Contrôle de maths 4ème : double distributivité et preuves littérales

Exercice 1 : Développer et réduire (5 points)

Calculatrice interdite.

Développe puis réduis chacune des expressions suivantes.

1. \(A = (x + 3)(x + 5)\) (1 point)
2. \(B = (2x – 1)(x + 4)\) (1 point)
3. \(C = (3x – 2)(2x – 5)\) (1,5 point)
4. \(D = (x + 2)(x – 7) – x(x – 1)\) (1,5 point)

Exercice 2 : Tester ou prouver une égalité (3 points)

On considère les deux égalités suivantes, où \(x\) désigne un nombre quelconque.

Égalité (1) : \((x + 4)(x – 1) = x^2 + 3x – 4\)

Égalité (2) : \((2x + 1)(x – 3) = 2x^2 – 3\)

1. Calcule chaque membre de l’égalité (1) pour \(x = 2\), puis pour \(x = -3\). (1 point)
2. Ces deux tests suffisent-ils pour affirmer que l’égalité (1) est vraie pour tous les nombres ? Prouve-le si c’est possible. (1 point)
3. Teste l’égalité (2) pour \(x = 0\), puis pour \(x = 1\). Que peux-tu en conclure ? (1 point)

Exercice 3 : Un programme de calcul (4 points)

Yanis propose le programme de calcul suivant.

• Choisir un nombre.
• Calculer le produit de ce nombre augmenté de 2 par ce nombre augmenté de 4.
• Soustraire à ce produit le carré de ce nombre augmenté de 3.

1. Montre que si l’on choisit 5, on obtient \(-1\). (1 point)
2. Applique le programme au nombre \(-2\). (1 point)
3. Yanis affirme : « Quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours \(-1\). » En appelant \(x\) le nombre choisi, prouve qu’il a raison. (2 points)

Exercice 4 : Trois entiers consécutifs (3 points)

Trois entiers consécutifs sont trois nombres entiers qui se suivent, comme 17, 18 et 19.

1. Calcule \(17 + 18 + 19\) et montre que le résultat est un multiple de 3. (0,5 point)
2. On note \(n\) le plus petit de trois entiers consécutifs. Exprime les deux autres en fonction de \(n\), puis prouve que leur somme est toujours un multiple de 3. (1,5 point)
3. Clara pense que la somme de quatre entiers consécutifs est toujours un multiple de 4. A-t-elle raison ? Justifie. (1 point)

Exercice 5 : Le jardin agrandi (5 points)

Le jardin de Mme Diallo est un rectangle de 8 m de long et de 5 m de large. Elle décide d’augmenter la longueur et la largeur d’une même longueur \(x\) (en mètres). Le nouveau jardin est découpé en quatre parties sur la figure ci-dessous.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Exprime l’aire du nouveau jardin sous la forme d’un produit de deux facteurs. (1 point)
2. En additionnant les aires des quatre parties, exprime l’aire du nouveau jardin sous la forme d’une somme réduite. (1 point)
3. Retrouve le résultat de la question b en développant l’expression de la question a. (1 point)
4. On choisit \(x = 2\). Calcule l’aire du nouveau jardin de deux façons, puis de combien de mètres carrés l’aire a augmenté. (1 point)
5. Son voisin affirme : « En ajoutant 2 m à chaque côté, l’aire n’augmente que de \(2 \times 2 = 4\text{ m}^2\). » Explique son erreur à l’aide de la figure. (1 point)

Réviser avant le contrôle : double distributivité et preuves littérales

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Calcul littéral et la double distributivité » en 4ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés calcul littéral.

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