Contrôle de maths 1ère : problèmes d’optimisation avec la dérivée

Exercice 1 : Démontrer une inégalité (3 points)

Calculatrice autorisée pour tout le sujet.

On veut démontrer que, pour tout réel \(x \geq\, 0\), \(x^3 \geq\, 3x – 2\). On pose, pour \(x \in [0\,;+\infty[\), \(d(x) = x^3 – 3x + 2\).

1. Calcule \(d^{\prime}(x)\) et montre que \(d^{\prime}(x) = 3(x – 1)(x + 1)\). (1 point)
2. Étudie le signe de \(d^{\prime}(x)\) sur \([0\,;+\infty[\) et dresse le tableau de variations de \(d\) sur cet intervalle (sans limite). (1 point)
3. Déduis-en que, pour tout \(x \geq\, 0\), \(x^3 \geq\, 3x – 2\). (1 point)

Exercice 2 : La boîte sans couvercle (5 points)

Dans une plaque de carton rectangulaire de 16 cm sur 10 cm, Malik découpe aux quatre coins un carré de côté \(x\) centimètres. Il replie ensuite les bords le long des pointillés pour obtenir une boîte sans couvercle, en forme de pavé droit.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Exprime la longueur, la largeur et la hauteur de la boîte en fonction de \(x\). Justifie que \(x \in ]0\,;5[\) et que le volume de la boîte, en \(\text{cm}^3\), est \(V(x) = x(16 – 2x)(10 – 2x)\). (1 point)
2. Montre que \(V(x) = 4x^3 – 52x^2 + 160x\). (0,5 point)
3. Calcule \(V^{\prime}(x)\) et vérifie que \(V^{\prime}(x) = 4(3x^2 – 26x + 40)\). (0,5 point)
4. Étudie le signe de \(V^{\prime}(x)\) sur \(]0\,;5[\). (1,5 point)
5. Dresse le tableau de variations de \(V\). Quelle valeur de \(x\) donne un volume maximal ? Donne ce volume et les dimensions de la boîte correspondante. (1 point)
6. Vérifie à la calculatrice avec \(V(1{,}9)\) et \(V(2{,}1)\). (0,5 point)

Exercice 3 : Le coût moyen de fabrication (4 points)

Un artisan fabrique entre 1 et 100 lampes par semaine. Le coût total de fabrication de \(q\) lampes, en euros, est \(C(q) = q^2 + 50q + 400\). Le coût moyen d’une lampe est \(C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}\), pour \(q \in [1\,;100]\).

1. Calcule \(C_M(10)\) et interprète ce résultat. (0,5 point)
2. Montre que \(C_M(q) = q + 50 + \dfrac{400}{q}\). (0,5 point)
3. Montre que \(C_M^{\prime}(q) = \dfrac{(q – 20)(q + 20)}{q^2}\). (1 point)
4. Dresse le tableau de variations de \(C_M\) sur \([1\,;100]\). Combien de lampes l’artisan doit-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ? Quel est ce coût moyen minimal ? (1,5 point)
5. Chaque lampe est vendue 100 €. Quel est le bénéfice de l’artisan s’il fabrique et vend 20 lampes ? (0,5 point)

Exercice 4 : Un rectangle sous une parabole (4 points)

Dans un repère orthonormé d’unité 1 cm, \(\mathcal{P}\) est la parabole d’équation \(y = 9 – x^2\). Pour \(x \in ]0\,;3[\), on considère les points \(A(-x\,;0)\), \(B(x\,;0)\), \(M(x\,;9 – x^2)\) et \(N(-x\,;9 – x^2)\) : \(ABMN\) est un rectangle inscrit sous la parabole.

1. Montre que l’aire du rectangle \(ABMN\), en \(\text{cm}^2\), est \(S(x) = 18x – 2x^3\). (1 point)
2. Calcule \(S^{\prime}(x)\), étudie son signe sur \(]0\,;3[\) et dresse le tableau de variations de \(S\). (1,5 point)
3. Donne la valeur exacte de l’aire maximale, puis une valeur approchée au centième. (1 point)
4. Donne les dimensions du rectangle d’aire maximale. (0,5 point)

Exercice 5 : Le bénéfice d’une entreprise (4 points)

Une entreprise fabrique et vend \(x\) centaines de gourdes, avec \(x \in [0\,;10]\). Le coût de production est \(C(x) = x^3 – 12x^2 + 60x + 20\) et la recette est \(R(x) = 60x\), tous deux en centaines d’euros.

1. Montre que le bénéfice est \(B(x) = -x^3 + 12x^2 – 20\). (0,5 point)
2. Calcule \(B^{\prime}(x)\) et étudie son signe sur \([0\,;10]\). (1 point)
3. Dresse le tableau de variations de \(B\). Combien de gourdes faut-il vendre pour obtenir un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice, en euros ? (1,5 point)
4. On admet que l’équation \(B(x) = 0\) a une seule solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\). À la calculatrice, donne un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}01\), puis le nombre minimal de gourdes à vendre pour que l’entreprise ne perde pas d’argent. (1 point)

Réviser avant le contrôle : problèmes d’optimisation avec la dérivée

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Généralités sur les fonctions numériques » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés fonctions et variations.

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