Contrôle de maths 1ère : équations de droites et vecteur normal

Exercice 1 : Vecteur directeur et vecteur normal (4 points)

Calculatrice autorisée.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère la droite \(d\) d’équation \(2x – 3y + 6 = 0\) et le point \(F(1 \,;\, -2)\).

1. Donne un vecteur directeur et un vecteur normal de \(d\). (1 point)
2. Détermine le point d’intersection de \(d\) avec l’axe des ordonnées, puis vérifie que \(E(3 \,;\, 4)\) appartient à \(d\). (1 point)
3. Détermine une équation cartésienne de la droite \(d_1\) parallèle à \(d\) passant par \(F\). (1 point)
4. Détermine une équation cartésienne de la droite \(d_2\) perpendiculaire à \(d\) passant par \(F\). (1 point)

Exercice 2 : Un point et un vecteur normal (3 points)

1. Détermine une équation cartésienne de la droite \(\Delta\) passant par \(G(2 \,;\, -1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(4 \,;\, 1)\). (1 point)
2. La droite \(\Delta^{\prime}\) a pour équation \(x – 4y + 3 = 0\). Les droites \(\Delta\) et \(\Delta^{\prime}\) sont-elles perpendiculaires ? Justifie. (1 point)
3. Donne l’équation réduite de \(\Delta\), puis un vecteur directeur de \(\Delta\). (1 point)

Exercice 3 : Les hauteurs d’un triangle (5 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(-3 \,;\, 0)\), \(B(6 \,;\, -3)\) et \(C(2 \,;\, 5)\).

1. Calcule les coordonnées de \(\vec{BC}\) et montre que la hauteur issue de \(A\) a pour équation \(x – 2y + 3 = 0\). (1,5 point)
2. Détermine une équation cartésienne de la hauteur issue de \(B\). (1,5 point)
3. Calcule les coordonnées du point d’intersection \(H\) de ces deux hauteurs (l’orthocentre du triangle). (1,5 point)
4. Vérifie par un calcul de produit scalaire que \((CH)\) est perpendiculaire à \((AB)\). (0,5 point)

Exercice 4 : Les médiatrices du même triangle (4 points)

On garde les points \(A(-3 \,;\, 0)\), \(B(6 \,;\, -3)\) et \(C(2 \,;\, 5)\) de l’exercice 3.

1. Calcule les coordonnées du milieu \(K\) de \([AB]\), puis détermine une équation cartésienne de la médiatrice de \([AB]\). (1,5 point)
2. Montre que la médiatrice de \([AC]\) a pour équation \(x + y – 2 = 0\). (1 point)
3. Déduis-en les coordonnées du centre \(O\) du cercle circonscrit au triangle \(ABC\). (1 point)
4. Calcule le rayon de ce cercle. (0,5 point)

Exercice 5 : Raccorder une maison au réseau (4 points)

Sur un plan muni d’un repère orthonormé (unité : 100 m), une canalisation d’eau suit la droite \(d\) d’équation \(x + 2y – 5 = 0\). La maison de Maëlle est au point \(M(7 \,;\, 4)\). Pour la raccorder, on veut poser le tuyau le plus court possible entre \(M\) et la canalisation : il doit aboutir au projeté orthogonal \(P\) de \(M\) sur \(d\).

1. Détermine une équation cartésienne de la droite \(\delta\) perpendiculaire à \(d\) passant par \(M\). (1,5 point)
2. Calcule les coordonnées du point \(P\). (1,5 point)
3. Calcule la longueur \(MP\) du tuyau, en valeur exacte puis au mètre près. (1 point)

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