x)=\frac{5}{3}.

-5x+2=\frac{5}{3}

-5x=-2+\frac{5}{3}

-5x=-\frac{6}{3}+\frac{5}{3}

-5x=-\frac{1}{3}

x=\frac{1}{15}

Exercice 4  :

On donne les images de deux nombres par une fonction affine f.

f(3)=5 et f(7)=13

a. Tracer sa représentation graphique dans un repère.

Courbe

b. Déterminer l’expression algébrique de cette fonction f : x ax+b (c’est-à-dire déterminer a et b).

a=\frac{f(7)-f(3)}{7-3}=\frac{13-5}{4}=\frac{8}{4}=2

donc  f(x)=2x+b 

f(3)=5\Leftrightarrow,f(3)=2\times  ,3+b=5

6+b=5

b=5-6

b=-1

Conclusion :       {\color{DarkRed},f(x)=2x-1}

Exercice 6 :

g(x)=3x

u(x)=2

f(x)=x+2,5

h(x)=-2x-2

k(x)=-3,5x+0,5

Courbes de fonctions affines et linéaires

Exercice 7 :

Courbes de fonctions affines et linéaires.

Les droites sont parallèles car le coefficient directeur est le même.

Exercice 8 :

a.Pour le tarif 1, il paiera 100 €.

Pour le tarif 2, il paiera : 40+12×1=52 €

Pour le tarif 3 , il paiera : 12×2= 24 €

Dans ce cas, le tarif 3 est le plus intéressant.

b. On appelle x le nombre de fois où Yéro ira à la piscine.

Exprimer, en fonction de x :

t1(x)=100

t2(x)= x+40

t3(x)= 2x

c. Représenter graphiquement ces trois fonctions dans un même repère orthogonal.

Tarifs et abonnements

d. Il devra payer 12×4 = 48 entrées.

Et s’il y va deux fois par semaine ?

le double soit 96 entrées .

e. Pour 48 entrées, c’est le tarif 2 et pour 96 c’est le tarif 1.

f. A partir de 61 entrées, le tarif 1 est le plus intéressant.

Exercice 9 :

1)Sois la fonction affine f définie par f(x)=-2x+3 .

a) calculer f(0) .

f(0)= -2×0+3=3

b) calculer l’antécédent de 5 .

fx()=5

-2x+3=5

-2x=5-3

-2x=2

x=-1

Donc l’antécédent de 5 par la fonction f est – 1 .

2) Soit la fonction affine g telle que g(-2)=-2 et g(3)=4 .

a) déterminer la fonction g .

a=\frac{g(3)-g(-2)}{3-(-2)}=\frac{4-(-2)}{5}=\frac{6}{5}

et

g(x)=ax+b

g(-2)=-2a+b

g(-2)=-2\times   \frac{6}{5}+b

g(-2)=-\frac{12}{5}+b

-2=-\frac{12}{5}+b

b=-2+\frac{12}{5}

b=-\frac{10}{5}+\frac{12}{5}

{\color{DarkRed} b=-\frac{2}{5}}

Conclusion : la fonction affine g recherchée est

{\color{DarkRed} g(x)=\frac{6}{5}}x-\frac{2}{5}

b) calculer g(0) et g(3)  .

g(0)=\frac{6}{5}\times   0-\frac{2}{5}=-\frac{2}{5}

g(3)=\frac{6}{5}\times   3-\frac{2}{5}=\frac{18}{5}-\frac{2}{5}=\frac{16}{5}

3) dans un même repère (O,I,J).

a) tracer les représentations graphiques de f et de g .

b) calculer les coordonnées du point d’intersection de ces représentations graphiques .

Résolvons f(x) = g(x)

-2x+3=\frac{6x-2}{5}

5(-2x+3)=6x-2

-10x+15=6x-2

-10x-6x=-15-2

-16x=-17

x=\frac{-17}{-16}=\frac{17}{16}

et

f(\frac{17}{16})=-2\times   \frac{17}{16}+3=-\frac{17}{16}+\frac{48}{16}=\frac{31}{16}

Les coordonnées du point d’intersection sont :   I(\frac{17}{16};\frac{31}{16}).

Exercice 10 :

Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules.

– Formule A : on paie 40 € pour devenir adhérent pour l’année scolaire puis on

paye 10 € par mois de garderie.

-Formule B : pour les non adhérents, on page 18 € par mois.

1. On appelle x le nombre de mois de garderie.

A(x)=10x+40    et B(x)=18x

2. Représentez graphiquement les fonctions suivantes dans un repère :

x,\mapsto  ,A(x)=10x+40   et x,\mapsto  ,B(x)=18x .

On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse et 1 cm pour 10 € en ordonnée.

fonctions affines et prix de la garderie

3.

a)  C’est le point d’intersection des deux droites. Pour 9 mois, les prix à payer sont égaux.

b) Retrouver ce résultat par le calcul.

A(x)=B(x)

18x=10x+40

8x=40

x=\frac{40}{8}

{\color{DarkRed},x=5}

4. La plus avantageuse si on ne paie que 4 mois dans l’année est la formule B.

5. On dispose d’un budget de 113 €.

Nous sommes amenés à résoudre cette équations :

A(x)\le\,113\\10x+40\le\,113\\10x\le\,113-40\\10x\le\,73\\x\le\,\frac{73}{10}\\x\le\,7,3

On pourra payer, au maximum, 7 mois de garderie avec un budget de 113 euros.

Exercice 11 :

Dans chacun des cas suivants, écrivez la fonction f sous la forme f(x)=ax+b

et précisez les valeurs de a et b.

1) La représentation graphique de f est une droite de coefficient directeur -3 et telle que f(0)=2.

a= – 3 donc f(x)=-3x+b

de plus f(0)= – 2

donc -3×0+b= – 2

b= – 2

donc f(x)= – 3x – 2

2)La fonction f est la fonction qui, à un nombre x, lui ajoute 6 et multiplie le résultat par – 4.

f(x)= – 4(x+6) = -4x-24

3) La fonction f est la fonction qui, à un nombre x, le multiplie par 3, ajoute 4 au résultat,

puis divise le tout par 2.

f(x)=\frac{3x+4}{2}=\frac{3}{2}x+\frac{4}{2}={\color{DarkRed}\,1,5x+2}

4) La fonction f est définie par f(x)=(x+1)²-x².

f(x)=(x+1)^2-x^2

f(x)=x^2+2x+1-x^2

{\color{DarkRed}\,f(x)=2x+1}

5). La fonction f est telle que si les x augmentent de 3, les « f(x) » augmentent de 12.

De plus, f(0)=1.

a=\frac{12}{3}=4

et f(x)=4x+b

de plus f(0)=4×0+b=1

donc b=1

d’où f(x) = 4x+1

Exercice 12 :

On désigne par x la hauteur SK (exprimée en mètres) de la pyramide SABCD.

1) Montrer que le volume (en m3) de la serre est donné par la formule V = 144 + 16xx .

V=8\times  \,6\times  \,3+\frac{1}{3}\times  \,8\times  \,6\times  \,x

{\color{DarkRed}\,V=148+16\,x}

2) Calculer ce volume pour x  = 1,5.

V=148+16\,x=148+16\times  \,1,5=148+24=172

3) Pour quelle valeur de x le volume de la serre est-il de 200 m3 ?

V=200

148+16,x=200

16,x=200-148

16,x=52

x=\frac{52}{16}

x=3,25

La hauteur de la pyramide doit être de 3,25 m afin que le volume soit de 200  m^3.

Exercice 13 :

1. A vous de compléter le tableau.

2. a. P_A=15x

b. P_B=10x+40

3.

4.

a. Pour 6 cartouches, c’est le prix A qui est le plus avantageux.

b. Pour 80 euros, il est plus intéressant de choisir la formule B.

5.

Cherchons pour quel nombre de cartouches les prix sont égaux :

15x=10x+40

15x-10x=40

5x=40

x=\frac{40}{5}

x=8

Les prix sont égaux pour 8 cartouches achetées.

Le prix internet est inférieur au delà de 8 cartouches.

Exercice 14 :

L’école décide de tester un logiciel pour gérer sa bibliothèque. Elle télécharge ce logiciel sur
Internet.

1. Le fichier a une taille de 3,5 Mo (Mega-octets) et le téléchargement s’effectue en 7 secondes.

Quel est le débit de la connexion Internet ? On donnera le résultat en Mo/s.
c’est une situation de proportionnalité.

3,5Morightarrow 7s
xrightarrow 1s

donc

x=\frac{3,5\times   1}{7}=0,5Mo/s

Après une période d’essai de 1 mois, l’école décide d’acheter le logiciel.

Il y a trois tarifs :

• Tarif A : 19 €
• Tarif B : 10 centimes par élève
• Tarif C : 8 € + 5 centimes par élève

2. Compléter le tableau suivant :

Nombre d’élèves 100 200 300
Tarif A 19 € 19 19
Tarif B 10 20 30 €
Tarif C 13 18 € 23

3. a. Si x représente le nombre d’élèves, laquelle des expressions suivantes correspond au tarif C ?
C1 = 8 + 5x
C2 = 8 + 0, 05x
C3 = 0, 05 + 8x

b. Est ce une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.
C2 correspond à une fonction affine donc ce n’est pas une situation de proportionnalité, il y aurait fallu une fonction linéaire (c’est le cas du tarif B).
Exercice 17 :

a. L’aire totale est :

10\times   8-\frac{3\times   10}{2}=80-15=65\,m^2.

b. x est compris entre 0 et 5.

c. r(x)=10x

c(x)=\frac{(5-x+8)\times   10}{2}=5(13-x)=65-5x

d.

e. Nous observons graphiquement que les voeux de la documentaliste

seront pris en compte lorsque x = 5.

et par le calcul :

10x=65-5x

10x+5x=65

15x=65

x=\frac{65}{15}=5

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