Voici le corrigé du contrôle de maths de 4ème sur le thème : double distributivité et preuves littérales.
Voici la correction rédigée de l’évaluation sur la double distributivité. Chaque développement est écrit en deux temps : les quatre produits, puis la réduction des termes semblables.
Tu verras qu’un seul contre-exemple suffit à montrer qu’une égalité est fausse. En revanche, une preuve littérale est nécessaire pour affirmer qu’elle est toujours vraie. Ensuite, la preuve du programme de calcul, celle des entiers consécutifs et l’aire du jardin sont rédigées comme en 4e. Enfin, le barème détaillé suit chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 4ème : double distributivité et preuves littérales.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Développer et réduire | 5 points |
| Exercice 2 : Tester ou prouver une égalité | 3 points |
| Exercice 3 : Un programme de calcul | 4 points |
| Exercice 4 : Trois entiers consécutifs | 3 points |
| Exercice 5 : Le jardin agrandi | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Développer et réduire (5 points)
- D’abord, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
\(A = (x + 3)(x + 5)\)
\(A = x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5\)
\(A = x^2 + 5x + 3x + 15\)
\(A = x^2 + 8x + 15\)
Ainsi, on a réduit les deux termes en \(x\). - Ensuite, on applique la même méthode avec attention aux signes.
\(B = (2x – 1)(x + 4)\)
\(B = 2x \times x + 2x \times 4 – 1 \times x – 1 \times 4\)
\(B = 2x^2 + 8x – x – 4\)
\(B = 2x^2 + 7x – 4\) - Ici, les deux parenthèses contiennent un signe moins. Par conséquent, on garde chaque signe avec son terme.
\(C = (3x – 2)(2x – 5)\)
\(C = 3x \times 2x + 3x \times (-5) – 2 \times 2x – 2 \times (-5)\)
\(C = 6x^2 – 15x – 4x + 10\)
\(C = 6x^2 – 19x + 10\) - Cette fois, on développe séparément chaque produit.
\((x + 2)(x – 7) = x^2 – 7x + 2x – 14 = x^2 – 5x – 14\)
\(x(x – 1) = x^2 – x\)
Or le second produit est précédé d’un signe moins. Donc on change tous ses signes en supprimant les parenthèses.
\(D = x^2 – 5x – 14 – x^2 + x\)
\(D = -4x – 14\)
Barème : a) et b) 1 point chacune : 0,5 point pour les quatre produits, 0,5 point pour la réduction ; c) 1,5 point : 1 point pour les quatre produits avec les bons signes, 0,5 point pour la réduction ; d) 1,5 point : 0,5 point pour chaque développement, 0,5 point pour la suppression des parenthèses et la réduction.
Erreur fréquente : en d, oublier de changer le signe de \(-x\). En effet, \(-(x^2 – x) = -x^2 + x\), et non \(-x^2 – x\).
Exercice 2 : Tester ou prouver une égalité (3 points)
- Pour \(x = 2\), le membre de gauche vaut \((2 + 4)(2 – 1) = 6 \times 1 = 6\). Puis le membre de droite vaut \(2^2 + 3 \times 2 – 4 = 4 + 6 – 4 = 6\).
Pour \(x = -3\), le membre de gauche vaut \((-3 + 4)(-3 – 1) = 1 \times (-4) = -4\). Ensuite, le membre de droite vaut \((-3)^2 + 3 \times (-3) – 4 = 9 – 9 – 4 = -4\).
Dans les deux cas, les deux membres sont égaux. - Non, deux tests ne suffisent pas. En effet, il faudrait tester tous les nombres, ce qui est impossible. Alors on développe le membre de gauche :
\((x + 4)(x – 1) = x^2 – x + 4x – 4 = x^2 + 3x – 4\).
On obtient exactement le membre de droite : l’égalité (1) est vraie pour tout nombre \(x\). - Pour \(x = 0\), on obtient \((0 + 1)(0 – 3) = -3\) et \(2 \times 0^2 – 3 = -3\). Donc l’égalité est vraie pour 0.
Pour \(x = 1\), on obtient \((2 + 1)(1 – 3) = 3 \times (-2) = -6\). Puis on calcule \(2 \times 1^2 – 3 = -1\). Or \(-6 \neq -1\).
La valeur 1 est un contre-exemple : l’égalité (2) n’est pas vraie pour tous les nombres. Le test avec 0 ne prouvait rien.
Barème : a) 1 point : 0,5 point par valeur testée (les deux membres) ; b) 1 point : 0,5 point pour la réponse « non » justifiée, 0,5 point pour le développement ; c) 1 point : 0,5 point pour les deux tests, 0,5 point pour la conclusion par un contre-exemple.
Exercice 3 : Un programme de calcul (4 points)
- Avec 5, on calcule d’abord \(5 + 2 = 7\) et \(5 + 4 = 9\). Donc le produit vaut \(7 \times 9 = 63\).
\(5 + 3 = 8\) et \(8^2 = 64\).
\(63 – 64 = -1\). On obtient bien \(-1\). - Avec \(-2\), on calcule d’abord \(-2 + 2 = 0\) et \(-2 + 4 = 2\). Donc le produit vaut \(0 \times 2 = 0\).
\(-2 + 3 = 1\) et \(1^2 = 1\).
\(0 – 1 = -1\). On obtient encore \(-1\). - Prenons maintenant un nombre quelconque \(x\). Alors le programme donne \(R = (x + 2)(x + 4) – (x + 3)^2\).
Ensuite, on développe chaque partie.
\((x + 2)(x + 4) = x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8\)
\((x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9\)
\(R = x^2 + 6x + 8 – (x^2 + 6x + 9)\)
\(R = x^2 + 6x + 8 – x^2 – 6x – 9\)
\(R = -1\)
Le résultat vaut \(-1\) quel que soit le nombre choisi : Yanis a raison.
Barème : a) et b) 1 point chacune : 0,5 point pour le produit, 0,5 point pour le résultat ; c) 2 points : 0,5 point pour l’expression de départ, 0,5 point pour chaque développement, 0,5 point pour la réduction et la conclusion.
Erreur fréquente : écrire \((x + 3)^2 = x^2 + 9\). En effet, le carré d’une somme se développe avec la double distributivité et contient le terme \(6x\).
Exercice 4 : Trois entiers consécutifs (3 points)
- \(17 + 18 + 19 = 54\) et \(54 = 3 \times 18\). 54 est un multiple de 3.
- Notons \(n\) le premier entier. Alors les trois entiers consécutifs sont \(n\), \(n + 1\) et \(n + 2\).
Puis on calcule leur somme.
\(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)\).
Comme \(n + 1\) est un entier, la somme \(3(n + 1)\) est toujours un multiple de 3. On remarque qu’elle vaut trois fois l’entier du milieu. - Prenons par exemple 1, 2, 3 et 4 : \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\). Or 10 n’est pas un multiple de 4 (\(10 = 4 \times 2 + 2\)).
Clara a tort : un seul contre-exemple suffit. (En effet \(n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6\), qui n’est jamais un multiple de 4.)
Barème : a) 0,5 point ; b) 1,5 point : 0,5 point pour les expressions \(n + 1\) et \(n + 2\), 0,5 point pour la réduction \(3n + 3\), 0,5 point pour la factorisation et la conclusion ; c) 1 point : 0,5 point pour le contre-exemple, 0,5 point pour la conclusion.
Exercice 5 : Le jardin agrandi (5 points)
- En effet, le nouveau jardin est un rectangle de longueur \(8 + x\) et de largeur \(5 + x\).
Son aire est \((8 + x)(5 + x)\) en \(\text{m}^2\). - Les deux premières parties ont pour aires \(8 \times 5 = 40\) et \(8 \times x = 8x\). De plus, les deux autres ont pour aires \(x \times 5 = 5x\) et \(x \times x = x^2\).
Donc on additionne les quatre aires.
\(40 + 8x + 5x + x^2 = x^2 + 13x + 40\).
L’aire est \(x^2 + 13x + 40\) en \(\text{m}^2\). - On développe ensuite le produit avec la double distributivité.
\((8 + x)(5 + x) = 40 + 8x + 5x + x^2 = x^2 + 13x + 40\).
On retrouve bien la même expression. - D’abord, avec le produit : \((8 + 2)(5 + 2) = 10 \times 7 = 70\).
Puis, avec la somme : \(2^2 + 13 \times 2 + 40 = 4 + 26 + 40 = 70\).
Enfin, l’ancien jardin mesurait \(8 \times 5 = 40\text{ m}^2\), et \(70 – 40 = 30\).
Le nouveau jardin mesure \(70\text{ m}^2\) : l’aire a augmenté de \(30\text{ m}^2\). - En fait, le voisin ne compte que le petit carré de côté \(x\), d’aire \(2 \times 2 = 4\text{ m}^2\). Cependant, il oublie les deux bandes, d’aires \(8 \times 2 = 16\text{ m}^2\) et \(5 \times 2 = 10\text{ m}^2\).
L’augmentation est \(16 + 10 + 4 = 30\text{ m}^2\), et non \(4\text{ m}^2\).
Barème : a) 1 point ; b) 1 point : 0,5 point pour les quatre aires, 0,5 point pour la somme réduite ; c) 1 point : 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la réduction ; d) 1 point : 0,5 point pour les deux calculs de l’aire, 0,5 point pour l’augmentation ; e) 1 point : 0,5 point pour identifier les deux bandes oubliées, 0,5 point pour le calcul de l’augmentation réelle.
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Après le corrigé du contrôle : double distributivité et preuves littérales
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