Voici le corrigé du contrôle de maths de 1ère sur le thème : problèmes d’optimisation avec la dérivée.
Cette correction détaille la partie la plus délicate de l’optimisation : la mise en équation. Pour chaque problème, elle explique d’où vient l’expression de la fonction et pourquoi la variable est limitée à un intervalle précis, comme \(]0\,;5[\) pour la boîte.
Les dérivées sont ensuite factorisées pour étudier leur signe, et chaque tableau de variations conduit à l’extremum cherché. La réponse finale est toujours rédigée dans le contexte, avec l’unité : dimensions de la boîte, nombre d’objets à produire, bénéfice en euros. Le barème précise la répartition des points.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 1ère : problèmes d’optimisation avec la dérivée.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Démontrer une inégalité | 3 points |
| Exercice 2 : La boîte sans couvercle | 5 points |
| Exercice 3 : Le coût moyen de fabrication | 4 points |
| Exercice 4 : Un rectangle sous une parabole | 4 points |
| Exercice 5 : Le bénéfice d’une entreprise | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Démontrer une inégalité (3 points)
- \(d^{\prime}(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)\). Puis, avec \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) : \(d^{\prime}(x) = 3(x – 1)(x + 1)\).
- Sur \([0\,;+\infty[\), \(3 > 0\) et \(x + 1 > 0\) : \(d^{\prime}(x)\) a donc le signe de \(x – 1\). De plus \(d(0) = 2\) et \(d(1) = 1 – 3 + 2 = 0\).
\(x\) \(0\) \(1\) \(+\infty\) signe de \(d^{\prime}(x)\) \(-\) 0 \(+\) variations de \(d\) \(2\) ↘ \(0\) ↗ Ainsi, \(d\) est décroissante sur \([0\,;1]\) et croissante sur \([1\,;+\infty[\).
- D’après le tableau, \(d\) admet sur \([0\,;+\infty[\) un minimum égal à \(d(1) = 0\). Donc, pour tout \(x \geq\, 0\), \(d(x) \geq\, 0\), c’est-à-dire \(x^3 – 3x + 2 \geq\, 0\).
Pour tout \(x \geq\, 0\), \(x^3 \geq\, 3x – 2\), avec égalité pour \(x = 1\).
Erreur fréquente : se contenter de vérifier l’inégalité pour quelques valeurs de \(x\). En effet, des exemples ne démontrent pas une propriété vraie pour tout \(x\).
Barème : a) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour la factorisation. Puis b) 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour le tableau. Enfin, c) 0,5 point pour le minimum, 0,5 point pour la conclusion.
Exercice 2 : La boîte sans couvercle (5 points)
- On enlève \(x\) à chaque extrémité de chaque côté : longueur \(16 – 2x\), largeur \(10 – 2x\), hauteur \(x\) (en cm).
Il faut \(x > 0\) et \(10 – 2x > 0\), soit \(x < 5\). La condition \(16 – 2x > 0\) est alors vérifiée. Donc \(x \in ]0\,;5[\).
Or le volume d’un pavé droit est longueur \(\times \) largeur \(\times \) hauteur : \(V(x) = x(16 – 2x)(10 – 2x)\).
- \((16 – 2x)(10 – 2x) = 160 – 32x – 20x + 4x^2 = 4x^2 – 52x + 160\).
Puis, en multipliant par \(x\) : \(V(x) = 4x^3 – 52x^2 + 160x\).
- \(V^{\prime}(x) = 12x^2 – 104x + 160\). Ensuite, en factorisant par 4 : \(V^{\prime}(x) = 4(3x^2 – 26x + 40)\).
Questions d à f : signe de la dérivée et volume maximal
- Pour \(3x^2 – 26x + 40\) : \(\Delta = 26^2 – 4 \times 3 \times 40 = 676 – 480 = 196 = 14^2\).
Racines : \(x_1 = \dfrac{26 – 14}{6} = 2\) et \(x_2 = \dfrac{26 + 14}{6} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67\). Or \(x_2\) n’appartient pas à \(]0\,;5[\).
Le trinôme (\(a = 3 > 0\)) est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Ainsi, sur \(]0\,;5[\), \(V^{\prime}(x) > 0\) sur \(]0\,;2[\), \(V^{\prime}(2) = 0\) et \(V^{\prime}(x) < 0\) sur \(]2\,;5[\).
- \(V(2) = 2 \times 12 \times 6 = 144\).
\(x\) \(0\) \(2\) \(5\) signe de \(V^{\prime}(x)\) \(+\) 0 \(-\) variations de \(V\) ↗ \(144\) ↘ Le volume est donc maximal pour \(x = 2\) cm : il vaut \(144\text{ cm}^3\). La boîte mesure alors 12 cm de long, 6 cm de large et 2 cm de haut.
- \(V(1{,}9) = 1{,}9 \times 12{,}2 \times 6{,}2 = 143{,}716\) et \(V(2{,}1) = 2{,}1 \times 11{,}8 \times 5{,}8 = 143{,}724\). Les deux valeurs sont inférieures à 144 : c’est donc cohérent avec un maximum en \(x = 2\).
Erreur fréquente : garder la racine \(\frac{20}{3}\). Or elle est hors de \(]0\,;5[\), car on ne peut pas découper des carrés de plus de 5 cm dans une largeur de 10 cm.
Barème : a) 0,5 point pour les dimensions, 0,5 point pour l’intervalle et le volume. Puis b) 0,5 point ; c) 0,5 point. Ensuite, d) 0,5 point pour le discriminant, 0,5 point pour les racines, 0,5 point pour le signe sur \(]0\,;5[\). Enfin, e) 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour le maximum et les dimensions ; f) 0,5 point.
Exercice 3 : Le coût moyen de fabrication (4 points)
- \(C(10) = 100 + 500 + 400 = 1\,000\), donc \(C_M(10) = \dfrac{1\,000}{10} = 100\). Pour 10 lampes, chaque lampe revient donc en moyenne à 100 €.
- Pour \(q \in [1\,;100]\) : \(C_M(q) = \dfrac{q^2}{q} + \dfrac{50q}{q} + \dfrac{400}{q}\), donc \(C_M(q) = q + 50 + \dfrac{400}{q}\).
- \(C_M^{\prime}(q) = 1 + 400 \times (-\dfrac{1}{q^2}) = 1 – \dfrac{400}{q^2} = \dfrac{q^2 – 400}{q^2}\).
Puis, comme \(q^2 – 400 = (q – 20)(q + 20)\) : \(C_M^{\prime}(q) = \dfrac{(q – 20)(q + 20)}{q^2}\).
- Sur \([1\,;100]\), \(q + 20 > 0\) et \(q^2 > 0\). Donc \(C_M^{\prime}(q)\) a le signe de \(q – 20\).
\(C_M(1) = 1 + 50 + 400 = 451\) ; \(C_M(20) = 20 + 50 + 20 = 90\) ; \(C_M(100) = 100 + 50 + 4 = 154\).
\(q\) \(1\) \(20\) \(100\) signe de \(C_M^{\prime}(q)\) \(-\) 0 \(+\) variations de \(C_M\) \(451\) ↘ \(90\) ↗ \(154\) Ainsi, le coût moyen est minimal pour 20 lampes par semaine ; il vaut alors 90 € par lampe.
- Recette : \(20 \times 100 = 2\,000\) €. Coût : \(C(20) = 400 + 1\,000 + 400 = 1\,800\) €. Le bénéfice est donc de \(2\,000 – 1\,800 = 200\) €. (On retrouve ainsi \(20 \times (100 – 90) = 200\).)
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point. Puis c) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour la factorisation. Ensuite, d) 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour la conclusion. Enfin, e) 0,5 point.
Exercice 4 : Un rectangle sous une parabole (4 points)
- La largeur est \(AB = x – (-x) = 2x\). La hauteur est \(BM = 9 – x^2\), positive car \(x < 3\).
Donc \(S(x) = 2x(9 – x^2)\), soit \(S(x) = 18x – 2x^3\).
- \(S^{\prime}(x) = 18 – 6x^2 = 6(3 – x^2) = 6(\sqrt{3} – x)(\sqrt{3} + x)\).
Sur \(]0\,;3[\), \(\sqrt{3} + x > 0\). Ainsi, \(S^{\prime}(x)\) a le signe de \(\sqrt{3} – x\), positif pour \(x < \sqrt{3}\) et négatif pour \(x > \sqrt{3}\).
\(S(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(9 – 3) = 12\sqrt{3}\).
\(x\) \(0\) \(\sqrt{3}\) \(3\) signe de \(S^{\prime}(x)\) \(+\) 0 \(-\) variations de \(S\) ↗ \(12\sqrt{3}\) ↘ - Donc l’aire maximale vaut \(12\sqrt{3}\text{ cm}^2\), soit environ \(20{,}78\text{ cm}^2\).
- Pour \(x = \sqrt{3}\) : \(AB = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) cm et \(BM = 9 – 3 = 6\) cm. Le rectangle d’aire maximale mesure donc \(2\sqrt{3}\) cm sur 6 cm.
Erreur fréquente : prendre \(x\) comme largeur du rectangle. Or la largeur est \(2x\), puisque \(A\) a pour abscisse \(-x\).
Barème : a) 0,5 point pour les deux dimensions, 0,5 point pour l’aire. Puis b) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour le tableau. Ensuite, c) 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour la valeur approchée. Enfin, d) 0,5 point.
Exercice 5 : Le bénéfice d’une entreprise (4 points)
- \(B(x) = R(x) – C(x) = 60x – x^3 + 12x^2 – 60x – 20\), donc \(B(x) = -x^3 + 12x^2 – 20\).
- \(B^{\prime}(x) = -3x^2 + 24x = 3x(8 – x)\).
Sur \([0\,;10]\), \(3x \geq\, 0\). Donc \(B^{\prime}(x) > 0\) sur \(]0\,;8[\), \(B^{\prime}(x) < 0\) sur \(]8\,;10]\), et \(B^{\prime}\) s’annule en 0 et en 8.
- \(B(0) = -20\) ; \(B(8) = -512 + 768 – 20 = 236\) ; \(B(10) = -1\,000 + 1\,200 – 20 = 180\).
\(x\) \(0\) \(8\) \(10\) signe de \(B^{\prime}(x)\) 0 \(+\) 0 \(-\) variations de \(B\) \(-20\) ↗ \(236\) ↘ \(180\) Ainsi, le bénéfice est maximal pour \(x = 8\), soit 800 gourdes. Il vaut alors 236 centaines d’euros, c’est-à-dire \(23\,600\) €.
- À la calculatrice : \(B(1{,}37) \approx -0{,}049\), négatif, et \(B(1{,}38) \approx 0{,}225\), positif. Donc \(1{,}37 < \alpha < 1{,}38\).
\(B\) est croissante sur \([0\,;8]\) et \(B(x) \geq\, 180\) sur \([8\,;10]\). Donc \(B(x) \geq\, 0\) exactement pour \(x \geq\, \alpha\). Ainsi, avec 137 gourdes (\(x = 1{,}37\)), l’entreprise perd de l’argent ; avec 138 gourdes, elle n’en perd pas.
Il faut vendre au moins 138 gourdes pour que l’entreprise ne perde pas d’argent.
Erreur fréquente : répondre « 8 » ou « 236 € » en oubliant les unités. En effet, \(x\) compte des centaines de gourdes et \(B\) des centaines d’euros.
Barème : a) 0,5 point. Puis b) 0,5 point pour la dérivée factorisée, 0,5 point pour le signe. Ensuite, c) 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour les valeurs, 0,5 point pour la réponse en gourdes et en euros. Enfin, d) 0,5 point pour l’encadrement, 0,5 point pour le nombre de gourdes.
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