Contrôle de maths 2de : vecteurs et équations de droites

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Exercice 1 sans calculatrice. Calculatrice autorisée pour les exercices 2 à 5.

Donne directement la réponse. Le plan est muni d’un repère orthonormé.

1. On donne \(\vec{u}(2\,;-3)\) et \(\vec{v}(-1\,;5)\). Donne les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\). (0,5 point)
2. On donne \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;-1)\). Donne les coordonnées de \(\vec{AB}\). (0,5 point)
3. On donne \(A(-2\,;5)\) et \(B(4\,;1)\). Donne les coordonnées du milieu de \([AB]\). (0,5 point)
4. Les vecteurs \(\vec{u}(2\,;3)\) et \(\vec{v}(4\,;6)\) sont-ils colinéaires ? (0,5 point)
5. Donne le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite d’équation \(y = -2x + 5\). (0,5 point)
6. Donne un vecteur directeur de la droite d’équation \(3x – 2y + 1 = 0\). (0,5 point)
7. Simplifie \(\vec{AB} + \vec{BC} – \vec{AC}\). (0,5 point)
8. Le point \(M(2\,;1)\) appartient-il à la droite d’équation \(y = 3x – 5\) ? (0,5 point)

Exercice 2 : Relation de Chasles dans un parallélogramme (3 points)

\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Simplifie \(\vec{AB} + \vec{BC}\). (0,5 point)
2. Exprime \(\vec{DA} + \vec{DC}\) à l’aide d’un seul vecteur. (0,5 point)
3. Que vaut \(\vec{OA} + \vec{OC}\) ? Justifie. (0,5 point)
4. Démontre que, pour tout point \(M\) du plan, \(\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Points dans un repère (5 points)

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on considère les points \(A(-2\,;1)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(3\,;-2)\). Ce repère servira aussi pour les exercices 4 et 5.

1. Calcule les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (1 point)
2. Calcule les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme. (1 point)
3. Calcule les coordonnées du milieu \(K\) de \([AC]\), puis vérifie que \(K\) est aussi le milieu de \([BD]\). (1 point)
4. On considère le point \(E(7\,;4)\). Les points \(A\), \(B\) et \(E\) sont-ils alignés ? Justifie. (1 point)
5. Calcule la longueur \(AB\) et donne sa valeur exacte sous la forme \(a\sqrt{b}\), avec \(b\) entier le plus petit possible. (1 point)

Exercice 4 : Équations de droites (4 points)

On reprend les points \(A(-2\,;1)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(3\,;-2)\) de l’exercice 3.

1. Démontre qu’une équation cartésienne de la droite \((AB)\) est \(x – 3y + 5 = 0\). (1,25 point)
2. Déduis-en l’équation réduite de \((AB)\). (0,5 point)
3. On note \(d\) la droite passant par \(C\) et de vecteur directeur \(\vec{w}(1\,;-2)\). Détermine une équation cartésienne de \(d\), puis son équation réduite. (1 point)
4. Résous un système pour déterminer les coordonnées du point d’intersection \(I\) des droites \((AB)\) et \(d\). (1,25 point)

Exercice 5 : Parallélisme et alignement (4 points)

On garde les points \(A(-2\,;1)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(3\,;-2)\). On note \(\Delta\) la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\).

1. Détermine une équation cartésienne de \(\Delta\). (1 point)
2. La droite \(\Delta\) coupe l’axe des abscisses en un point \(H\). Calcule les coordonnées de \(H\). (0,5 point)
3. On considère le point \(P\) d’abscisse 13 et d’ordonnée \(y\). Détermine \(y\) pour que les points \(A\), \(C\) et \(P\) soient alignés. (1,25 point)
4. Démontre que le quadrilatère \(ACHB\) est un parallélogramme. (1,25 point)

Réviser avant le contrôle : vecteurs et équations de droites

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les vecteurs et la translation » en 2de et « Les systèmes d’équations » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés vecteurs et translation, systèmes de deux équations.

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