Une fonction affine se représente par une droite ; une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
Fais varier $a$ et $b$ avec les curseurs et observe la pente et l'ordonnée à l'origine.
Définition — fonction affine, linéaire
Une fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$. Si $b = 0$, $f(x) = ax$ est linéaire ; si $a = 0$, $f$ est constante.
Propriété — représentation graphique
La courbe d'une fonction affine est une droite. $a$ est le coefficient directeur (pente) : quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $a$. $b$ est l'ordonnée à l'origine : la droite passe par $(0\,;\,b)$. Une fonction linéaire passe par l'origine.
Propriété — coefficient directeur
Pour deux nombres $x_1\ne x_2$ : $$a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$
Méthode — déterminer une fonction affine
$f(1) = 5$ et $f(3) = 11$ : $a = \dfrac{11-5}{3-1} = 3$, puis $5 = 3\times 1 + b$ donne $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$.
Propriété — sens de variation
Si $a>0$, $f$ est croissante ; si $a<0$, décroissante.
À retenir
Augmenter de $t\,\%$ correspond à la fonction linéaire $x\mapsto \left(1+\dfrac{t}{100}\right)x$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax+b$ ; elle est linéaire si $b = 0$, soit $f(x) = ax$. La fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité et sa droite passe par l'origine.
Comment trouver le coefficient directeur d'une droite ?
Avec deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ : $a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
Comment déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs ?
On calcule le coefficient $a$ avec la formule des accroissements, puis $b$ en remplaçant $x$ et $f(x)$ par une valeur connue dans $f(x) = ax+b$.
Que représente l'ordonnée à l'origine ?
C'est $b = f(0)$ : l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.