Corrigé du contrôle de maths 1ère : équations de droites et vecteur normal

Exercice 1 : Vecteur directeur et vecteur normal (4 points)

Rappel : la droite d’équation \(ax + by + c = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(-b \,;\, a)\) et pour vecteur normal \(\vec{n}(a \,;\, b)\).

1. Ici \(a = 2\) et \(b = -3\).
   \(\vec{u}(3 \,;\, 2)\) est un vecteur directeur de \(d\) et \(\vec{n}(2 \,;\, -3)\) est un vecteur normal de \(d\).
2. Sur l’axe des ordonnées, \(x = 0\) : \(-3y + 6 = 0\), donc \(y = 2\). \(d\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0 \,;\, 2)\).
   Pour \(E(3 \,;\, 4)\) : \(2 \times 3 – 3 \times 4 + 6 = 6 – 12 + 6 = 0\). Les coordonnées de \(E\) vérifient l’équation, donc \(E \in d\).
3. \(d_1\) est parallèle à \(d\), donc \(\vec{n}(2 \,;\, -3)\) est aussi normal à \(d_1\) : \(d_1 : 2x – 3y + c = 0\).
   \(F \in d_1\) : \(2 \times 1 – 3 \times (-2) + c = 0\), soit \(8 + c = 0\), donc \(c = -8\).
   \(d_1 : 2x – 3y – 8 = 0\).
4. \(d_2\) est perpendiculaire à \(d\), donc le vecteur directeur \(\vec{u}(3 \,;\, 2)\) de \(d\) est normal à \(d_2\) : \(d_2 : 3x + 2y + c = 0\).
   \(F \in d_2\) : \(3 \times 1 + 2 \times (-2) + c = 0\), soit \(-1 + c = 0\), donc \(c = 1\).
   \(d_2 : 3x + 2y + 1 = 0\).

Erreur fréquente : en d), réutiliser le vecteur normal de \(d\) : on obtient alors une droite parallèle à \(d\), pas perpendiculaire.

Barème : a) 0,5 point par vecteur ; b) 0,5 point pour le point d’intersection, 0,5 point pour la vérification ; c) 0,5 point pour le vecteur normal justifié, 0,5 point pour l’équation ; d) même répartition.

Exercice 2 : Un point et un vecteur normal (3 points)

1. \(\vec{n}(4 \,;\, 1)\) est normal à \(\Delta\), donc \(\Delta : 4x + y + c = 0\).
   \(G \in \Delta\) : \(4 \times 2 + (-1) + c = 0\), soit \(7 + c = 0\), donc \(c = -7\).
   \(\Delta : 4x + y – 7 = 0\).
2. Un vecteur normal de \(\Delta^{\prime}\) est \(\vec{n^{\prime}}(1 \,;\, -4)\).
   \(\vec{n} \cdot \vec{n^{\prime}} = 4 \times 1 + 1 \times (-4) = 0\) : les vecteurs normaux sont orthogonaux.
   Les droites \(\Delta\) et \(\Delta^{\prime}\) sont perpendiculaires.
3. \(4x + y – 7 = 0\) équivaut à \(y = -4x + 7\).
   L’équation réduite de \(\Delta\) est \(y = -4x + 7\) et \(\vec{u}(1 \,;\, -4)\) est un vecteur directeur de \(\Delta\) (coefficient directeur \(-4\)).

Barème : a) 0,5 point pour la forme \(4x + y + c = 0\), 0,5 point pour \(c\) ; b) 0,5 point pour le produit scalaire, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour l’équation réduite, 0,5 point pour le vecteur directeur.

Exercice 3 : Les hauteurs d’un triangle (5 points)

1. \(\vec{BC}(2 – 6 \,;\, 5 – (-3))\), soit \(\vec{BC}(-4 \,;\, 8)\).
   La hauteur issue de \(A\) passe par \(A\) et est perpendiculaire à \((BC)\) : \(\vec{BC}\) en est un vecteur normal. Son équation est \(-4x + 8y + c = 0\).
   \(A \in\) hauteur : \(-4 \times (-3) + 8 \times 0 + c = 0\), soit \(12 + c = 0\), donc \(c = -12\).
   \(-4x + 8y – 12 = 0\) ; en divisant par \(-4\) : \(x – 2y + 3 = 0\).
2. \(\vec{AC}(2 – (-3) \,;\, 5 – 0)\), soit \(\vec{AC}(5 \,;\, 5)\), est normal à la hauteur issue de \(B\) : \(5x + 5y + c = 0\).
   \(B \in\) hauteur : \(5 \times 6 + 5 \times (-3) + c = 0\), soit \(15 + c = 0\), donc \(c = -15\).
   \(5x + 5y – 15 = 0\) ; en divisant par 5 : \(x + y – 3 = 0\).
3. On résout le système formé par \(x – 2y + 3 = 0\) et \(x + y – 3 = 0\).
   En soustrayant la première équation de la seconde : \(3y – 6 = 0\), donc \(y = 2\).
   Puis \(x = 3 – y = 1\).
   L’orthocentre est \(H(1 \,;\, 2)\).
4. \(\vec{CH}(1 – 2 \,;\, 2 – 5)\), soit \(\vec{CH}(-1 \,;\, -3)\), et \(\vec{AB}(9 \,;\, -3)\).
   \(\vec{CH} \cdot \vec{AB} = -1 \times 9 + (-3) \times (-3) = -9 + 9 = 0\).
   \((CH) \perp (AB)\) : la troisième hauteur passe bien par \(H\).

Barème : a) 0,5 point pour \(\vec{BC}\), 0,5 point pour le vecteur normal justifié, 0,5 point pour l’équation ; b) même répartition ; c) 1 point pour la résolution, 0,5 point pour les coordonnées ; d) 0,5 point.

Exercice 4 : Les médiatrices du même triangle (4 points)

1. \(K(\dfrac{-3 + 6}{2} \,;\, \dfrac{0 + (-3)}{2})\), soit \(K(1{,}5 \,;\, -1{,}5)\).
   La médiatrice de \([AB]\) passe par \(K\) et est perpendiculaire à \((AB)\) : \(\vec{AB}(9 \,;\, -3)\) en est un vecteur normal, et on peut prendre aussi \(\dfrac{1}{3}\vec{AB}\), de coordonnées \((3 \,;\, -1)\). Équation : \(3x – y + c = 0\).
   \(K\) : \(3 \times 1{,}5 – (-1{,}5) + c = 0\), soit \(6 + c = 0\), donc \(c = -6\).
   La médiatrice de \([AB]\) a pour équation \(3x – y – 6 = 0\).
2. Le milieu de \([AC]\) est \(L(\dfrac{-3 + 2}{2} \,;\, \dfrac{0 + 5}{2})\), soit \(L(-0{,}5 \,;\, 2{,}5)\). Le vecteur \(\vec{AC}(5 \,;\, 5)\), ou \((1 \,;\, 1)\), est normal à la médiatrice : \(x + y + c = 0\).
   \(L\) : \(-0{,}5 + 2{,}5 + c = 0\), donc \(c = -2\).
   La médiatrice de \([AC]\) a bien pour équation \(x + y – 2 = 0\).
3. Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices. On résout \(3x – y – 6 = 0\) et \(x + y – 2 = 0\).
   En additionnant : \(4x – 8 = 0\), donc \(x = 2\), puis \(y = 2 – x = 0\).
   \(O(2 \,;\, 0)\).
4. \(OA = \sqrt{(-3 – 2)^2 + (0 – 0)^2} = \sqrt{25} = 5\). Contrôle : \(OB = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5\) et \(OC = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5\).
   Le rayon du cercle circonscrit est 5.

Barème : a) 0,5 point pour \(K\), 0,5 point pour le vecteur normal, 0,5 point pour l’équation ; b) 0,5 point pour \(L\), 0,5 point pour l’équation ; c) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour les coordonnées ; d) 0,5 point.

Exercice 5 : Raccorder une maison au réseau (4 points)

1. Un vecteur directeur de \(d\) est \(\vec{u}(-2 \,;\, 1)\), donc aussi \((2 \,;\, -1)\). Comme \(\delta\) est perpendiculaire à \(d\), ce vecteur est normal à \(\delta\) : \(\delta : 2x – y + c = 0\).
   \(M \in \delta\) : \(2 \times 7 – 4 + c = 0\), soit \(10 + c = 0\), donc \(c = -10\).
   \(\delta : 2x – y – 10 = 0\).
2. \(P\) est l’intersection de \(d\) et \(\delta\). De \(2x – y – 10 = 0\), on tire \(y = 2x – 10\), que l’on remplace dans l’équation de \(d\) :
   \(x + 2(2x – 10) – 5 = 0\), soit \(5x – 25 = 0\), donc \(x = 5\), puis \(y = 2 \times 5 – 10 = 0\).
   \(P(5 \,;\, 0)\). Contrôle : \(5 + 2 \times 0 – 5 = 0\).
3. \(MP = \sqrt{(5 – 7)^2 + (0 – 4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}472\) unités.
   Une unité vaut 100 m : \(4{,}472 \times 100 \approx 447\) m.
   Le tuyau mesure \(2\sqrt{5}\) unités, soit environ 447 m : c’est la distance du point \(M\) à la droite \(d\).

Barème : a) 0,5 point pour le vecteur normal justifié, 0,5 point pour la forme de l’équation, 0,5 point pour \(c\) ; b) 1 point pour la résolution, 0,5 point pour les coordonnées ; c) 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour la conversion en mètres.

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