Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de

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 Cours sur les généralités en 2de sur les fonction numériques et les fonctions usuelles . Dans cette leçon en seconde, nous étudierons les fonctions carrée, affine, linéaire, inverse et racine carrée.

I. Fonctions affines

1.   Définition

Définition :

Soient a et b deux réels donnés.Lorsque à chaque réel x, on associe le réel  ax + b, on définit une fonction affine f et on note f:x \mapsto   ax+b  ou la fonction f définie par  f(x)=ax+b.

Exemple :

Les fonctions  f et g respectivement définies sur \mathbb{R}par  f(x) = 3x + 5  et  g(x) = 2x – 7 sont des fonctions affines.

Remarque :

·  Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple,  f(x) = -3x.

·  Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x.

2.Représentation graphique d’une fonction affine :

Définition :

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction

affine  f:x \mapsto   ax+b est une droite. On dit que cette droite a pour équation  y = ax + b  et que a est son coefficient directeur, b son ordonnée à l’origine.

Cette droite passe par le point P(0 ; b).

Conséquences :

·  Dans le cas d’une fonction linéaire f:x \mapsto   ax, la droite d’équation y = ax passe par l’origine du repère. L’image est proportionnelle à la variable.·  Dans le cas d’une fonction constante, la droite d’équation  y = b est parallèle à l’axe des abscisses. L’image est constamment égale à b.

II. fonctions affines et taux de variation

Théorème :

Soit  f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Alors, pour tous u et v tels que u\neq v\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=a.

Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v; il traduit la proportionnalité des écarts des images de la fonction par rapport aux variables.

Exercice :
Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées (-4 ; -1) et (2 ; 2).

Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ? Deux méthodes sont demandées.

III. Sens de variation d’une fonction affine

Théorème :

Soit f:x \mapsto   ax+b une fonction affine.

Si  a > 0  alors  f est croissante sur \mathbb{R}.

Si  a = 0  alors  f est constante sur \mathbb{R}.

Si  a < 0  alors  f est décroissante sur \mathbb{R}.

Démonstration :

Soient u et v deux nombres réels tels que u < v.

f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v)

Si a est positif, alors  a  > 0  et comme  u – v < 0, on déduit que  f(u) – f(v) < 0 puis f(u) < f(v)

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.

Si a est négatif, alors a  < 0  et comme  u – v < 0, on déduit que  f(u) – f(v) > 0 puis f(u) > f(v)

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.

Si a = 0 alors f(u) = b pour tout u et f est constante.

IV La fonction carrée

Définition :
Il s’agit de la fonction  f définie sur \mathbb{R} par  f(x) = x2.

1.Tracé point par point de la courbe représentative de f.

On peut alors tracer la courbe représentative de f.

La courbe représentative de f s’appelle une parabole.

2. Etude de la parité de f

Soit x\in\mathbb{R}, alors-x\in\mathbb{R}.

Comparer f(x) \,et \,f(-x)\, : \,f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x).

On dit que  f est une fonction paire.

Graphiquement, cela signifie que les points M(x ; f(x))et M'(-x ; f(-x)) qui sont des points de la courbe représentative de f sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

La représentation graphique de f admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

3. Sens de variation de  f

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de f.

x

 – \infty                0                     + \infty

f

             f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.f est strictement décroissante sur ] – \infty ; 0].

Par le calcul : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.

f(a) – f(b) = a² – b² = (a + b)(a – b)

Si a et b sont positifs ou nuls, alors  a + b > 0  et comme  a – b < 0, on déduit que  f(a) – f(b) < 0

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.

Si a et b sont négatifs ou nuls, alors  a + b < 0  et comme  a – b < 0, on déduit que  f(a) – f(b) > 0

Donc  f est strictement décroissante sur ] – \infty ; 0].

V. La fonction inverse

Définition :
Il s’agit de la fonction g définie sur \mathbb{R}^*= ] – \infty ; 0[ ∪ ]0 ; + \infty [ par g(x)=\frac{1}{x} .

1. Tracé point par point de la courbe représentative de g

On peut alors tracer la courbe représentative de g.

La courbe représentative de g s’appelle une hyperbole.

2. Etude de la parité de g

Propriété :

Soit x\in\mathbb{R} alors -x\in\mathbb{R}.Comparer g(x) et g(-x) : g(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-g(x).

On dit que g est une fonction impaire.

Graphiquement, cela signifie que les points M(x ; g(x))et M'(-x ; g(-x)) qui sont des points de la courbe représentative de g sont symétriques par rapport à l’origine du repère.

La représentation graphique de g admet donc l’origine du repère pour centre de symétrie.

3.   sens de variation de g

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de g.

Tableau de variation

           g est strictement décroissante sur ]- \infty ; 0[ et sur ]0 ; + \infty [.

Démonstration :

si a et b sont deux réels non nuls tels que a < b.

g(a)-g(b)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}

Si a et b sont strictement positifs, ab > 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]0 ; + \infty [.

Si a et b sont strictement négatifs, ab < 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]- \infty ; 0[.

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