Sommaire de cette fiche
I. Fonctions affines
1. Définition
Soient a et b deux réels donnés.Lorsque à chaque réel x, on associe le réel ax + b, on définit une fonction affine f et on note ou la fonction f définie par
.
Exemple :
Les fonctions f et g respectivement définies sur par f(x) = 3x + 5 et g(x) = 2x – 7 sont des fonctions affines.
Remarque :
· Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple, f(x) = -3x.
· Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x.
2.Représentation graphique d’une fonction affine :
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction
affine est une droite. On dit que cette droite a pour équation y = ax + b et que a est son coefficient directeur, b son ordonnée à l’origine.
Cette droite passe par le point P(0 ; b).
· Dans le cas d’une fonction linéaire , la droite d’équation y = ax passe par l’origine du repère. L’image est proportionnelle à la variable.· Dans le cas d’une fonction constante, la droite d’équation y = b est parallèle à l’axe des abscisses. L’image est constamment égale à b.
II. fonctions affines et taux de variation
Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.
Alors, pour tous u et v tels que ,
.
Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v; il traduit la proportionnalité des écarts des images de la fonction par rapport aux variables.
Exercice :
Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées (-4 ; -1) et (2 ; 2).
Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ? Deux méthodes sont demandées.
III. Sens de variation d’une fonction affine
Soit une fonction affine.
- Si a > 0 alors f est croissante sur
.
- Si a = 0 alors f est constante sur
.
- Si a < 0 alors f est décroissante sur
.
Démonstration :
Soient u et v deux nombres réels tels que u < v.
f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v)
Si a est positif, alors a > 0 et comme u – v < 0, on déduit que f(u) – f(v) < 0 puis f(u) < f(v)
Donc f est strictement croissante sur [0 ; + [.
Si a est négatif, alors a < 0 et comme u – v < 0, on déduit que f(u) – f(v) > 0 puis f(u) > f(v)
Donc f est strictement croissante sur [0 ; + [.
Si a = 0 alors f(u) = b pour tout u et f est constante.
IV La fonction carrée
1.Tracé point par point de la courbe représentative de f.
On peut alors tracer la courbe représentative de f.
La courbe représentative de f s’appelle une parabole.
2. Etude de la parité de f
Soit , alors
.
Comparer .
On dit que f est une fonction paire.
Graphiquement, cela signifie que les points et
qui sont des points de la courbe représentative de f sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
La représentation graphique de f admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
3. Sens de variation de f
D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de f.
|
– |
|
|
|
f est strictement croissante sur [0 ; + |
Par le calcul : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
f(a) – f(b) = a² – b² = (a + b)(a – b)
Si a et b sont positifs ou nuls, alors a + b > 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) < 0
Donc f est strictement croissante sur [0 ; + [.
Si a et b sont négatifs ou nuls, alors a + b < 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) > 0
Donc f est strictement décroissante sur ] – ; 0].
V. La fonction inverse.
1. Tracé point par point de la courbe représentative de g.
On peut alors tracer la courbe représentative de g.
La courbe représentative de g s’appelle une hyperbole.
2. Etude de la parité de g.
Soit alors
.Comparer g(x) et g(-x) :
.
On dit que g est une fonction impaire.
Graphiquement, cela signifie que les points et
qui sont des points de la courbe représentative de g sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
La représentation graphique de g admet donc l’origine du repère pour centre de symétrie.
3. Sens de variation de g.
D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de g.
Tableau de variation |
g est strictement décroissante sur ]- |
Démonstration :
si a et b sont deux réels non nuls tels que a < b.
Si a et b sont strictement positifs, ab > 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0
Donc g est strictement décroissante sur ]0 ; + [.
Si a et b sont strictement négatifs, ab < 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0
Donc g est strictement décroissante sur ]- ; 0[.
Cette publication est également disponible en :
English (Anglais)
Español (Espagnol)
العربية (Arabe)
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de.» au format PDF.
D'autres fiches dans la section cours de maths en 2de
- Equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de
- Les statistiques : cours de maths en 2de
- Les vecteurs et la translation : cours de maths en 2de en PDF.
- Les fonctions numériques : cours de maths en 2de
- Ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de.
- Rappels du collège sur les ensembles de nombres
- Position relative d’une droite et d’un plan dans l’espace : cours de maths en 2de
- Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de.
- Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 2de.
- Fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de
D'autres fiches similaires à généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de..
- 66
Les fonctions affines dans un cours de maths en 3ème où nous aborderons la définition et le calcul d'image ou d'antécédent puis nous verrons la représentation graphique ou la courbe d'une fonction. Dans cette leçon en troisième, nous déterminerons l'expression algébrique d'une fonction affine connaissant deux points de sa courbe.…
- 62
Des exercices en seconde (2de) sur les généralités sur les fonctions. L'intégralité de ces fiches d'exercices sont corrigés. Exercice 1 : Etablir le tableau de signe des expressions algébriques suivantes : a. b. c. Exercice 2 : 1. Etablir le tableau de signe de l'expression algébrique suivante : 2. Résoudre…
- 61
Des exercices de maths en 3ème sur la proportionnalité et les fonctions linéaires avec des résolution de problèmes faisant intervenir la définition de proportionnalité ou le calcul d'une quatrième proportionnelle mais également déterminer si un tableau et proportionnel. Puis, on étudiera la définition d'une fonction linéaire et son expression algébrique…
Les dernières fiches mises à jour.
Voici les dernières ressources similaires à généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.