Corrigé du contrôle de maths 2de : optimisation et problèmes d’extremums

Exercice 1 : Lire des extremums sur une courbe (3 points)

1. Le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée 5, et il y en a deux : les points de coordonnées \((1\,;5)\) et \((4\,;5)\). Le maximum de \(g\) sur \([0\,;4]\) est 5, atteint pour \(x = 1\) et pour \(x = 4\).
2. Le point le plus bas de la courbe a pour ordonnée 1 : ce sont les points \((0\,;1)\) et \((3\,;1)\). Le minimum de \(g\) sur \([0\,;4]\) est 1, atteint pour \(x = 0\) et pour \(x = 3\).
3. Sur \([0\,;2]\), la courbe monte jusqu’au point \((1\,;5)\) puis redescend jusqu’à \((2\,;3)\) : le maximum de \(g\) sur \([0\,;2]\) est 5, atteint en \(x = 1\).
   Sur \([2\,;4]\), la courbe descend jusqu’au point \((3\,;1)\) puis remonte : le minimum de \(g\) sur \([2\,;4]\) est 1, atteint en \(x = 3\).

Erreur fréquente : confondre le maximum (une valeur de \(g(x)\), lue sur l’axe des ordonnées) et la valeur de \(x\) où il est atteint (lue sur l’axe des abscisses).

Barème : a) 0,5 point pour la valeur 5, 0,5 point pour les deux abscisses 1 et 4 ; b) 0,5 point pour la valeur 1, 0,5 point pour les abscisses 0 et 3 ; c) 0,5 point par extremum avec son abscisse.

Exercice 2 : Une forme qui prouve un maximum (3 points)

1. On développe le membre de droite avec l’identité remarquable \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) :
   
   \(4 – (x – 3)^2 = 4 – (x^2 – 6x + 9)\)
   
   \(4 – (x – 3)^2 = 4 – x^2 + 6x – 9\)
   
   \(4 – (x – 3)^2 = -x^2 + 6x – 5\).
   
   Donc, pour tout réel \(x\), \(h(x) = 4 – (x – 3)^2\).
2. Pour tout réel \(x\), un carré est positif ou nul : \((x – 3)^2 \geq\, 0\), donc \(-(x – 3)^2 \leq\, 0\), puis \(4 – (x – 3)^2 \leq\, 4\). Ainsi \(h(x) \leq\, 4\) pour tout réel \(x\).
   
   De plus, \(h(3) = 4 – 0^2 = 4\) : la valeur 4 est effectivement atteinte.
   
   La fonction \(h\) admet un maximum égal à 4, atteint pour \(x = 3\).

Erreur fréquente : se contenter de montrer que \(h(x) \leq\, 4\). Il faut aussi trouver un \(x\) pour lequel \(h(x) = 4\), sinon 4 n’est qu’un majorant.

Barème : a) 1 point (0,5 point si le développement contient une erreur de signe) ; b) 1 point pour l’inégalité \(h(x) \leq\, 4\) justifiée par le signe d’un carré, 0,5 point pour \(h(3) = 4\), 0,5 point pour la conclusion complète.

Exercice 3 : L’enclos contre un mur (6 points)

1. Les 20 m de grillage forment les deux côtés de longueur \(x\) et le côté parallèle au mur. Ce dernier mesure donc \(20 – x – x = 20 – 2x\) mètres.
   
   Une longueur est strictement positive : \(x > 0\) et \(20 – 2x > 0\), c’est-à-dire \(x < 10\). Donc \(x \in \,]0\,;10[\).
2. L’enclos est un rectangle de dimensions \(x\) et \(20 – 2x\) :
   
   \(A(x) = x(20 – 2x) = 20x – 2x^2\).
   
   L’aire de l’enclos est \(A(x) = 20x – 2x^2\) en \(\text{m}^2\).
3. Par exemple, \(A(2) = 20 \times 2 – 2 \times 2^2 = 40 – 8 = 32\) et \(A(4) = 80 – 32 = 48\).
   

   \(x\)	2	4	5	6	8
   \(A(x)\)	32	48	50	48	32

   Conjecture : l’aire semble maximale pour \(x = 5\), et vaut alors \(50\text{ m}^2\).

4. On développe :
   
   \(50 – 2(x – 5)^2 = 50 – 2(x^2 – 10x + 25)\)
   
   \(50 – 2(x – 5)^2 = 50 – 2x^2 + 20x – 50\)
   
   \(50 – 2(x – 5)^2 = 20x – 2x^2\).
   
   On retrouve bien \(A(x) = 50 – 2(x – 5)^2\).
5. Pour tout \(x\) de \(]0\,;10[\), \((x – 5)^2 \geq\, 0\), donc \(-2(x – 5)^2 \leq\, 0\) et \(A(x) \leq\, 50\). De plus \(A(5) = 50 – 2 \times 0 = 50\), et 5 appartient bien à \(]0\,;10[\). La conjecture est démontrée.
   
   Pour \(x = 5\), le côté parallèle au mur mesure \(20 – 2 \times 5 = 10\) m.
   
   L’enclos d’aire maximale mesure 5 m sur 10 m (le côté de 10 m le long du mur) et son aire est \(50\text{ m}^2\).

Erreur fréquente : écrire que le côté parallèle au mur mesure \(20 – 4x\) ou \(10 – x\), en oubliant que le mur remplace un côté et qu’il n’y a que trois côtés en grillage.

Barème : a) 0,5 point pour \(20 – 2x\), 0,5 point pour l’intervalle justifié ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour le tableau exact, 0,5 point pour la conjecture ; d) 1 point pour le développement complet ; e) 1 point pour la démonstration (signe du carré et valeur atteinte), 0,5 point pour les dimensions, 0,5 point pour l’aire avec son unité.

Exercice 4 : Un rectangle dans un triangle (4 points)

1. \(AMNP\) est un rectangle, donc \((MN) \perp (AB)\). Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), donc \((AC) \perp (AB)\). Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles : \((MN)\) et \((AC)\) sont parallèles.
   
   Dans le triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\), \(N \in [BC]\) et les droites \((MN)\) et \((AC)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
   
   \(\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{MN}{AC}\), avec \(BM = 8 – x\).
   
   Donc \(\dfrac{8 – x}{8} = \dfrac{MN}{6}\), d’où \(MN = \dfrac{6(8 – x)}{8} = 0{,}75(8 – x)\).
   
   On a bien \(MN = 0{,}75(8 – x)\) cm.
2. L’aire du rectangle est \(AM \times MN = x \times 0{,}75(8 – x) = 6x – 0{,}75x^2\).
   
   \(S(x) = 6x – 0{,}75x^2\).
3. \(12 – 0{,}75(x – 4)^2 = 12 – 0{,}75(x^2 – 8x + 16)\)
   
   \(12 – 0{,}75(x – 4)^2 = 12 – 0{,}75x^2 + 6x – 12\)
   
   \(12 – 0{,}75(x – 4)^2 = 6x – 0{,}75x^2\).
   
   Donc \(S(x) = 12 – 0{,}75(x – 4)^2\) pour tout \(x\) de \([0\,;8]\).
4. Comme \((x – 4)^2 \geq\, 0\), on a \(S(x) \leq\, 12\), et \(S(4) = 12\). L’aire est maximale pour \(x = 4\), c’est-à-dire \(AM = 4\) cm : \(M\) est le milieu de \([AB]\).
   
   L’aire du triangle est \(\dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24\text{ cm}^2\).
   
   Il faut placer \(M\) au milieu de \([AB]\) ; l’aire maximale du rectangle est \(12\text{ cm}^2\), soit la moitié de l’aire du triangle.

Barème : a) 0,5 point pour le parallélisme justifié par la propriété, 1 point pour Thalès correctement appliqué ; b) 0,5 point ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour la position de \(M\) justifiée, 0,5 point pour l’aire maximale et la comparaison.

Exercice 5 : Le bénéfice d’un atelier (4 points)

1. \(B(0) = -0 + 0 – 700 = -700\). Si l’atelier ne fabrique aucune lampe, il perd 700 € dans la journée : ce sont ses frais fixes (loyer, salaires, machines).
2. \(900 – (q – 40)^2 = 900 – (q^2 – 80q + 1600)\)
   
   \(900 – (q – 40)^2 = 900 – q^2 + 80q – 1600\)
   
   \(900 – (q – 40)^2 = -q^2 + 80q – 700\).
   
   Donc \(B(q) = 900 – (q – 40)^2\).
3. Comme \((q – 40)^2 \geq\, 0\), on a \(B(q) \leq\, 900\), et \(B(40) = 900\), avec 40 compris entre 0 et 60.
   
   Le bénéfice est maximal pour 40 lampes fabriquées et vendues ; il vaut alors 900 €.
4. \((q – 10)(70 – q) = 70q – q^2 – 700 + 10q = -q^2 + 80q – 700 = B(q)\).
   
   Pour \(q\) compris entre 0 et 60, \(70 – q \geq\, 10\), donc \(70 – q > 0\). Le signe de \(B(q)\) est donc celui de \(q – 10\) : \(B(q) > 0\) si et seulement si \(q > 10\).
   
   L’atelier réalise un bénéfice strictement positif lorsqu’il fabrique et vend entre 11 et 60 lampes. Pour 10 lampes, le bénéfice est nul.

Barème : a) 0,25 point pour le calcul, 0,25 point pour l’interprétation ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour la réponse (40 lampes, 900 €) ; d) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour l’étude du signe, 0,5 point pour la conclusion en nombre entier de lampes.

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Après le corrigé du contrôle : optimisation et problèmes d’extremums

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