Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de en PDF.
Mis à jour le 19 avril 2025
I. Fonctions affines
1. Définition
Soient a et b deux réels donnés.Lorsque à chaque réel x, on associe le réel ax + b, on définit une fonction affine f et on note ou la fonction f définie par
.
Exemple :
Les fonctions f et g respectivement définies sur par f(x) = 3x + 5 et g(x) = 2x – 7 sont des fonctions affines.
Remarque :
· Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple, f(x) = -3x.
· Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x.
2.Représentation graphique d’une fonction affine :
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction
affine est une droite. On dit que cette droite a pour équation y = ax + b et que a est son coefficient directeur, b son ordonnée à l’origine.
Cette droite passe par le point P(0 ; b).
· Dans le cas d’une fonction linéaire , la droite d’équation y = ax passe par l’origine du repère. L’image est proportionnelle à la variable.· Dans le cas d’une fonction constante, la droite d’équation y = b est parallèle à l’axe des abscisses. L’image est constamment égale à b.
II. fonctions affines et taux de variation
Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.
Alors, pour tous u et v tels que ,
.
Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v; il traduit la proportionnalité des écarts des images de la fonction par rapport aux variables.
Exercice :
Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées (-4 ; -1) et (2 ; 2).
Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ? Deux méthodes sont demandées.
III. Sens de variation d’une fonction affine
Soit une fonction affine.
- Si a > 0 alors f est croissante sur
.
- Si a = 0 alors f est constante sur
.
- Si a < 0 alors f est décroissante sur
.
Démonstration :
Soient u et v deux nombres réels tels que u < v.
f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v)
Si a est positif, alors a > 0 et comme u – v < 0, on déduit que f(u) – f(v) < 0 puis f(u) < f(v)
Donc f est strictement croissante sur [0 ; + [.
Si a est négatif, alors a < 0 et comme u – v < 0, on déduit que f(u) – f(v) > 0 puis f(u) > f(v)
Donc f est strictement croissante sur [0 ; + [.
Si a = 0 alors f(u) = b pour tout u et f est constante.
IV La fonction carrée
1.Tracé point par point de la courbe représentative de f.
On peut alors tracer la courbe représentative de f.
La courbe représentative de f s’appelle une parabole.
2. Etude de la parité de f
Soit , alors
.
Comparer .
On dit que f est une fonction paire.
Graphiquement, cela signifie que les points et
qui sont des points de la courbe représentative de f sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
La représentation graphique de f admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
3. Sens de variation de f
D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de f.
|
– |
|
|
|
f est strictement croissante sur [0 ; + |
Par le calcul : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
f(a) – f(b) = a² – b² = (a + b)(a – b)
Si a et b sont positifs ou nuls, alors a + b > 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) < 0
Donc f est strictement croissante sur [0 ; + [.
Si a et b sont négatifs ou nuls, alors a + b < 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) > 0
Donc f est strictement décroissante sur ] – ; 0].
V. La fonction inverse.
1. Tracé point par point de la courbe représentative de g.
On peut alors tracer la courbe représentative de g.
La courbe représentative de g s’appelle une hyperbole.
2. Etude de la parité de g.
Soit alors
.Comparer g(x) et g(-x) :
.
On dit que g est une fonction impaire.
Graphiquement, cela signifie que les points et
qui sont des points de la courbe représentative de g sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
La représentation graphique de g admet donc l’origine du repère pour centre de symétrie.
3. Sens de variation de g.
D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de g.
Tableau de variation |
g est strictement décroissante sur ]- |
Démonstration :
si a et b sont deux réels non nuls tels que a < b.
Si a et b sont strictement positifs, ab > 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0
Donc g est strictement décroissante sur ]0 ; + [.
Si a et b sont strictement négatifs, ab < 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0
Donc g est strictement décroissante sur ]- ; 0[.
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